Como obtener los parámetros de un motor de corriente

Como obtener los parámetros de un motor de corriente continua e imán
permanente
Autor: Ing. Alfredo Carrasco Aráoz
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Introducción
En la actualidad los motores de corriente continua tienen gran importancia y un sinfín de aplicaciones, tan variadas que van desde
juguetes hasta robos industriales. El bajo costo, la variedad de tamaños y la facilidad de control (comparados con los motores de
C.A), hacen de ellos piezas fundamentales para el diseño de automatismos, y sistemas mecatrónicos, aplicables a el control de
los procesos industriales.
En la actualidad existen una gran variedad de motores de corriente continua, los que se clasifican de diversas formas, una de
ellas es la clasificación de los motores por la forma de generar el campo magnético del estator, de manera simple se tienen los
motores que utilizan un estator devanado y los motores que utilizan un imán permanente, siendo estos últimos, en donde recae
la importancia de este documento.
El Motor de Corriente Continua (VCC)
Básicamente el motor de corriente continua convierte la energía eléctrica en energía mecánica (del tipo rotacional) generando
con esto trabajo mecánico. La figura 1 muestra la composición básica de un motor de corriente continua de imán permanente.
Figura 1 funcionamiento básico de un motor de VCD de imán permanente (fuente propia 2014)
En la figura 2, se muestra el diagrama eléctrico de un motor de corriente continua de imán permanente. En ella se puede observar
la resistencia de armadura asociada a la inductancia del estator y la fuerza contra electromotriz o contra fem representadas por
Ra, La, y Eb respectivamente.
Fig. 2 Diagrama eléctrico de un motor de corriente eléctrica de imán permanente (Kuo, 1995)
El diagrama completo del motor se compone de dos sistemas, el sistema eléctrico y el sistema mecánico, como se observa en la
figura 3.
Fig. 3 Diagrama eléctrico de un motor de corriente eléctrica completo (Fuente propia 2014)
Tanto el sistema eléctrico como el sistema mecánico se relacionan entre sí mediante las constantes T y Vd definidas de la
siguiente forma.
𝑇 = 𝐾𝑡 𝑖
𝑉𝑑 = 𝐾𝑑
𝑑𝜃
𝑑𝑡
Obtención de los Parámetros del Motor Eléctrico de Imán Permanente
Resistencia de Armadura (Ra)
La resistencia de armadura (Ra) se puede determinar midiendo directamente las terminales del motor con un óhmetro (VOM). En
el caso que la resistencia tuviese un valor pequeño que no fuera posible medir con el VOM se puede optar por cualquiera de estos
dos métodos, el primero consiste en armar un puente de Winston y mediante la ley de Ohm determinar la resistencia del devanado
de armadura. El segundo caso es más sencillo, consiste en tomar la lectura de la corriente justo cuando el motor arranca. Es decir
la corriente de rotor bloqueado, esta se puede determinar introduciendo un pequeño voltaje conocido, y observar ese valor, la
corriente medida en ese punto corresponde únicamente a la resistencia del conductor ya que todavía no se establece la fuerza
contra electromotriz o contra fem, con este valor y aplicando la ley de Ohm se establece la resistencia de armadura. (Chapman,
2012)
Inductancia de Armadura (La)
La inductancia de armadura al igual que la resistencia de armadura se puede determinar directamente de las terminales del motor,
esto se hace mediante un inductámetro. En el caso de no contar con el instrumento de medición se puede recurrir al siguiente
método:

Alimentar el motor con una fuente de voltaje alterno de frecuencia conocida (por ejemplo el de la línea comercial que es
de 60 Hz) y con el nivel de tensión de bajo (aproximadamente el 50 % de la tensión nominal de la máquina), medir la
corriente de armadura (Ia).

Los valores de la corriente de armadura, la resistencia de armadura y la frecuencia de la fuente de alimentación alterna
se sustituyen en la siguiente expresión para determinar la inductancia de armadura del motor.
𝑉𝑎2
2
𝐼𝑎 − 𝑅𝑎
2𝜋𝑓
√
𝐿𝑎 =
Dónde: Va corresponde al voltaje de armadura, La corriente de armadura, Ra resistencia
de armadura, f frecuencia de la fuente de alimentación.
