32.- Dinámica de los fluidos ideales.

32.-
Dinámica de los fluidos ideales.
§32.1. Fluidos ideales (967); §32.2. La ecuación de Euler (967); §32.3. Otras ecuaciones
de la dinámica de los fluidos (968); §32.4. Otra forma de la ecuación de Euler (970);
§32.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli (970); §32.6. Aplicación de la ecuación
de Bernoulli al flujo irrotacional (971); §32.7. Generalización de la ecuación de Bernoulli
al flujo no estacionario (972); §32.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli
(973); §32.9. Trabajo realizado por una corriente fluida (975); §32.10. Medida de la presión
estática en un flujo (978); §32.11. Medida de la presión dinámica (979); §32.12. Efecto de
Venturi (980); §32.13. Tubo de Pitot (982); §32.14. Efusión de un liquido. Teorema de
Torricelli (983); §32.15. Efusión de gases. Ley de Bunsen (985); Problemas (986)
En la lección anterior hemos descrito el movimiento de los fluidos por medio de magnitudes
cinemáticas tales como la aceleración, la velocidad y la vorticidad; ahora relacionaremos esas
magnitudes cinemáticas con las fuerzas que actúan sobre un fluido en movimiento. Así nos
introduciremos en el estudio de la Dinámica de los fluidos, tema que proporciona las bases de la
hidrodinámica, que se refiere al movimiento de los líquidos, como el agua, y de la aerodinámica,
que concierne al movimiento de los gases, como el aire, y de cuerpos tales como aviones y cohetes
en la atmósfera.
§32.1. Fluidos ideales.- La dinámica de los fluidos reales es un tema
matemática y físicamente muy complejo; por ello resulta conveniente introducir
ciertas hipótesis simplificativas. En esta lección vamos a ocuparnos de los llamados
fluidos ideales, entendiendo por tales aquéllos en los que no existen esfuerzos
cortantes, incluso cuando están en movimiento, de modo que las fuerzas superficiales
(vide §28.3) sobre un elemento de fluido son debidas exclusivamente a la presión.
Por definición, los fluidos no soportan esfuerzos cortantes cuando están en
equilibrio; pero todos los fluidos poseen cierta viscosidad, que introduce esfuerzos
cortantes entre las capas fluidas adyacentes en movimiento relativo. Los fluidos
ideales no poseen viscosidad. Evidentemente, no encontraremos fluidos ideales en la
Naturaleza; el fluido ideal no es más que una hipótesis de trabajo simplificadora. En
muchos fluidos la viscosidad es muy pequeña (agua, aire, ...), de modo que el análisis
restringido de la dinámica de los fluidos a los fluidos ideales tendrá una amplia
aplicación práctica; si acaso, tras introducir las correcciones empíricas apropiadas.
§32.2. La ecuación de Euler.- Supongamos un fluido ideal en movimiento, y
consideremos un elemento infinitesimal del mismo (partícula fluida), de masa dm y
volumen dV (Figura 32.1). Sigamos a la partícula fluida en su movimiento. Naturalmente, supondremos que la masa (dm) de la partícula fluida permanece constante en
Física Universitaria
967
968
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
el transcurso de su movimiento, aunque su volumen (dV) podrá variar, a menos que
el fluido sea incompresible. La segunda ley del movimiento de Newton nos relaciona
la aceleración total que adquiere la partícula con la resultante de todas las fuerzas que
actúan sobre ella; i.e.,
dF R
(dm)
dv
dt
[32.1]
Las fuerzas que actúan sobre la partícula
fluida son de dos tipos (§28.3): fuerzas superficiales y fuerzas másicas. Puesto que el fluido es
ideal, la fuerza superficial neta que actúa sobre
la partícula fluida es debida únicamente a la
presión. De acuerdo con el estudio que hicimos
en §28.4, podemos expresar dicha fuerza en la
forma -∇pdV, ya que fp=-∇p representa la
Figura 32.1
fuerza por unidad de volumen debida a la
presión. Las fuerzas másicas son fuerzas exteriores que actúan sobre la partícula fluida y que acostumbramos a expresar referidas
a la unidad de volumen del fluido (fm, densidad de fuerza másica) o a la unidad de
masa del mismo (g, fuerza másica específica), de modo que la fuerza másica neta que
actúa sobre la partícula fluida será fmdV=gdm. Entonces, la segunda ley del
movimiento de Newton nos permite escribir en un referencial inercial
∇p dV
o sea
1
∇p
ρ
g dm
dm
g
dv
dt
dv
dt
[32.2]
[32.3]
donde la aceleración dv/dt es la aceleración total o sustancial (método de Lagrange).
Utilizaremos la expresión [31.9] para expresar la relación [32.3] en función de las
derivadas en un punto fijo del espacio (método de Euler); así obtendremos
1
∇p
ρ
g
∂v
∂t
(v ∇ ) v
[32.4]
que es la ecuación de Euler del movimiento de un fluido. Obviamente, la ecuación
de Euler comprende como caso particular a la ecuación fundamental de la estática de
los fluidos [29.28] cuando v=0 ó v=cte, i.e., ∇p=ρg.
§32.3. Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos.- Existen seis
variables básicas en la dinámica de los fluidos: las tres componentes de la velocidad,
la presión, la densidad y la temperatura. Esto significa que necesitaremos seis
ecuaciones independientes para resolver los problemas de la dinámica de los fluidos.
Las tres componentes escalares de la ecuación de Euler nos suministra tres de esas
ecuaciones; veamos cuáles son las otras tres.
§32.3.- Otras ecuaciones de la dinámica de los fluidos.
969
(a) Ecuación de continuidad.- Esta ecuación, establecida en la lección precedente,
expresa el principio de conservación de la masa. En ausencia de manantiales y de
sumideros se escribe de la forma
∂ρ
∂t
∇ (ρv)
0
[32.5]
(b) Ecuación característica del fluido.- Esta ecuación expresa las propiedades
fundamentales del fluido, relacionando las magnitudes p, ρ y T. En general, se
reduce a alguna de las formas siguientes:
⎧
ρ(T)
ρ
; para un líquido incompresible.
⎪
⎪
⎪ ρ
ρ 0(T) [1 β p] ; para un líquido poco compresible,
⎨
⎪
siendo β el coeficiente de compresibilidad.
⎪
⎛R⎞
ρ
p
T
⎪
⎜ ⎟
; para un gas perfecto.
⎩
⎝M⎠
[32.6]
(c) Ecuación complementaria.- Esta ecuación caracteriza el tipo de transformación termodinámica que experimenta la partícula fluida en el transcurso de su
movimiento. Bajo el influjo de los cambios de presión, la partícula fluida se expande
o se contrae, realizándose un trabajo por ella o sobre ella; parte de ese trabajo puede
aparecer en forma de calor. Las transformaciones más usuales son las siguientes:
(i) Transformación isotérmica.- Si los cambios de densidad experimentados por
la partícula fluida son suficientemente lentos, la conducción calorífica mantendrá
constante la temperatura en la partícula fluida. En estas condiciones, la relación
existente entre la densidad y la presión estará dada por el módulo de compresibilidad
isotérmico o por la ecuación de estado a temperatura constante (ley de Boyle); i.e.,
⎧
cte
ρ
; para un líquido incompresible.
⎪
⎪
ρ 0 (1 β p) ; para un líquido poco compresible.
