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1.- Definición
Angulo es la abertura que se produce al intersectar dos rectas (Fig.1)
D
C
o
α
A
B
Fig.1
Un ángulo está formado por dos rayos que tienen un origen común. A ese
punto común le llamamos vértice.
Un ángulo se define a través de tres puntos.
determina el vértice del ángulo.(Fig.2)
La letra central siempre
B
α
O
α = ∠ ΑΟΒ
A
Fig.2
2.- Sistemas de medida
Cuando hablamos de distancia , podemos expresarla de las siguientes
formas :
3 mts. = 300 cms. = 0,03 kms.
En los tres casos nos estamos refiriendo a la misma distancia pero
expresada en diferentes unidades. Con los ángulos puede ocurrir lo mismo, es
decir , medir un mismo ángulo a través de diferentes unidades. Los sistemas
usados son el sexagesimal, el centesimal y el circular.
2.1 Sistema Sexagesimal.
En este sistema se divide una circunferencia en 360 partes y cada parte es
un grado sexagesimal. (Fig.3)
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Fig.3
2.2 Subunidades del Sistema Sexagesimal
Cada grado consta de 60 minutos y cada minuto de 60 segundos.
1º = 60'
1' = 60''
2.3 Sistema Centesimal.
En este sistema se divide una circunferencia en 400 partes iguales y cada
parte es
un grado centesimal (Fig.4).
Fig.4
2.4 Subunidades del Sistema Centesimal
Cada grado consta de 100 minutos y cada minuto de 100 segundos.
g
m
1 = 100
m
s
1 = 100
2.5 Sistema Circular
En este sistema se divide la circunferencia en 2 π partes iguales ( π =
3,14... ) y cada parte de ella le llamaremos radian .(Fig.5)
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Fig.5
Podemos establecer el siguiente cuadro comparativo entre los Sistemas :
Sistema Sexagesimal
Sistema Centesimal
Sistema Circular
g
360 º
2πrad
400
g
180 º
πrad.
200
g
90 º
π/2rad.
100
Esto significa que si tenemos la medida de un ángulo en cualquiera de los
sistemas , podemos transformarlo a cualquiera de los otros dos.
Ejemplo
¿ A cuántos radianes equivalen 270 º?
180 º -------> π
270 º -------> x
π
180º
=
x
270º
x = 3 π rad.
2
Ejemplo
¿A cuántos grados centesimales corresponden 3π/2 rad.?
200--------- > π
x ---------- > 3π
2
g
x = 300
Comúnmente se utiliza el Sistema Sexagesimal, por tanto desde ahora en
adelante trabajaremos con él a menos que se advierta expresamente lo contrario.
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3.- Aritmética angular
3.1 Suma. Se deben sumar unidades correspondientes entre si:
Ejemplo
28º 39' 43''
+32º 50' 25''
60º 80' 68''
Deberemos ahora convertir las sub unidades ya que 80' son más que un
grado y 68" son más que un minuto. Entonces,
60º 80' 68'' = 60º 60' + 20' 60" + 8 "
= 61º
21'
8"
Ejemplo
90º
+ 14º 13' 12''
104º 13' 12"
3.2 Resta
Al igual que en la suma se deben restar unidades correspondientes entre si
:
34º 15' 38"
- 12º 13' 20''
22º 2' 18''
Ejemplo
73º 17'
- 52º 20' 10''
Deberemos transformar las sub unidades porque 20' no pueden ser
restados a 17'.Entonces, 73º 17' = 72º 77' = 72º 76' 60'' De esta manera, la
operación queda
72º 76' 60''
- 52º 20' 10''
20º 56' 50''
Ejemplo
90º
- 45º 30' 20''
44º 29' 40''
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4.- Clasificación de los ángulos
4.1 Angulo agudo. Es aquél que mide menos de 90º(Fig.6)
α
Fig.6
4.2 Angulo recto
Es aquél que mide 90º.(Fig.7)
Fig.7
4.3 Angulo obtuso
Es aquél que mide mas de 90º y menos de 180º.(Fig.8)
α
Fig.8
4.4 Angulo extendido
Es aquél que mide 180º.(Fig.9)
A
o
B
Fig.9
4.5 Angulo concavo
Es aquél que mide más de 0º y menos de 180º. (Fig 10)
Fig.10
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4.6 Angulo convexo
Es aquél que mide más de 180º y menos de 360º.(Fig 11)
Fig.11
4.7 Angulo completo
Es aquél que mide 360º (Fig.12)
Fig.12
5. Ángulos suplementarios
Dos ángulos α y β se dice que son suplementarios si su suma es un angulo
extendido.