Constante de Tiempo Eléctrica (te)
Una vez que se han determinado los valores de la inductancia y la resistencia del motor es posible determinar la constante de
tiempo eléctrica del motor, despejándola de la siguiente ecuación:
𝐿𝑎 = 𝑡𝑒 ∗ 𝑅𝑎
Por lo tanto:
𝑡𝑒 =
𝐿𝑎
𝑅𝑎
Constante Contra Electromotriz (Ke)
Cuando el motor eléctrico se encuentra en funcionamiento se genera en el devanado una fuerza contra electromotriz a causa de
las leyes de Lenz y Faraday, (Halliday & Resnick, 2007). Cuando la intensidad del flujo magnético es constante el voltaje inducido
(Eb) es proporcional a la velocidad angular (ω) del tal forma que se puede expresar la constante contra electromotriz como:
𝐾𝑒 =
𝐸𝑏
𝑉
=
𝑛
𝜔
Por lo tanto:
𝐸𝑏 = 𝑉𝑖 − ( 𝐿𝑎 ∗ 𝑅𝑎 )
Donde Eb representa a la fem inducida, Vi voltaje de entrada.
Para tener una constante Ke confiable se debe obtener una muestra de datos en forma experimental. Es aconsejable tomar lectura
de velocidad, corriente y voltaje de entrada del motor, partiendo desde el voltaje necesario para que empiece a girar el motor
hasta el voltaje nominal recordando que entre más muestras obtengamos la constante será más precisa. Con los datos recabados
se realiza una regresión lineal o alguna de otro tipo que se ajuste mejor a los datos, a fin de obtener así una constante más precisa
del sistema.
Constante de Torque (Kt)
El motor a través de su eje motor entrega la potencia mecánica representada por el par torsional, mismo que se relaciona por el
producto de la corriente en el devanado del rotor y el flujo magnético en el entrehierro siendo este producto proporcional a la
corriente de campo. La siguiente expresión determina el par motriz como:
𝑇𝑚 = 𝐾𝑓 ∗ 𝐼𝑓 ∗ 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎
Debido a que el motor de estudio es de imán permanente los parámetros Kf, If y Kt se pueden representar en una sola constante
Kt, por razón de carecer de alimentación para generar el campo magnético del estator, dando como resultado la siguiente
expresión:
𝑇𝑚 = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎
Dónde: Tm constante de torque electromecánico
Mediante el uso de ecuaciones paramétricas es posible determinar Kt mediante la siguiente relación:
𝑁
𝑉
𝐾𝑡 ( ) = 9.5493 ∗ 10 𝐾𝑒 𝐾𝑒 𝑒𝑛 (
)
𝐴
𝐾𝑅𝑃𝑀
La constante de torque se puede determinar de forma experimental utilizando para ello una polea de radio conocido y un
dinamómetro. El método consiste en colocar la polea al eje motriz y sujetando el dinamómetro en la polea como se muestra en la
figura 4, con este arreglo se mide la fuerza que ejerce el motor sobre el dinamómetro cuando se le aplica la tención nominal. Una
vez que se conoce la fuerza se multiplica por el radio de la polea y se obtiene el torque del motor. Para tener un valor confiable
del par motor es preciso recolectar una serie de datos y con ellos determinar la media de la medida del torque motriz.
Figura 4 Arreglo para determinar el par motriz (Fuente propia 2014)
Mecánicamente el torque se determina por la expresión:
𝑇 =𝐹∗𝑟
Donde T par motriz, F fuerza, r radio de la polea.
Eléctricamente el par motriz se determina mediante la siguiente ecuación:
𝑇 = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎
Partiendo de la condición de equilibrio del sistema mecánico se procede a igualar las dos ecuaciones y despejar de ellas a Kt
dando como resultado la siguiente ecuación:
𝐾𝑡 =
𝐹∗𝑟
𝐼𝑎
Constante de Tiempo Mecánica (tm)
De igual forma que el circuito eléctrico del motor tiene la constante de tiempo, el sistema mecánico, también cuenta con una
constante propia. Ésta determina el tiempo en que el sistema mecánico alcanza el 63.2 % de la velocidad nominal de la máquina.
Para determinar el valor de esta constante se requiere de un osciloscopio (digital con modo de captura de pantalla), conectado
en los terminales de alimentación del motor, posterior a esto se aplica la tensión nominal al motor y se captura la gráfica de
respuesta, en ella se determina el tiempo en que alcanza T (63.2% de la tensión). Este tiempo corresponde a la constante
mecánica tm.
Momento de Inercia (Jm)
El momento de inercia se puede calcular de forma paramétrica con los parámetros conocidos y calculados con antelación
mediante la siguiente ecuación.
𝐽𝑚 =
𝑡𝑚 ∗ 𝐾𝑡 ∗ 𝐾𝑒
𝑅𝑎
Corriente de Arranque del Motor (Iarr)
Se denomina corriente de arranque a la corriente necesaria para que el motor venza la inercia mecánica. Para poder determinar
esta corriente se requiere conectar un amperímetro a la entrada de tensión. Mediante una fuente de voltaje variable, se aplica
tensión al motor, incrementando el nivel hasta que el rotor inicie su movimiento, y en ese instante, se deja de incrementar el voltaje
y se toma la lectura del amperímetro, bajo esas condiciones, la lectura corresponde a la corriente de arranque (Iarr).