⎨ ρ
⎪
⎪
; para un gas perfecto.
cte
p/ρ
⎩
[32.7]
(ii) Transformación adiabática.- Cuando los cambios de densidad son muy rápidos no hay tiempo para que se produzca un flujo calorífico apreciable entre la
partícula fluida y su entorno, de modo que la transformación termodinámica
experimentada por ésta puede considerarse como si fuese adiabática. En estas
condiciones, deberemos utilizar el coeficiente de compresibilidad adiabático o la
relación adiabática entre la presión y la densidad; i.e.,
⎧
cte
ρ
; para un líquido incompresible.
⎪
⎪
ρ 0 (1 αp) ; para un líquido poco compresible.
⎨ ρ
⎪
⎪
; para un gas perfecto.
pρ γ
cte
⎩
[32.8]
donde γ (coeficiente adiabático) es el cociente entre los calores molares a presión
y a volumen constante (γ=Cp/CV).
970
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
El campo de flujo de un fluido quedará completamente determinado una vez que
expresemos el vector velocidad v, la presión p, la densidad ρ y la temperatura T en
función de las coordenadas espaciales y del tiempo. Las seis ecuaciones precedentes
podrán tener o no, una o varias soluciones. En cualquier caso, esas soluciones, si
existen, contendrán constantes de integración que deberán evaluarse en cada problema
concreto a partir de las condiciones de contorno en la región en que se está moviendo
el fluido y de las condiciones iniciales.
§32.4. Otra forma de la ecuación de Euler.- De aquí en adelante, supondremos que la fuerza másica específica g es conservativa, de modo que puede expresarse
como el gradiente (cambiado de signo) de una energía potencial específica (energía
potencial por unidad de masa) que designaremos por ; i.e.,
∇
g
[32.9]
Como es obvio, normalmente la fuerza másica será debida al propio peso del
fluido, en un campo gravitatorio uniforme, de modo que
g
gk
[32.10]
gz
midiéndose z verticalmente hacia arriba a partir de un cierto plano horizontal de
referencia.
En estas condiciones, reescribiremos la ecuación de Euler [32.4] en la forma
1
∇p
ρ
∂v
∂t
∇
(v ∇) v
[32.11]
en la que conviene sustituir el último término por su equivalencia (vide [A10])
(v ∇)v
∇ (
v2
)
2
[32.12]
(∇×v)×v
para obtener finalmente
1
∇p
ρ
∇
∇(
v2
)
2
(∇×v)×v
∂v
∂t
0
[32.13]
que es la forma en que nos serviremos de la ecuación de Euler en los epígrafes
siguientes.
§32.5. Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli.- Consideremos el flujo de
un fluido ideal en régimen estacionario. Entonces será ∂v/∂t=0 y la ecuación de Euler
se reduce a
1
∇p
ρ
∇
∇(
v2
)
2
(∇×v)×v
0
[32.14]
Integraremos esta ecuación diferencial a lo largo de una línea de corriente. Para
ello, multiplicaremos escalarmente todos sus términos por el desplazamiento
elemental dr a lo largo de una línea de corriente (Figura 32.2). Así obtenemos
971
§32.5.- Flujo estacionario. Ecuación de Bernoulli.
1
∇p dr
ρ
∇
dr
∇(
v2
) dr
2
[(∇×v)×v] dr
0
[32.15]
El cuarto término de esta expresión es nulo, por tratarse de un producto mixto
en el que dos de los vectores dr y v, son siempre paralelos. Los otros tres términos
son de la forma general ∇φ dr=dφ, donde el diferencial representa el cambio
infinitesimal de la magnitud escalar φ en la dirección del desplazamiento elemental
dr; i.e., en la dirección de una línea de corriente. Por consiguiente, la expresión [32.15]
nos conduce a escribir
dp
ρ
d
d(
v2
)
2
[32.16]
0
que podemos integrar a lo largo de una línea de corriente para obtener
⌠ dp
⌡ρ
1 2
v
2
[32.17]
cte
Figura 32.2
conocida como ecuación de SAINT VENANT o ecuación
compresible de BERNOULLI. Esta ecuación podrá integrarse si la densidad ρ es expresable como función exclusiva de la presión p; i.e.,
ρ=ρ(p).
Para un fluido incompresible (ρ=cte) tendremos
p
ρ
1 2
v
2
cte
(ρ
cte.)
[32.18]
Si, además, la fuerza másica conservativa es debida exclusivamente al propio peso
del fluido (en un campo gravitatorio uniforme), podemos escribir la ecuación anterior
en la forma
p
ρ
gz
1 2
v
2
cte
[32.19]
conocida como ecuación de Bernoulli para un flujo estacionario, no viscoso e
incompresible. Fue presentada por primera vez por Daniel BERNOULLI1 en su
Hydrodynamica en 1738.
§32.6. Aplicación de la ecuación de Bernoulli al flujo irrotacional.- La
ecuación de Bernoulli desarrollada en el epígrafe anterior es aplicable entre dos
puntos de una línea de corriente cualquiera en un flujo estacionario, no viscoso e
incompresible. Pero si, además, el flujo es irrotacional, podemos demostrar que la
ecuación de Bernoulli es aplicable entre dos puntos cualesquiera del flujo.
1
Daniel BERNOULLI (1700-1782); matemático y físico suizo, hijo de Johann Bernoulli. Realizó
sus principales trabajos en el campo de la Hidrodinámica. Elaboró el primer estudio matemático
de los líquidos y sugirió loas primeras ideas acerca de la teoría cinética de los gases.
972
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo estacionario e irrotacional;
entonces serán ∂v/∂t=0 y ∇×v=0, de modo que la ecuación de Euler [32.13] se reduce
a
1
∇p
ρ
∇
∇(
v2
)
2
[32.20]
0
Ahora, multiplicaremos escalarmente los tres términos de esta expresión por el vector
desplazamiento elemental dr, de dirección arbitraria (Figura 32.3)
1
∇p dr
ρ
∇ dr
∇(
v2
) dr
2
[32.21]
0
Los tres términos de esta expresión son de la
forma general ∇φ dr =dφ, donde la diferencial
representa el cambio infinitesimal que experimenta la
magnitud escalar φ en la dirección (arbitraria) del
desplazamiento dr. Así pues, obtenemos
dp
ρ
d
d(
v2
)
2
cte
[32.22]
expresión que es idéntica a la expr. [32.16], de modo
que de ella se siguen las mismas expresiones [32.17]Figura 32.3
[32.19]; pero como ahora la dirección del desplazamiento elemental dr es arbitraria, de modo que no
existen restricciones direccionales en las diferenciales de la expresión [32.22],
tendremos que las fórmulas finitas [32.17]-[32.19] son aplicables a todos los puntos del
flujo, sin estar restringidas a los puntos situados sobre una misma línea de corriente.
§32.7. Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no
estacionario.- Consideremos un flujo ideal en régimen de flujo currentilíneo y no
estacionario. Entendemos por régimen de flujo currentilíneo aquél en el que la
dirección de la velocidad en cada punto del espacio permanece constante en el
transcurso del tiempo, aun cuando su módulo pueda variar. En un flujo currentilíneo,
incluso cuando no sea estacionario, podemos definir las líneas de corriente, que
coincidirán con las trayectorias seguidas por las partículas fluidas.
