1. INTRODUCCIÓN 1.1. ANTECEDENTES La investigación objeto

Capitulo 1. Introducción
1.
INTRODUCCIÓN
1.1.
ANTECEDENTES
Optimización Estocástica Multi-Etapa con Manejo de Riesgo
La investigación objeto de la presente Tesis Doctoral ha tenido como objetivo estudiar, extender y validar
aspectos teóricos relacionados con la optimización de sistemas dinámicos estocásticos utilizando la Teoría
de Partición desarrollada por J. F. Benders (TB, 1962) y la Relajación Lagrangeana (RL, Bazzara y Shetty
1979), para resolver problemas cuya partición y descomposición facilitan la solución y la comprensión del
problema global (Holmerg, 1966).
El punto de partida de la investigación es el estudio de varias metodologías existentes en las que se ha
utilizado el enfoque de partición y de descomposición de sistemas para resolver exactamente problemas
dinámicos de optimización de gran tamaño. A partir de dichos estudios se revisa la teoría que soporta las
metodologías y se generalizan y extienden los casos de aplicación como un aporte científico novedoso en
el campo de la programación matemática. A su vez, la investigación sirve como un compendio de la
aplicación de la TB y la RL a problemas generales siguiendo el enfoque de Programación Dinámica y de
Teoría de Control, el cual desde el punto de vista teórico enriquece y facilita el estudio del
comportamiento óptimo de sistemas dinámicos bajo incertidumbre. El estudio incluye la medición del
riesgo asociado a las decisiones e incorpora su control como parte de los modelos de optimización
estocástica de las nuevas metodologías propuestas, basadas en esquemas de partición y de
descomposición.
Esta investigación se ha realizado durante varios años a través de trabajos de investigación y de
consultoría realizados por el autor, con base en ellos se han construido resultados parciales que se integran
en un solo marco de referencia en la presente Tesis Doctoral. Los trabajos previamente desarrollados se
enumeran a continuación:
ƒ Velásquez, J., “OEDM: OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA DINÁMICA MULTINIVEL.
TEORIA GENERAL”. Revista Energética No. 13, 1995 (Revista de Estudios Energéticos de la
Facultad de Minas de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín). Revisión Documento
Trabajo DW-DT-033-2003.
ƒ Velásquez, J. “ASYNCHRONOUS PARALLEL OPTIMIZATION FOR EXPANSION AND
OPERATION OF MULTISECTORIAL INDUSTRIAL SYSTEMS”. Ponencia presentada en
EURO XV - INFORMS XXXIV Joint International Meeting, Barcelona 1998.
ƒ Velásquez, J., Restrepo, P.J., and Campo, R. “DUAL DYNAMIC PROGRAMMING: A NOTE ON
IMPLEMENTATION”. Water Resources Research, Vol 35 (7), July 1999.
ƒ Velásquez, J. “GDDP: GENERALIZED DUAL DYNAMIC PROGRAMMING THEORY”.
Annals of Operations Research 117, 21–31, 2002.
ƒ Velásquez, J. “SPDDG: : GENERALIZED DUAL DYNAMIC PROGRAMMING THEORY”.
Ponencia presentada en EURO XVI - INFORMS XXXV Joint International Meeting, Instambul 2003,
INFORMS Annual Meeting ATLANTA 2003, y III Congreso Colombiano de Investigación de
Operaciones Cartagena 2004. Submitted to Annals of Operations Research.
ƒ Velásquez, J., “NON-LINEAR DUAL DYNAMIC PROGRAMMING (NLDDP)”. Documento de
Trabajo DW-028-003. Ponencia en XIII Congreso Latino-Iberoamericano de Investigación de
Operaciones (Cuba, octubre 2004).
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Capitulo 1. Introducción
Optimización Estocástica Multi-Etapa con Manejo de Riesgo
Varios de los desarrollos teóricos presentados en las anteriores publicaciones y/o ponencias son originales
ya que en su momento aportaron formulaciones matemáticas nuevas, o revisiones a metodologías ya
existentes, en el campo de la programación matemática estocástica.
1.2.
ORGANIZACIÓN
Este informe está organizado en siete capítulos cuyos contenidos, a partir del segundo, se describen a
continuación:
ƒ Capítulo 2 - OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS COMPLEJOS: presenta dos teorías básicas
utilizadas para la optimización de sistemas de gran escala: La teoría de partición de Benders y la
Relajación Lagrangeana. A partir de las formulaciones básicas se estudian variaciones y extensiones
de dichas teorías, así como aspectos importantes para su implementación computacional.
