Dinámica relativa - Escuela Técnica Superior de Ingenieros

Dinámica relativa Mecánica II Tema 4 Manuel Ruiz Delgado Escuela Técnica Superior de Ingenieros Aeronáuticos Universidad Politécnica de Madrid Dinámica relativa– p. 1/18 Dinámica Relativa Fuerzas ficticias de inercia Efectos de la fuerza de inercia de arrastre Efectos de la fuerza de inercia de Coriolis Movimiento relativo a la superficie de la tierra Equilibrio relativo: vertical, geoide Caída libre: desviación hacia el este Movimiento relativo al triedro orbital Dinámica relativa– p. 2/18 Movimiento relativo M 2 z1 z F y O x y1 O1 absoluta relativa Movimiento M /S1 : Absoluto Movimiento M /S0 : Relativo Movimiento S0 /S1 : Arrastre S1 inercial → Ley de Newton: F = m γ M 21 S0 no inercial → F 6= m γ M 20 Composición: 2/1 = 2/0 + 0/1 Coriolis arrastre }| { z}|{ z}|{ z}|{ z M M M γM = γ + 2 ω ∧ v + γ 01 21 20 01 20 = O M +γ + ω̇ ∧ OM + ω ∧ (ω ∧ OM) +2 ω ∧ v = γM 01 01 20 |{z} | 01 {z 01 } | 01{z 20} relativa arrastre S0 inercial: F = m γ M 20 ⇒ Coriolis γ O01 ≡ 0 → Transf. de Galileo ω 01 ≡ 0 Dinámica relativa– p. 3/18 Fuerzas ficticias de inercia Ecuación del movimiento relativo: M + 2ω M F = m γM γM + γ ∧ v 01 21 = m 20 01 20 M M = F+F F−m γM − m 2 ω ∧ v + F = m γ 01 IA IC 20 01 20 Fuerza de inercia de arrastre: arrastre FIA = −m γ M 01 centrif uga z }| { z azimutal }| { }| { z = − m γ O01 − m ω̇ 01 ∧ OM − m ω 01 ∧ (ω 01 ∧ OM) | {z } arrastre Fuerza de inercia de Coriolis: FIC = −m 2 ω 01 ∧ vM 20 Dinámica relativa– p. 4/18 Ejemplo de fuerzas de inercia: coord. polares Partícula sobre recta que gira en un plano: Movimiento relativo: r y1 Movimiento de arrastre: θ (conocida) x Fuerzas directamente aplicadas: Fx , Fy r Reacción normal N θ x1 Fuerzas de inercia: FIA = 0 − mθ̈ r j + mθ̇2 r i FIC = −2mθ̇ ṙ j Con lo que las ecuaciones del movimiento serán: ( Ligada Fx + mθ̇2 r = mr̈ Fy + N − mθ̈ r − 2mθ̇ ṙ = 0 ⇒ ( Libre Fx = mr̈ − mθ̇2 r = mθ̈ r + 2mθ̇ ṙ Fy + N Partícula libre: ecuaciones en coordenadas polares (ejes móviles) Dinámica relativa– p. 5/18 Efectos de la fuerza de Coriolis N ω sin φ ω φ FIC = −m 2 ω 01 ∧ vM 20 φ ω ≃ 7, 292115 · 10−5 rad/s g ≃ 9, 8 m/s2 −ω sin φ S Dinámica relativa– p. 6/18 Efectos de la fuerza de Coriolis B v -∇P Cor v -∇P Cor A Coriolis -∇P Coriolis -∇P Figura 1: Ciclón y anticiclón en el hemisferio Norte. Dinámica relativa– p. 7/18 Efectos de la fuerza de Coriolis Figura 2: Ciclones y anticiclones en el hemisferio Norte y en el Sur Dinámica relativa– p. 8/18 Movimiento relativo a la superficie de la Tierra 23o ⊙ M ω O ω t Ecuaciones del movimiento Movimiento de M respecto a ejes fijos a la Tierra: Atracción del Sol, m A⊙M Atracción de la Tierra, m A⊕M Otras fuerzas dadas, F Fuerzas de inercia h O m γM = F + m A + m A − m γ 01 + ⊙M ⊕M 20 M +ω̇ 01 ∧ OM + ω 01 ∧ (ω 01 ∧ OM)] − m 2 ω 01 ∧ v20 Se puede simplificar Dinámica relativa– p. 9/18 Movimiento relativo a la superficie de la Tierra 2 z}|{ z }| { z }| { O = F + m A + m A − m γ ⊙M ⊕M 01 + 2 m γM 20 3 1 3 }| { z }| (( { z M ( ( ∧ OM + ω ∧ (ω ∧ OM) − m 2 ω ∧ v +( ω̇ ( 01 01 01 01 20 1. ω 01 = Ω k ≃ Cte. Error: ≃ 10−15 m/s2 2. γ O 01 = A⊙⊕ ≃ A⊙M Error: ≃ 10−6 m/s2 3. g = A⊕M − ω 01 ∧ (ω 01 ∧ OM) Definición de gravedad M m γM = F + m g − m 2 ω ∧ v 01 20 20 Dinámica relativa– p. 10/18 Equilibrio de la plomada: vertical N M′ A⊕M 0 = T + m A⊕M − m ω 01 ∧ (ω 01 ∧ OM) M ω2 M M ′ Ho Peso: m g = −T rizo nta Vertical: dirección de T l g φc φa 2 ′ 2 ′ g = A⊕M cos (φa − φc ) − ω M M cos φa 0 = A⊕M sin (φa − φc ) − ω M M sin φa φc : latitud geocéntrica; φa : latitud astronómica Dirección aproximada de la vertical: suponemos tierra esférica, ′ 2 , y cos φ ≃ cos φ : M M = RE cos φc , A⊕M = µ⊕ /RE a c 3 R sin(φa − φc ) = ω 2 E cos φa sin φa ≃ 0, 00346 · cos φa sin φa µ⊕ Dinámica relativa– p. 11/18 Forma de la tierra Verti ca No rm a ide pso Eli e g φc φg φa Horiz ontal Ge o i d l δ l N Primera aproximación: esfera Segunda aproximación: efecto de la rotación, elipsoide de revolución Modelo WGS84: RE =6378,137 km, Rp =6356,752 km, achatamiento f = RE −Rp =1/298,257223563, diferencia RE RE − Rp = 21, 384 km Tercera aproximación: geoide: superficie equipotencial asociada al nivel medio de los océanos Cuarto nivel: descripción detallada del suelo que se encuentra en los mapas, con todos sus accidentes e irregularidades. Dinámica relativa– p. 12/18 Geoide Dinámica relativa– p. 13/18 Latitud Verti ca No rm a ide pso Eli e g φc φg φa Horiz ontal Ge o i d l δ l N Latitud geocéntrica φc : radio vector con el plano ecuatorial. Latitud geodésica o geográfica φg : normal al elipsoide con el plano ecuatorial (mapas). Latitud astronómica φa : vertical local —la normal al geoide— con el plano ecuatorial (plomadas, niveles) Desviación de la vertical δ es la diferencia entre la latitud astronómica y la geodésica. Coordenadas geográficas: longitud, Latitud geodésica o geográfica φg , altura sobre el elipsoide. Dinámica relativa– p. 14/18 Movimiento relativo al triedro orbital z1 Órbita circular de O : ω 01 = ω z E M ωt R O x1 FIA = −m FIC x γO 01 y1 y mr̈ = − µm |EM| 3 q µ R3 k1 EM + FIA + FIC Donde EM = (R + x, y, z). ∧ OM + ω ∧ (ω ∧ OM) = ω̇ 01 + 01 01     R x   µ µ =m 3 0 +m 3 y R   R   0 0   r ẏ   µ = −2mω 01 ∧ ṙ = 2m −ẋ 3 R   0 Dinámica relativa– p. 15/18 Movimiento relativo al triedro orbital Normalmente, |OM| ≪ R (10−3 ): linealizar la gravedad −3/2 −3 2 |EM| = R2 + 2xR + x2+y + z2 ≃ −3/2 x −3/2 = R−3 1 + 2 ≃ R2 + 2xR R Desarrollo (1 + ǫ)−3 = 1 − 32 ǫ + . . . , pues ǫ = 2x/R ≪ 1:   R + x  µm µm − 3 EM = − R3 (1 − 3x/R)  y  = |EM| z    2 /R  R − 3x + x − 3x   µm =− 3 y − 3xy/R  R    z − 3xz/R Dinámica relativa– p. 16/18 Movimiento relativo al triedro orbital Conservando sólo términos de orden x/R,         r R − 2x R x ẏ      µm µ µ µ mr̈ = − 3 +m 3 0 +m 3 y y +2m −ẋ 3  R  R   R   R   z 0 0 0 Se llega a las ecuaciones de Hill: ẍ = 3 ω 2 x +2ω ẏ ÿ = −2ω ẋ z̈ = −ω 2 z Gradiente de gravedad: variación de la gravedad + fuerza centrífuga Plano orbital atractor, plano horizontal local repulsor Dinámica relativa– p. 17/18 Movimiento relativo al triedro orbital Las ecuaciones de Hill son lineales de coeficientes constantes y tienen solución analítica: las Ecuaciones de Clohessy-Wiltshire ẏ0 ẏ0 ẋ0 x = 4x0 + 2 − 3x0 + 2 cos ω t + sin ω t ω ω ω ẋ0 ẏ0 ẋ0 y = y0 − 2 + 2 cos ω t + 2 3x0 + 2 sin ω t − 3 (ẏ0 + 2x0 ω) t ω ω ω ż0 z = z0 cos ω t + sin ω t ω Útiles para la aproximación final entre dos satélites: Dados x0 , y0 , z0 y ẋ0 , ẏ0 , ż0 en t0 , obtener el ∆v (impulso del motor) que lleva a x = 0, y = 0, z = 0 en t1 . Cerca del origen hay que dar otro ∆v para frenar. Dinámica relativa– p. 18/18

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