Multiplicaremos escalarmente todos los términos de la ecuación de Euler [32.13]
por el vector desplazamiento elemental dr a lo largo de una línea de corriente
(Figura 32.2) para obtener
1
∇p dr
ρ
∇ dr
∇(
v2
) dr
2
[(∇×v)×] dr
⎛ ∂v ⎞
⎜ ⎟ dr
⎝ ∂t ⎠
0
[32.23]
Los tres primeros términos de esta expresión son de la forma general ∇φ dr =dφ.
El cuarto término es nulo por ser v dr; por la misma razón, el quinto término puede
escribirse como (∂v/∂t)ds, donde ds= dr representa el elemento de longitud a lo
largo de la línea de corriente. En definitiva, la expresión [32.23] nos conduce a
973
§32.7.- Generalización de la ecuación de Bernoulli al flujo no estacionario.
dp
ρ
d
d(
⎛ ∂v ⎞
⎜ ⎟ ds
⎝ ∂t ⎠
v2
)
2
[32.24]
ecuación diferencial que podemos integrar a lo largo de una línea de corriente, entre
los puntos 1 y 2, para obtener
2
⌠ dp
⌡1 ρ
(
2
1
)
1 2 2
(v2 v1 )
2
2
⌠ ⎛⎜ ∂v ⎞⎟ ds
⌡1 ⎝ ∂t ⎠
[32.25]
ecuación válida para un régimen de flujo no estacionario y no viscoso y que
constituye una generalización de la ecuación de Bernoulli.
Ejemplo I.- Determinar el periodo de las oscilaciones de la columna líquida contenida en un tubo
en ∪ de sección recta transversal constante y colocado verticalmente.
Evidentemente, el régimen de flujo currentilíneo en el tubo es uniforme y no estacionario.
Aplicaremos la ecuación de Bernoulli generalizada para el flujo no estacionario e incompresible
entre los puntos 1 y 2 de una línea de corriente.
1
(p
ρ 2
p1)
g(z2
z1)
1 2 2
(v2 v1 )
2
2
⌠ ∂v ds
⌡1 ∂t
con p1=p2=patm; z2-z1=2x; v1=v2=v y ∂v/∂t=dv/dt=d2x/dt2, de modo que
tenemos
2gx
d2x
dt 2
dv
L
dt
2g
x
L
0
que es la ecuación diferencial de un movimiento armónico simple, cuyo
periodo es
Figura 32.4
T
2π
L
2g
§32.8. Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli.- La ecuación
de Bernoulli es esencialmente una formulación del principio de conservación de la
energía aplicado al flujo estacionario e incompresible de un fluido ideal. Resulta fácil
e instructivo reencontrar la ecuación de Bernoulli a partir de tal principio de
conservación, evitando los cálculos formales que hemos llevado a cabo en los
epígrafes precedentes.
Consideremos un flujo en régimen estacionario de un fluido ideal a lo largo de
un tubo de corriente, de sección recta infinitesimal y variable, como se muestra en
la Figura 32.5. Puesto que el flujo es estacionario, la presión p, la densidad ρ y la velocidad v del fluido tendrán un valor constante en el transcurso del tiempo en todos los
puntos de una misma sección recta del tubo de corriente, aunque sus valores variarán
de unas secciones a otras.
974
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
Figura 32.5
Centraremos nuestra atención en la porción de fluido representada por las áreas
sombreadas (oscuras) en la Figura 32.5; a esta porción de fluido la llamaremos el
sistema o volumen de control. Transcurrido un intervalo de tiempo infinitesimal dt,
el sistema se habrá movido desde la posición mostrada en la Figura 32.5 izq. a la
mostrada en la Figura 32.5 dcha.. Como se comprenderá, el efecto neto desde un punto
de vista energético es la elevación de la porción de fluido representada por el área
sombreada oscura desde la cota z1 a la cota z2; designaremos por dm la masa de dicha
porción del fluido.
Comenzaremos calculando el trabajo neto realizado sobre el sistema por las
fuerzas de presión p1dS1 y p2dS2, ejercidas por el fluido inmediato y que actúan en
la dirección del flujo, durante el intervalo de tiempo dt. Este trabajo es
dW
p1dS1dl1
p2dS2dl2
p1dV1
p2dV2
[32.26]
siendo dV1 y dV2 los volúmenes de las porciones de fluido sombreadas de oscuro en
la Figura 32.5. De acuerdo con el principio de conservación de la masa (ecuación de
continuidad) tenemos
dm
ρ 1 dV1
ρ 2 dV2
[32.27]
de modo que el trabajo dW puede expresarse por
dW
⎛p
⎜ 1
⎜ρ
⎝ 1
p2 ⎞⎟
dm
ρ 2 ⎟⎠
[32.28]
Ahora igualaremos este trabajo con el cambio que experimenta la energía total
del sistema durante ese mismo intervalo de tiempo dt. A dicho cambio contribuyen
los cambios en
(a) la energía potencial gravitatoria; dEp
(b) la energía cinética; dEk
Entonces, podemos escribir
1
2
dm (v2
2
dm g (z2
2
v1 )
z1)
975
§32.8.- Interpretación energética de la ecuación de Bernoulli.
o sea
p1
p2
ρ1
ρ2
p1
ρ1
g (z2
1 2
v1
2
g z1
z1)
p2
ρ2
1 2
(v2
2
v1 )
[32.29]
g z2
1 2
v2
2
[32.30]
2
y como los subíndices 1 y 2 se refieren a dos puntos cualesquiera a lo largo del tubo
de corriente, podemos suprimirlos y escribir simplemente
p
ρ
e
gz
1 2
v
2
cte
[32.31]
que es la ecuación de Bernoulli.
Obsérvese que cada uno de los tres términos de la ecuación [32.31] tienen las
dimensiones de una energía por unidad de masa (energía específica). Llamaremos
energía mecánica total específica, y la designaremos por e, a la suma de la energía
potencial específica asociada a la presión (p/ρ), de la energía potencial gravitatoria
específica (gz) y de la energía cinética específica (v2/2). Así, la ecuación de Bernoulli
establece que
la energía mecánica total específica permanece constante a lo largo de una
línea de corriente.
En el caso de que el flujo sea incompresible, podemos dividir por ρ ambos
miembros de la expr. [32.31] y la ecuación de Bernoulli puede reescribirse en la
forma:
p
1
ρ v2
2
ρgz
cte
[32.32]
de modo que cada uno de los tres términos tenga dimensiones de presión o de
energía por unidad de volumen (densidad de energía). La presión dinámica o total
es la suma de la presión estática (p+ρgz) y de la presión cinética (ρv2/2). La presión
dinámica o total permanece constante a lo largo de una línea de corriente; cuando
aumenta la velocidad en un estrechamiento, aumenta la presión cinética y disminuye
la presión estática. También podemos enunciar que la densidad de energía mecánica
total permanece constante a lo largo de una misma línea de corriente.
La ecuación de Bernoulli también puede escribirse en la forma:
p
ρg
z
v2
2g
cte
[32.33]
de modo que los tres términos tienen las dimensiones de una longitud, y se designan
frecuentemente como alturas de presión, de cota o topográfica y de velocidad,
respectivamente.
§32.9. Trabajo realizado por una corriente fluida.- Como acabamos de ver
en el epígrafe anterior, la ecuación de Bernoulli es esencialmente una formulación
976
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
del principio de conservación de la energía aplicado a las corrientes fluidas, ya que
la expr. [32.31] representa el flujo de energía mecánica específica a través de una
sección determinada del tubo de corriente, que permanece constante conforme
avanzamos en la dirección del flujo.