ƒ Capítulo 3 - PROGRAMACIÓN DINÁMICA: presenta el enfoque clásico de programación
dinámica y su relación con la programación matemática desde el punto de vista de la TB para
descomponer en el tiempo problemas dinámicos. Varias de las metodologías estudiadas son originales
del autor.
ƒ Capítulo 4 - OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA – FUNDAMENTOS: presenta la formulación
básica y los fundamentos de la denominada optimización estocástica, incluyendo los aspectos
relacionados con el manejo del riesgo en los modelos de programación matemática.
ƒ Capítulo 5 - OPTIMIZACIÓN ESTOCÁSTICA – METODOLOGÍAS: presenta varias
metodologías que se han desarrollado para resolver el problema de optimización estocástica utilizando
los conceptos de partición y/o de descomposición de sistemas de gran escala. El estudio se concentra
en la aplicación de la TB y de la RL.
ƒ Capítulo 6 - PROGRAMACIÓN ESTOCÁSTICA MULTI-ETAPA GENERALIZADA: presenta
las metodologías propuestas para resolver el problema de optimización estocástica a partir de una
formulación no clásica que mayoritariamente no está presente en las metodologías más conocidas para
atacar el problema de optimización bajo incertidumbre. Todo el contenido del capítulo se considera
original del autor, reconociendo que los planteamientos incorporan conceptos interesantes ya
presentados por otros investigadores.
ƒ Capítulo 7 - APLICACIONES: presenta ejemplos de formulaciones de sistemas reales en los que es
posible utilizar las metodologías formuladas en el capítulo 6.
ƒ Capítulo 8 - CONCLUSIONES Y FUTURAS INVESTIGACIONES: presenta las conclusiones y
recomendaciones para futuras investigaciones en el tema de la optimización estocástica multi-etapa
con análisis de riesgo.
1.3.
APORTES CIENTÍFICOS A LA PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA
Los siguientes se consideran aportes originales del autor al tema las metodologías de partición y
descomposición de modelos de optimización de gran tamaño:
ƒ SUBROGACIÓN DE CORTES DE BENDERS: tratado en el numeral 2.1.1.1. y publicado en
“OEDM: Optimización Estocástica Dinámica Multinivel. Teoría General”. Revista Energética No. 13,
1995 (Revista de Estudios Energéticos de la Facultad de Minas de la Universidad Nacional de
Colombia Sede Medellín). Revisión Documento Trabajo DW-DT-033-2003.
ƒ TEORÍA GENERAL DE BENDERS MULTINIVEL: tratada en el numeral 2.1.4. y publicada en
“OEDM: Optimización Estocástica Dinámica Multinivel. Teoría General”. Revista Energética No. 13,
1995 (Revista de Estudios Energéticos de la Facultad de Minas de la Universidad Nacional de
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Capitulo 1. Introducción
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
1.4.
Optimización Estocástica Multi-Etapa con Manejo de Riesgo
Colombia Sede Medellín). Revisión Documento Trabajo DW-DT-033-2003.
REVISIÓN DE LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL: tratado en el numeral 3.2.1. y
publicado en “Dual Dynamic Programming: A Note on Implementation”. Water Resources Research,
Vol 35 (7), July 1999.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL GENERALIZADA (PDDG): tratada en el numeral 3.3. y
publicada en “GDDP: Generalized Dual Dynamic Programming Theory”. Annals of Operations
Research 117, 21–31, 2002.
PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL NO-LINEAL (PDD-NL): tratada en el numeral 3.4. y
publicada como documento de trabajo en “Non-Linear Dual Dynamic Programming (NLDDP)”.
Documento de Trabajo DW-028-003. Ponencia presentada en el XIII Congreso LatinoIberoamericano de Investigación de Operaciones (Cuba, octubre 2004).
PROGRAMACIÓN DINÁMICA DUAL ESTOCÁSTICA GENERALIZADA (PDDG): tratada
en el numeral 6.1.2. Aceptada para revisión para publicación como “GSDDP: GENERALIZED
STOCHASTIC DUAL DYNAMIC PROGRAMMING THEORY” en Annals of Operations
Research. Presentada como ponencia en: EURO XVI - INFORMS XXXV Joint International Meeting
Instambul 2003, INFORMS Annual Meeting Atlanta 2003 y III Congreso Colombiano de
Investigación de Operaciones Cartagena 2004.