Torque de Fricción (Tf)
El torque de fricción corresponde al par necesario para vencer la fricción estática. La fricción estática es una pérdida de energía
originada por la inercia de la dinámica del sistema que se presentan en las superficies de contacto originada por la carencia de
rodamientos antifricción.
El torque de fricción corresponde al producto de la constante de torque (Kt) y la corriente de arranque (Iarr) como se observa en
la siguiente ecuación:
𝑇𝑓 = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎𝑟𝑟
Dónde: Tf torque de fricción.
Constante de Fricción de Coulomb (β)
Cuando el sistema se encuentra en estado estacionario la fricción corresponde a la fricción de Coulomb o también llamada fricción
seca. Cuando el sistema alcanza la velocidad angular nominal (ω) la aceleración decrece hasta cero lo que permite determinar la
constante de fricción (β) en el sistema.
Para el estado estable el torque del motor está definido como:
𝑇𝑚 = 𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎 = 𝛽 𝜔 + 𝑇𝑓
Despejando a β de la ecuación anterior de obtiene:
𝛽=
(𝐾𝑡 ∗ 𝐼𝑎 ) − 𝑇𝑓
𝜔
Donde ω velocidad angular
Otro método para establecer el coeficiente β es mediante un análisis estadístico de manera que es necesario realizar un gráfico
(Tm – Tf) contra ω en radianes, con una muestra de datos obtenidos experimentalmente. Una vez graficados lo valores es preciso
realizar la correspondiente regresión lineal para ajustar la recta y determinar la pendiente de la misma ya que está corresponde
al valor de la constante de fricción de Coulomb (β).
Con los parámetros aquí descritos es posible simular el comportamiento del motor de cd de imán permanente solo basta con
sustituirlos los parámetros en la ecuación de transferencia.
𝐺(𝑠) =
𝜃(𝑆)
𝐾𝑡
=
2
(𝑅 + 𝐿𝑆)(𝑆 + 𝐵𝑆) + (𝐾𝑡 𝐾𝑓 𝑆)
𝑉(𝑆)
Conclusiones
A lo largo de este documento se ha explicado un método para obtener los parámetros de un motor de corriente continua e imán
permanente, este método es muy útil cuando se quiere modelar sistema mecánico, en el que su potencia, la provee una máquina
de este tipo. En la práctica ha demostrado su eficacia al permitir el cálculo de las cuantificaciones físicas que rigen el
comportamiento de la maquina eléctrica con relativa facilidad. Cabe hacer la aclaración que ocasiones es necesario el uso de un
puente de Wheatstone, para medir la resistencia de rotor debido a que se presenta un valor pequeño de resistividad, que no es
posible medir con un óhmetro común por el rango y sensibilidad del aparato.
En el caso de los motores de corriente directa de rotor y estator devanado también es posible también poder el valor de sus
variables de operación, solo hay que tomar en cuenta a la bobina de estator y la forma en que se conecta con el rotor, hay que
recordar que existen dos formas de conexión, serie o paralelo, esto es importante ya que influye en el modelado del sistema.
Pero en cualquiera de los casos es fácil de aplicar además de ser capaz de proporcionar los datos de motores eléctricos para los
cuales no existen hojas de datos técnicos del fabricante ya sea porque se encuentran fuera del alcance del usuario o porque la
máquina no cuente con una placa de identificación de marca y modelo.
Referencias
Chapman, S. J. (2012). Máquinas Eléctricas. México D.F.: McGraw Hill.
Fitzgerald, A. E., Charles Kingsley, J., & Umans, S. D. (2004). Máquinas Eléctricas. México D.F.: McGraw
Hill interamericana.
Gaviño, R. H. (2010). introduccion a los sistemas de control. México: Prentice Hall.
Halliday, & Resnick, W. (2007). Fundamentals of Physics. U.S.A.
Kuo, B. C. (1995). Sistemas de Control Automatico. D.F; México: Prentice Hall.
Nise, N. S. (2011). Control Systems Engineering. California; USA: John Wiley & Sons, Inc.
Ortega, M. G., & Capaho, C. G. (2009). Tesis: Obtencion experimental de los parámetros del motor que se
utilizará en el sistema de locomoción de una esfera rodante . Bucaramangara. Ven.
Este artículo lo revisaron: Ing. Luis Manuel García Martínez, Mtro. Miguel Montiel, Mtro. Jorge Rivera
Flores