α + β = 180º
Entonces, el suplemento de cualquier ángulo α es : 180º - α (Fig.13)
180−α
α
Fig.13
Ejemplo
¿Cuánto vale el suplemento de un ángulo de 45º?
Si α = 45º y se define como suplemento
de α' = 180 - α , entonces 180º - 45º = 135º
∴ el suplemento del ángulo es 135º
6. Ángulos complementarios
Dos ángulos α y β se dice que son complementarios si su suma es un
ángulo recto.
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α + β = 90º
Entonces, el complemento de cualquier ángulo α es : 90 - α (Fig.14)
90−α
α
Fig.14
Ejemplo
¿Cuánto vale el complemento de un ángulo de 30º ?
Si α = 30º y definimos el complemento como
complemento de un ángulo de 30º es 60º.
α' = 90 - α, entonces el
7. Ángulos adyacentes
Dos ángulos α y β se dice que son adyacentes si tienen un lado común y el
segundo lado sobre la misma recta.(Fig.15)
C
α
β
A
O
B
Fig.15
Los angulos adyacentes son suplementarios
8. Ángulos consecutivos
Dos ángulos α y β se dice que son consecutivos si tienen un lado en
común. (Fig.16)
D
E
C
α
A
O
β
B
Fig.16
9. Ángulos opuestos por el vértice
Son aquellos que se forman al prolongar los rayos de un ángulo desde el
vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En la figura a y b
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C
D
α
son opuestos por el vértice.(Fig.17)
Fig.17
A
o
β
B
10. Formación de ángulos.
Al intersectar dos rectas tenemos ángulos adyacentes y ángulos opuestos
por el vértice.(Fig.18)
γ
β
α
γ
Fig.18
Ángulos adyacentes son:
α con β ; β con γ
γ con δ ; δ con α
Además,
α + β = 180º ; β + γ = 180º
γ + δ = 180º ; δ + α = 180º
Ángulos opuestos por el vértice son:
α con γ ; β con δ
Además,
α=γ ;β=δ
11. Ángulos entre paralelas
Si intersectamos dos paralelas con una transversal tendremos :(Fig.19)
L1 // L 2 y S: transversal
s
β
γ
β
γ
α
L1
δ
α
L2
δ
Fig.19
Ángulos correspondientes son aquéllos que están al mismo lado de la
transversal y la paralela.
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α con α'
β con β'
γ con γ'
δ con δ'
Además, los ángulos correspondientes son iguales entre si ,
α = α'
β = β'
γ = γ'
δ = δ'
Ángulos alternos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la
transversal.
Ahora bien , ángulos alternos internos son aquellos que se encuentran a diferentes
lados de la transversal y al interior de las paralelas.
γ
δ
γ
δ
= γ'
= δ'
= α'
= β'
Ángulos alternos externos son aquéllos que se encuentran a diferentes lados de la
transversal pero hacia afuera de las paralelas.
β con δ'
α con γ'
β = δ'
α = δ'
Una manera más simple de recordar esto es numerando los ángulos
formados entre las paralelas y la transversal, de tal modo que:
Ángulos impares son iguales y
Ángulos pares son iguales (Fig.20)
L1 // L2
S : tranversal
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s
2
3
L1
4
6
7
1
5
L2
8
Fig.20
12. Bisectriz de un ángulo
Es la semirrecta que divide el vértice de un ángulo en dos ángulos iguales.(Fig.21)
C
B
α/2
COA =α
α/2
O
A
Fig.21.
Ejemplo
b COB
D
C
COD = DOB = 65º
50
A
O
B