Aplicaremos ahora este principio de conservación de la energía en su forma más
general (Primer Principio de la Termodinámica) a un tubo de corriente para cualquier
régimen flujo estacionario en el que se intercambie energía, en forma de calor o de
trabajo, entre el fluido y su entorno. Entonces, la ecuación de Bernoulli deberá
escribirse en la forma
e1
u1
w
q
e2
[32.34]
u2
donde:
e representa la energía mecánica específica (i.e., por unidad de masa) en un
punto de la corriente fluida, dada por
e
u
w
q
⎛p
⎜
⎝ρ
v2
2
⎞
gz⎟
⎠
representa la energía interna específica que varía generalmente de un punto
a otro del fluido,
es el trabajo específico realizado2 sobre el fluido (w<0) o por el fluido
(w>0), en el interior del volumen de control (zonas oscuras en la Figura 32.6)
durante el intervalo de tiempo empleado por aquél en avanzar desde la
posición 1 a la 2, como se ilustra en la Figura 32.6,
es el calor transferido desde el medio ambiente al volumen de control de
fluido (q<0), o desde éste al medio ambiente (q>0), por unidad de masa de
fluido.
Ordenando los términos de la
expresión anterior, escribiremos:
e1
e2
(u2
u1)
w
q [32.36]
de modo que el segundo miembro de la
expr. [32.36] es igual a la pérdida de
energía mecánica específica durante el
intervalo de tiempo empleado por el
volumen de control en avanzar desde la
sección 1 a la 2.
Si el flujo es viscoso, existirán
Figura 32.6
fuerzas de fricción entre los tubos de
corriente o las capas fluidas adyacentes
en movimiento relativo, lo que implica
una disipación de energía mecánica, de modo que parte del trabajo realizado por las
2
Utilizamos el criterio termodinámico de signos, ilustrado en la Figura 32.6, según el cuál se
consideran positivos el calor suministrado al sistema y el trabajo proporcionado por el sistema.
977
§32.9.- Trabajo realizado por una corriente fluida.
fuerzas de presión y gravitatorias, que en el caso de un fluido no viscoso e
incompresible se manifestaba como aumento de la energía cinética, ahora aparecerá
como energía calorífica. Esto es, se produce una conversión irreversible de energía
mecánica en energía interna del fluido y en calor que es transferido al exterior. En
estas condiciones, la energía mecánica no permanecerá constante a lo largo del tubo
de corriente, sino que irá disminuyendo, a menos que se suministre energía al flujo,
conforme se evalúa en puntos más avanzados de la corriente. Así, en los problemas
prácticos en los que no pueda ignorarse la viscosidad deberán introducirse las
correcciones empíricas o semiempíricas apropiadas para tener en cuenta esta pérdida
de carga conforme se avanza en el sentido de la corriente.
Si el fluido es ideal e incompresible y no se aporta energía calorífica al mismo,
la energía interna específica será constante a lo largo del tubo de corriente y podrá
ser suprimida en la expresión anterior, de modo que podemos escribir:
e1
e2
[32.37]
w
donde w será positivo o negativo según se extraiga (+) o se proporcione (-) energía,
en forma de trabajo, de la corriente fluida. Podemos interpretar la expresión anterior
de la siguiente forma:
La pérdida de energía mecánica específica entre dos puntos del flujo es
igual al trabajo específico realizado por el mismo.
La potencia, i.e., el trabajo por unidad de tiempo, realizado sobre el flujo (-) o
realizado por el mismo (+) será
Φw
P
ρ
[32.38]
w
como el lector comprobará fácilmente.
Ejemplo II.- Calcular la potencia nominal que deberá tener una bomba que extraiga agua de un
pozo abierto a la atmósfera, en el que la superficie libre del agua está a 20 m por debajo de la
superficie del terreno, para que nos proporcione un caudal de 600 l/min a través de una tubería de
2.54 cm (1 pulgada) de diámetro, suponiendo que el rendimiento de la bomba sea del 70%.
Aplicamos la expresión [32.37],
w
con p1
p2
de modo que
e1
p1
e2
patm
p2
ρ
z2
w
z1
2
g (z1
h
gh
v1
2
v1
z2)
v2
2
0
v2
v
1 2
v
2
donde el signo negativo significa que se realiza sobre el flujo,
y la potencia [32.38] será P
ρ
w
Sustituyendo los datos del problema:
Figura 32.7
978
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
600
v
S
0.01
min
0.01
5.07×10
P
4
m3
s
S
πD2
4
17.9 m/s
w
1000 × 0.01 × ( 391)
π (25.4×10 3)2
5.07×10 4 m 2
4
19.72
9.8×20
391 J/kg
2
3907 W
3.9 kW
La potencia nominal de la bomba será
Pnom
P
rend.
3.9
0.7
5.6 kW
§32.10. Medida de la presión estática en un flujo.- Consideremos un flujo
estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional en el interior de una tubería.
Supongamos que la tubería sea rectilínea, cilíndrica o prismática, como ocurre en la
práctica en la mayor parte de la longitud de las
tuberías. Entonces, las líneas de corriente son
líneas rectas paralelas entre sí y a las
generatrices de la tubería. En estas condiciones,
la velocidad tendrá el mismo valor en todos los
puntos de una misma sección recta de la tubería
y al aplicar la ecuación de Bernoulli entre dos
puntos de una misma sección recta (Figura 32.8)
tenemos
Figura 32.8
pA
ρgzA
pB
ρgzB
[32.39]
de modo que:
la presión estática p+ρgz es la misma en todos los puntos de una misma sección recta de la tubería.
La presión estática p+ρgz en una sección recta de la tubería puede medirse
acoplando a ésta un tubo piezométrico; esto es, un tubo abierto por sus dos extremos
y colocado, generalmente, en posición vertical.
El extremo del tubo piezométrico acoplado a la
tubería se llama toma de presión estática y puede estar situado sobre la pared de la tubería
(Figura 32.9) o en el interior de ésta (Figura 32.10).
En estas condiciones, parte del fluido
penetra y sube por el tubo piezométrico hasta
que alcanza en él un cierto nivel, que mediremos respecto a un plano horizontal de referencia; este nivel recibe el nombre de altura piezométrica (z1) y constituye una medida de la
presión
estática en la sección recta AB de la
Figura 32.9
tubería (Figura 32.9). En efecto, puesto que la
979
§32.10.- Medida de la presión estática en un flujo.
presión estática p+ρgz permanece constante a lo largo del trayecto 1-A-C-B-2,
podemos escribir (ecuación hidrostática):
patm
ρgz1
pA
o sea
z1
z2
ρgzA
p
ρgz
p
patm
ρgzB
de modo que la altura piezométrica permanece
constante cuando la toma de presión estática se
desplaza en una misma sección recta de la
tubería, bien sea sobre su contorno o en su
interior. La expresión [32.41] nos permite determinar la presión p en los puntos del interior de
la tubería (en función de la cota z) a partir de la
medida de la altura piezométrica correspondiente:
p
patm
ρgz2
[32.40]
[32.41]
z
ρg
pB
patm
ρg(z1
Figura 32.10
z)
La toma de presión estática puede situarse en el interior de la tubería; entonces, la toma de
presión estática estará coronada por un disco plano, horadado (disco de Ser), cuyo plano será paralelo a las líneas de corriente, como se ilustra en la Figura 32.10. Naturalmente, este será el procedimiento a seguir cuando se trate de efectuar la medida de la presión estática en un flujo externo (no
confinado en tuberías o canales). En cualquier caso, será necesario asegurarse de que la
introducción del tubo piezométrico no altere significativamente las características del flujo.