PROGRAMACIÓN LINEAL ESTOCÁSTICA MULTI-ETAPA GENERALIZADA CON
MANEJO DEL RIESGO: tratada en el numeral 6.2. Publicada por primera vez.
NOTACIÓN MATEMÁTICA
A continuación se describe la notación matemática utilizada en el presente documento.
Todos los problemas de optimización se presentan de la siguiente forma
P: = {
α = Min z = ∑i=1,T ciTxi + f(w) |
F0(w) = b0
Aixi + Fi(w) = bi ∀ i=1,T
xi∈R+ ∀ i=1,T , w∈S
}
donde han establecido las siguientes normas:
ƒ
El nombre dado al problema siempre termina con dos puntos (:) para diferenciarlo de cualquier otra
sigla utilizada en el texto. En este caso es igual a P: ;
ƒ
Las componentes del problema, función objetivo y restricciones, se limitan por corchetes ( { } ) ;
ƒ
El sentido de la optimización se determina con los siguientes símbolos: Min para minimizar y Max
para maximizar ;
ƒ
Cuando el valor de la función objetivo para la solución se asigna a una variable, o a una función, la
igualdad se define previamente al sentido de la optimización, en el caso en referencia α corresponde
al valor mínimo de la función objetivo z para la solución del problema P: ;
ƒ
Convencionalmente la ecuación que define la función objetivo se asigna a la variable z ;
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Capitulo 1. Introducción
Optimización Estocástica Multi-Etapa con Manejo de Riesgo
ƒ
Las funciones se denotan con letras minúsculas y entre paréntesis el argumento de la función. En el
ejemplo f(x) hace referencia a la función f() con argumento x.
ƒ
Las funciones vectoriales se denotan con letras mayúsculas y entre paréntesis el argumento de la
función. En el ejemplo Fi(x) hace referencia a la función Fi(x) con argumento x.
ƒ
El símbolo | se utiliza después de la función objetivo para indicar las restricciones que debe cumplir
la solución del problema y sustituye la expresión sujeto a: ;
ƒ
Normalmente cada restricción se escribe en una línea, cuando se escribe más de una restricción por
línea se utiliza como separador la coma ( , ) ;
ƒ
Normalmente los problemas se formulan en forma vectorial por lo tanto las variables se refieren a
vectores, en este caso el problema tiene como variables xi y w. Cuando las variables están asociadas a
escalares se especifica en el texto. Por definición se asume que todos los vectores son vectores
columna de tal forma que su transpuesto es un vector fila ;
ƒ
En general los vectores se asocian a símbolos escritos con letras minúsculas y las matrices a símbolos
con letras mayúsculas;
ƒ
Los límites de una sumatoria se especifican de manera sub-indicada a continuación del símbolo ∑. En
este caso la expresión
∑i=1,T ciTxi
indica la sumatoria sobre i para i igual desde 1 hasta T. Si el índice sobre el cual se suma pertenece a
un conjunto la sumatoria se expresa como
∑i∈Θ ciTxi
donde se indica la sumatoria sobre los elementos i que pertenecen al conjunto Θ.
ƒ
De manera similar los límites de las integrales las integrales se especifican de manera sub-indicada a
continuación del símbolo ∫ . Por ejemplo:
∫x∈S f(x) ∂x
Indica la integral de f(x) para x perteneciente al espacio S.
ƒ
Cuando existen sub-índices asociados a una restricción, las condiciones de existencia de una
restricción se expresan a continuación de la ecuación que la define. En este caso la expresión
Aixi + Fi(w) = bi ∀ i=1,T
indica que la restricción es válida para todo elemento i desde 1 hasta T. Si la condición de existencia
está dada sobre un conjunto se expresará de la siguiente manera
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Capitulo 1. Introducción
Optimización Estocástica Multi-Etapa con Manejo de Riesgo
Aixi + Fi(w) = bi ∀ i∈Θ
donde se indica la validez de la restricción para todos los elementos i que pertenecen al conjunto Θ.
ƒ
Las condiciones de existencia sobre las variables se expresan con base al espacio al que pertenecen.
En el ejemplo,
xi∈R+
∀ i=1,T
indica que el vector xi pertenece al espacio de los números reales positivos, y la condición
w∈S
indica que el vector w pertenece a un espacio especial denominado S.
ƒ
El significado de los símbolos algebraicos utilizados en las ecuaciones se define antes de utilizarlos o
inmediatamente después de la primera vez en que son utilizados.
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