§32.11. Medida de la presión dinámica.- Reconsideremos un flujo en el
interior de una tubería en las mismas condiciones que en el epígrafe anterior.
Acoplaremos un tubo piezométrico en A para
medir la presión estática en esa sección recta del
tubo (Figura 32.11). Además, acoplaremos otro
tubo piezométrico que desemboque en el interior
de la tubería, en el punto C, de modo que esa
obertura esté orientada perpendicularmente a las
líneas de corriente; el fluido penetrará y ascenderá por este tubo hasta alcanzar un nivel z2,
como se muestra en la Figura 32.11. Existe una
línea de corriente BC que se detiene en el punto
C; obviamente, esta línea de corriente es singular3. El punto C recibe el nombre de punto de
estancamiento, por ser nula en él la velocidad
del flujo.
Figura 32.11
3
No representa la trayectoria de las partículas fluidas; de ser así, el fluido se acumularía
indefinidamente en el punto de estancamiento o subiría indefinidamente por el tubo piezométrico.
980
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1-A-B (como en el
epígrafe anterior) y entre los puntos B-C-2. Así obtenemos las ecuaciones siguientes
⎧
⎪ patm ρgz1 pA
⎪
⎨
2
ρvB
⎪
p
ρgz
⎪ B
B
2
⎩
ρgzA
pB
ρgzB
[32.42]
ρgzC
pC
patm
ρgz2
La segunda de estas expresiones nos permite escribir
ρgz2
⎛
⎜
⎜ pB
⎝
ρgzB
2⎞
ρvB ⎟
⎟
2 ⎠
patm
[32.43]
de modo que la altura piezométrica z2 constituye una medida de la presión dinámica
o total en el punto B. La toma de presión en C se llama toma de presión dinámica
o total.
Sumando miembro a miembro las expresiones [32.42], se deduce fácilmente que
ρg (z2
1
2
ρvB
2
z1)
[32.44]
resultando que la diferencia de alturas piezométricas en ambos tubos constituye una
medida de la presión cinética (ρvB2/2) en el punto B.
Naturalmente, será necesario asegurarse de que la introducción de los tubos
piezométricos no altere significativamente las características del flujo, lo que se
conseguirá mediante un diseño apropiado de las tomas de presión.
§32.12. Efecto de Venturi.- El efecto de Venturi se refiere a la disminución
de presión estática asociada con el aumento de velocidad en un flujo ideal4. El efecto
de Venturi, así llamado en honor del físico suizo Giovani Battista VENTURI (17461822), es una consecuencia inmediata de la ecuación de Bernoulli. Puesto que la
presión dinámica o total permanece constante en un flujo ideal, un aumento de la
presión cinética ρv2/2 (i.e., de la velocidad) implica una disminución de la presión
estática p+ρgz, y viceversa. En un flujo ideal, la variación de la velocidad será
puramente convectiva.
Consideremos un flujo ideal en el interior de un tubería rectilínea cilíndrica o
prismática, de sección recta S variable; para mayor simplicidad la consideraremos
horizontal como se ilustra en la Figura 32.12. La ecuación de continuidad (vS=cte) nos
permite asegurar que la velocidad del flujo en el punto B será mayor que en A. Por
consiguiente, al aplicar la ec. de Bernoulli entre los puntos A y B
pA
4
1
2
ρvA
2
pB
1
2
ρvB
2
[32.45]
Llamamos flujo ideal a un flujo estacionario, no viscoso, incompresible e irrotacional.
981
§32.12.- Efecto de Venturi.
o sea
pA
pB
1
2
2
ρ (vB vA) > 0
2
[32.46]
Los tubos piezométricos acoplados en
diferentes secciones rectas de la tubería indicarán diferentes alturas piezométricas; cuanto
Figura 32.12
menor sea la sección recta de la tubería, menor
será la altura piezométrica (i.e., la presión
estática) correspondiente. La diferencia de presiones estáticas entre los puntos A y
B viene dada por pA-pB = ρg(z1-z2). Este gradiente de presión estática entre los puntos
A y B proporciona la fuerza neta necesaria para acelerar al fluido (convectivamente)
a lo largo de la convergencia de la tubería.
El paso de un fluido por un estrechamiento puede dar lugar a importantes
reducciones de la presión estática. En el caso de los líquidos, será necesario que la
presión absoluta (p) mínima (en el estrechamiento) sea superior a la tensión de vapor
saturante a la temperatura del flujo; en caso contrario, el líquido entra en ebullición
y se forman burbujas de vapor en el seno del flujo. Este fenómeno recibe el nombre
de cavitación; en estas condiciones, el flujo ya no es ideal y no se cumple la ec. de
Bernoulli. El fenómeno de la cavitación es, en general, perjudicial y debe evitarse su
aparición en el flujo. Las burbujas de vapor producen una acción físico-química
intensa (corrosión) y su desaparición, en las regiones en las que la presión vuelve a
subir, provoca acciones mecánicas violentas (vibraciones, ruidos, choques, ...) que
dañan los materiales de las conducciones.
La reducción de presión estática en un estrechamiento tiene diversas aplicaciones técnicas. Así,
en el pulverizador o atomizador (Figura 32.13), una corriente de aire alcanza suficiente velocidad en
el estrechamiento del tubo por la que circula como para que se produzca una gran caída de presión
(inferior a la patm) de modo que el líquido contenido en el recipiente pueda ascender por el tubo
vertical y ser dispersado por la corriente de aire. Este es el principio de funcionamiento que permite
la inyección de la mezcla de gasolina-aire en los cilindros de un motor de explosión.
Figura 32.13
Figura 32.14
En la trompa de agua o de vacío (Figura 32.14), se produce una gran caída de presión en el
estrechamiento A del tubo que conduce agua, y el aire circundante es arrastrado por el chorro de
agua. Si la tubuladura B está unida a otro recipiente, los gases y vapores contenidos en éste serán
succionados por la trompa; así se pueden conseguir vacíos hasta del orden de unas decenas de Torr.
982
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
Ejemplo III.- Contador de Venturi.- El contador de Venturi (venturímetro) es un dispositivo que
permite determinar el caudal que circula por una tubería. Consiste en un tubo convergentedivergente, diseñado de forma adecuada para evitar las turbulencias, que se intercala en la tubería
(Figura 32.15). El tubo de Venturi lleva acoplado un manómetro diferencial que permite medir la
diferencia de presiones pA-pB entre las secciones rectas de áreas SA y SB. Encontrar una expresión
que nos permita determinar el caudal el función de la lectura del manómetro diferencial.
Aplicando las ecuaciones de continuidad y de Bernoulli entre los puntos A y B tenemos
v AS A
vBSB
pA
1
2
ρvA
2
1
2
ρvB
2
pB
[32.47]
y eliminando vB entre esas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que pA-pB = (ρm-ρ)gh (vide
Problema 32.13), siendo ρm la densidad del líquido manométrico, obtenemos
vA
2(ρ m ρ)gh
SB
[32.48]
ρ(SA SB)
2
2
y el caudal que circula por la tubería es
Figura 32.15
v AS A
S AS B
2(ρ m ρ)gh
ρ (SA
2
[32.49]
2
SB)
§32.13. Tubo de Pitot.- El tubo de Pitot es un aparato que se utiliza para medir
la velocidad de una corriente fluida, generalmente gaseosa y en régimen de flujo
externo. El tubo de Pitot5 consiste en una sonda, diseñada con un perfil apropiado para
evitar perturbaciones significativas en el régimen de flujo, que posee una abertura (A) en
su extremo, enfrentada directamente a la corriente fluida, y otras aberturas (B) laterales,
colocadas lo suficientemente hacia atrás para que en ellas la velocidad y la presión
correspondan a los valores de corriente libre. La abertura A constituye una toma de presión
total (punto de estancamiento); las oberturas B son tomas de presión estática. Aplicando
la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B
tenemos
pA
Figura 32.16
5
pB
1
ρ v2
2
[32.50]
La diferencia de presiones pA-pB estará
medida por la diferencia de niveles (h) del
líquido manométrico (de densidad ρm) en las
dos ramas de un manómetro diferencial
acoplado a las tomas de presión; i.e.,
En realidad, el esquema de la Figura 32.14 corresponde al llamado tubo de Prandtl, en honor
del Ludwig PRANDTL (1875-1953), científico alemán, autor de numerosos trabajos en Mecánica de
Fluidos.
983
§32.13.- Tubo de Pitot.
pA
1
ρv 2
2
pB
(ρ m ρ) gh
de modo que podemos calibrar el manómetro para leer directamente velocidades (para
un fluido determinado), ya que
v2
2(pA pB)
2(ρ m ρ)g
ρ
ρ
[32.52]
h
Los tubos de Pitot se utilizan en los aviones para determinar la velocidad de
éstos respecto al aire. En los anemómetros, el tubo de Pitot va montado
solidariamente con una veleta que se encarga de enfrentarlo a la dirección del viento.
§32.14. Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli.- Consideremos un
depósito cerrado, cilíndrico o prismático, de sección transversal de área S1, que
contiene un líquido de densidad ρ hasta un cierto nivel z1 y aire a la presión p1 por
encima de la superficie libre del líquido (Figura 32.17). El líquido fluye al aire libre (presión
atmosférica) a través de un pequeño orificio, de
área S, practicado en la pared del depósito. La
experiencia nos dice que todo el líquido participa
en el movimiento y que el flujo es de tipo convergente en el depósito. Supongamos que la relación entre las áreas S1/S2 sea suficientemente
grande, de modo que podamos despreciar la
variación del nivel z1 durante un corto intervalo
de tiempo Δt, durante el cual el flujo puede
considerarse como si fuera estacionario6. En estas
condiciones, la ecuación de Bernoulli nos permite
Figura 32.17
determinar la velocidad de efusión del líquido por
el orificio. Aplicando la ecuación de Bernoulli
entre los puntos 1 y 2 tenemos
p1
ρgz1
1
2
ρv1
2
p2
ρgz2
1
2
ρv2
2
[32.53]
y puesto que z1-z2=h y p2=patm, resulta
2
v2
2
v1
2
p1
patm
ρ
2gh
[32.54]
Si consideramos el caso particular muy frecuente en el que la presión que actúa
sobre la superficie libre del líquido sea también la presión atmosférica, entonces
p1=patm y nos queda
6
Una situación equivalente se consigue reponiendo líquido en el depósito, al mismo ritmo con
que sale de él, para mantener constante su nivel.
984
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
2
2
v2
v1
[32.55]
2gh
y si, además, es S1 S2, de modo que será v1 v2, entonces podemos considerar que
v12≈0, con gran aproximación, de modo que tenemos
v
[32.56]
2gh
Esto es,
el líquido sale por el orificio con la misma velocidad que adquiriría un móvil
en caída libre desde una altura h.
Este es el enunciado del teorema de Torricelli. No puede sorprendernos este
resultado, puesto que el líquido gana energía cinética en la salida a expensas de la
energía potencial gravitatoria que pierde en el nivel de su superficie libre.
Para calcular el gasto o caudal a través del orificio, hay que tener en cuenta que,
a causa de la convergencia de las líneas de corriente en las proximidades del orificio,
el área de la sección recta del chorro continua disminuyendo durante un corto
recorrido fuera del depósito (del orden del radio, para un orificio circular), hasta que
finalmente las líneas de corriente son paralelas entre sí. El chorro toma una forma
característica (Figura 32.18); el área mínima de la sección transversal del chorro (Sc)
recibe el nombre de sección contracta o vena contracta. La ley de Torricelli da la
velocidad de salida una vez completada la contracción. El gasto vendrá dado por el
producto
[32.57]
v2 S c
pero como el valor de Sc no resulta fácil de medir, es conveniente definir el llamado
coeficiente de contracción Cc
Cc
área de la sección contracta
área del orificio
Sc
[32.58]
S2
de modo que el gasto vendrá dado por
C c v2 S 2
[32.59]
Figura 32.18
El coeficiente de contracción se determina experimentalmente; sus valores están
tabulados, en obras especializadas, para diversas formas de los orificios y tubos de
985
§32.14.- Efusión de un liquido. Teorema de Torricelli.
descarga. Así, para un orificio bien perfilado (Figura 32.18a), es Cc=1.0; para un orificio
circular de bordes finos (Figura 32.18b), es Cc=0.6; para un orificio reentrante o tubo
de Borda (Figura 32.18c), es Cc=0.5.
§32.15. Efusión de gases. Ley de Bunsen.- Consideremos un depósito lleno
con un gas de densidad ρ y a una presión pA. El gas escapa a través de un orificio
de pequeñas dimensiones en las paredes del depósito. Sea pB la presión existente en
el exterior del depósito (por ejemplo pB=patm).
Si la diferencia de presiones Δp=pA-pB es pequeña en
comparación con pB, podemos considerar el gas como
incompresible y aplicaremos la ec. de Bernoulli entre el
punto A en el interior del depósito y alejado del orificio
y un punto B situado en la sección contracta del chorro
de gas a la salida. En el caso de los gases, podemos
prescindir generalmente de los cambios de presión
debidos al peso del gas, i.e., ρgh, ya que ρ es muy
Figura 32.19
pequeña y h no suele ser demasiado grande. Entonces
podemos escribir
1
2
ρvA
2
pA
pB
1
2
ρvB
2
[32.60]
y como vA vB, la velocidad de efusión del gas será
vB
2 ( pA pB)
[32.61]
ρ
Así, para una diferencia de presión Δp=pA-pB dada,
la velocidad de efusión de un gas por un orificio es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad del mismo.
Este es el enunciado de la ley de Bunsen. Si el gas puede considerarse como un gas
perfecto, entonces es ρ=(p/RT)M, de modo que la velocidad de efusión es
inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa molecular. Si tenemos una
mezcla de gases, esta propiedad nos permite llevar a cabo la separación fraccionada
de los distintos componentes de la mezcla (v.g., la separación isotópica para un
elemento determinado).
986
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
Problemas
32.1.- Supongamos un flujo bidimensional de
un fluido incompresible y no viscoso, cuyo
campo de velocidades venga dado por
v = Axi - Ayj
a) Determinar la ecuación general de las líneas
de corriente. b) Dibujar un esquema del patrón
de líneas de corriente. c) Encontrar la
expresión del campo de presión p(x,y,z) tomando como referencia la presión p en el
origen de coordenadas. (El eje z se supone
vertical).
32.2.- Repetir los tres apartados del Problema 32.1 para el campo de velocidades
una profundidad de 10 metros y con una
velocidad de 54 km/h.
32.7.- Para medir la
velocidad del agua que
circula por un arroyo,
se dispone de un tubo
en L, como se muestra
en la figura adjunta.
¿Cuál será la velocidad
de la corriente si el
agua asciende por el
tubo vertical hasta una
altura de 40 cm por
encima de la superficie
libre del agua?
Prob. 32.7
v = - Ayj + Bxj.
32.3.- Reconsideremos el flujo bidimensional
y estacionario de un fluido incompresible y no
viscoso alrededor de un cilindro, tal como lo
describimos en el Prob. 31.14. a) Encontrar el
significado físico de la constante v∞ que
aparece en la expresión del campo de velocidades de dicho flujo. b) Encontrar la expresión
del campo de presión p(r,θ) tomando como
referencia la presión correspondiente a la
corriente libre. c) Determinar la distribución de
presión absoluta sobre la superficie del
cilindro. d) Calcular la fuerza neta debida a la
presión que actúa sobre la superficie del
cilindro.
32.4.- Dado el campo de velocidades
v = (2t - 6x)i + 6yj + 12t2k,
para un flujo incompresible y no viscoso,
encontrar la expresión del campo de presión
p(x,y,z,t) tomando como referencia la presión
p0(t) en el origen de coordenadas.
32.5.- Un grifo, de sección recta circular de
radio r0, deja salir un chorro de agua, verticalmente hacia abajo, con una velocidad inicial
v0. Puesto que v0 es pequeña, el agua fluye en
régimen laminar durante un cierto tramo de su
caída vertical. Expresar el radio r del chorro
de agua, en ese tramo, en función de la
distancia h a la boca del grifo.
32.6.- Calcular la presión ejercida sobre el
centro de la superficie frontal de un torpedo
que se desplaza en el mar (ρ=1.02 g/cm3) a
Prob. 32.8
32.8.- Un fluido ideal, de densidad ρ, circula
en régimen estacionario por una tubería de
sección uniforme S. Para determinar el caudal
en la tubería acoplamos dos tubos piezométricos que nos permiten medir la diferencia entre
las presiones estática y dinámica por medio de
un manómetro diferencia en el que el líquido
manométrico tiene una densidad ρm. Expresar
el caudal en función de la lectura h del manómetro diferencial.
32.9.- Géiser. El géiser Old Faithful (Yellowstone Park) expulsa periódicamente un chorro
de agua que alcanza una altura de hasta
40 metros. a) Determinar la velocidad del agua
en la base del chorro. b) Calcular la presión
manométrica que debe existir en el interior del
géiser, a una profundidad de 100 m, para que
pueda proyectar el chorro de agua hasta esa
altura.
32.10.- Repostando en marcha. Para alimentar de agua, durante la marcha, el ténder de
una locomotora de vapor, se dispone de una
tubería, de 10 cm de diámetro interior, uno de
cuyos extremos se sumerge en una alberca que
Problemas
hay entre los
raíles, como
se muestra en
la figura, y el
otro extremo
desemboca al
aire libre, en
el interior del
depósito de
Prob. 32.10
agua del
ténder, a una
altura de
2.5 m sobre la superficie libre del agua de la
alberca. a) ¿A partir de qué velocidad de la
locomotora se cargará agua en el ténder?
b) ¿Cuál será el caudal de agua que entra en el
ténder cuando la locomotora marche a una
velocidad constante de 72 km/h?
987
ρm son las densidades del fluido circulante y
del líquido manométrico, respectivamente.
32.14.- Tubo de Venturi. Consideremos un
tubo de Venturi con tres tomas de presión
estática verticales, como en la Figura 32.12.
Los radios internos de la sección principal y
del estrechamiento son 25 cm y 10 cm, respectivamente. Cuando circula un caudal de
agua de 200 l/s, el nivel del agua en los tubos
de la derecha y de la izquierda se encuentra a
3.00 m por encima del eje de la tubería.
a) ¿Cuál es la presión manométrica en los
puntos A y B? b) ¿Hasta donde subirá el agua
por el tubo central? c) ¿Para qué caudal de
agua se succionará aire por el tubo central?
(Hacer las hipótesis que se consideren apropiadas).
32.15.- Venturímetro. Para medir el caudal de
agua que circula por una tubería, se intercala
en ésta un venturímetro cuyos diámetros en el
tramo principal y en el estrechamiento son
5 cm y 1 cm, respectivamente. La diferencia
de presión entre el tramo principal y el estrechamiento resulta ser de 0.35 atm. ¿Cuál es el
caudal?
Prob. 32.11
32.11.- Para medir la velocidad del agua que
circula por un canal de suministro, de sección
transversal rectangular, disponemos de un tubo
doblado en L, como se muestra en la figura.
a) ¿Cuál será la velocidad de la corriente
cuando el agua asciende por el tubo una altura
h=40 cm por encima de la superficie libre del
agua. b) Calcular la velocidad de la corriente
(v′) y el descenso de nivel (a) asociados a una
elevación de la solera, b=17.5 cm, como se
indica en la figura.
32.12.- Por un canal abierto, de sección transversal rectangular, circula agua con una profundidad de 3 m y una velocidad de 2 m/s. En
un cierto lugar, el fondo del canal presenta una
elevación transversal. Se observa que el nivel
del agua en el canal desciende 15 cm en la
vertical del obstáculo. Determinar la altura del
obstáculo transversal.
32.13.- Demostrar que la diferencia de presiones existente entre los puntos A y B de la
Figura 32.15 viene medida por la diferencia de
niveles del líquido manométrico en ambas
ramas del manómetro diferencial, a través de
la relación pA - pB = (ρm - ρ)gh, donde ρ y
32.16.- En un pulverizador de perfume (vide
Figura 32.13, se sopla aire sobre el extremo
superior de un tubito abierto por sus dos extremos, estando el extremo inferior sumergido en
un recipiente que contiene perfume de
densidad 0.92 g/cm3. ¿Cuál deberá ser la
velocidad mínima del aire que pueda elevar el
perfume 10 cm para ser dispersado? (Densidad
del aire, 1.25 g/litro).
32.17.- Tubo de Pitot. Un tubo de Pitot está
montado en el ala de una avioneta. Cuando la
avioneta vuela a una altura en la que la densidad del aire es 1.20 g/litro, el manómetro
diferencial acoplado al tubo de Pitot indica un
desnivel entre sus dos ramas de 15 cm de
alcohol (densidad, 0.80 g/cm3). ¿Cuál es la
velocidad de la avioneta respecto al aire?
32.18.- Un depósito abierto, de grandes dimensiones y paredes verticales, contiene agua hasta
una altura H
por encima de
su fondo. Se
pra c tic a un
orificio en la
pared del
depósito, a una
profundidad h
por debajo de
la superficie
libre del agua.
Prob. 32.18
El chorro de
988
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
agua sale horizontalmente y, tras describir una
trayectoria parabólica, llega al suelo a una
distancia x del pie del depósito, como se
ilustra en la figura adjunta. a) ¿Cuál será el
alcance x del chorro sobre el plano horizontal?
b) ¿Será posible abrir un segundo orificio, a
distinta profundidad, de modo que el chorro
que salga de él tenga el mismo alcance que
antes? En caso afirmativo, ¿a qué profundidad?
c) ¿A qué profundidad se deberá perforar un
tercer orificio para que el alcance del chorro
sea máximo? ¿Cuál será ese alcance máximo?
32.19.- Un depósito
abierto, de grandes
dimensiones, que
desagua a través de
una tubería de
10 cm de diámetro
Prob. 32.19
interior, recibe un
aporte de agua de
50 litros/s, como se
muestra en la figura. El diámetro del depósito
es mucho mayor que el de la tubería de desagüe. Algún tiempo después de abrir la llave de
la tubería de desagüe, se alcanza un estado
estacionario en el que el nivel del agua en el
depósito permanece constante. ¿Cuál es ese
nivel? Nota: El coeficiente de descarga para
una tubería larga puede tomarse igual a 0.5.
Prob. 32.20
32.20.- Un depósito de grandes dimensiones
contiene un líquido de densidad ρ. A una
profundidad h, acoplamos una tubería horizontal de sección transversal S1 que presenta un
estrechamiento, de sección transversal S2, en el
que se ha conectado un tubo vertical abierto,
como se ilustra en la figura. Determinar el
valor mínimo de la sección S2 con tal de que
no penetre aire en la corriente fluida a través
del tubo vertical.
32.21.- Dos depósitos de gran tamaño, A y B,
como se ilustra en la figura, contienen un
mismo líquido. El depósito A descarga por
medio de una tubería horizontal que presenta
un estrechamiento en el que se acopla un tubo
cuyo extremo inferior se sumerge en el líquido
del depósito B. La relación entre las áreas de
las secciones rectas del tramo principal y del
estrechamiento de la tubería es 2:1. Supondre-
Prob. 32.21
mos que el régimen de flujo sea ideal. Expresar la altura de ascenso h2 del líquido por el
tubo en función de la altura h1 del líquido en
el depósito A.
32.22.- Un depósito abierto, cilíndrico, de eje
vertical y sección recta S1 está lleno de agua
hasta una altura H por encima de su fondo.
a) Determinar el tiempo necesario para que se
vacíe el depósito a través de un orificio bien
perfilado, de área S2, practicado en su fondo.
b) Aplicación numérica: S1=2 m2, S2=10 cm2,
H=3 m.
32.23.- Clepsidra (reloj de agua). Determinar
la forma que debe darse a un recipiente con
simetría de revolución alrededor de un eje
vertical para que al vaciarse por un orificio
situado en su fondo sea constante la velocidad
de descenso del nivel del agua que contiene.
32.24.- Sifón (I). Un sifón es un dispositivo
que se utiliza para extraer líquido de un depósito. Su forma de operar se muestra en la
figura adjunta. El extremo (B) del tubo que
está sumergido en el líquido puede estarlo a
cualquier profundidad. Naturalmente, para que
el sifón funcione deberá estar
inicialmente lleno de agua;
pero una vez que está lleno,
el sifón succionará líquido
del depósito hasta que el
nivel en éste descienda por
debajo del nivel del extremo
del tubo abierto al aire libre.
Supongamos que el líquido
s e a a gua a 15.5 °C
(ps 13 Torr) y despreciemos
totalmente la fricción. a) Determinar la velocidad de
salida del líquido por el
extremo D del tubo del sifón.
b) ¿Cuánto vale la presión
absoluta en el punto C?
Prob. 32.24
c) ¿A qué altura máxima
Problemas
989
sobre el punto D puede estar el punto C sin
que el sifón falle por cavitación?
Δp la diferencia de presiones del fluido entre
el interior y el exterior del recipiente.
32.25.- Sifón (II). Un sifón está constituido
por un tubo de 6 cm de diámetro que se eleva
a una altura de 3 m por encima del nivel de la
superficie libre del agua (a 15.5 °C) contenida
en un depósito de grandes dimensiones. ¿Cuál
será el caudal máximo que podemos esperar
obtener con este dispositivo sin que se produzca cavitación?
32.28.- Una embarcación es impulsada a una
velocidad constante de 36 km/h mediante
propulsión por chorro de agua. La fuerza de
empuje total es de 1500 kg y el diámetro de la
sección contracta del chorro es 20 cm. a) Calcular la velocidad del agua del chorro respecto
a la embarcación. b) Calcular la presión
manométrica del agua a la salida de la bomba
de expulsión.
32.26.- Frasco de Mariotte. Un frasco de
Mariotte es un dispositivo destinado a conseguir una velocidad de efusión constante para
los líquidos. Consiste en un recipiente cerrado
herméticamente, cuya tapa está atravesada por
un tubo, abierto en sus dos extremos, que se
sumerge en el
líquido contenido en el
recipiente,
como se
muestra en la
figura adjunta. De este
modo, la presión en el
nivel HH es
igual a la
presión atmosférica, ya
que el aire
tiene acceso a
ese nivel. A
Prob. 32.26
medida que
baja el nivel
del líquido en el recipiente, el aire irá
penetrando a través del tubo, burbujeará y
ascenderá en el líquido. Supongamos que el
líquido sea agua a 15.5 °C (ps 13 Torr).
a) Expresar la velocidad de efusión del agua
en B en función de la longitud L del tubo de
desagüe y de la altura H. b) Se sabe que la
velocidad máxima del flujo se alcanza en el
punto C y que vale 1.4vB. Entonces, ¿cuál
será la longitud máxima que puede tener el
tubo de desagüe sin que se produzca cavitación? Expresar el resultado en función de H.
Aplicación numérica: H=0.5 m; L=2 m.
32.27.- La efusión de un líquido o de un gas
por un orificio practicado en la pared del recipiente que lo contiene produce una fuerza de
reacción o empuje sobre el resto del sistema.
Los fundamento mecánicos de este problema
son los mismos que intervienen en la propulsión de los cohetes. Demostrar que la fuerza
de empuje viene dada por F= 2(Δp)S, siendo S
el área de la sección contracta del orificio y
32.29.- Un depósito cerrado, cilíndrico y de eje
vertical, de 400 cm2 de base, contiene agua y
aire a la presión manométrica de 3 atm. Se
abre un orificio, cuya área de sección contracta
es 1 cm2, a una profundidad de 1.5 m por
debajo de la superficie libre del agua.
a) Calcular la velocidad de salida del agua.
b) Calcular la fuerza de empuje que produce el
chorro sobre el resto del sistema.
32.30.- Cohete de agua. En la figura adjunta
se muestra el esquema de un juguete llamado
"cohete de agua". El aire atrapado por encima
de la superficie libre del agua se encuentra
inicialmente a una presión absoluta de 2 atm.
El agua escapa a través de un orificio bien
perfilado en la base
del cohete, de 8 cm de
diámetro. Si abandonamos el cohete
partiendo del reposo:
a) Calcular la velocidad de efusión del
agua por el orificio en
el instante inicial;
b) calcular el empuje
ejercido inicialmente
sobre el cohete. c) La
fuerza de empuje es la
misma que actuaría si
el cohete estuviese
lleno solamente de
aire a la misma preProb. 32.30
sión; entonces, ¿cuál
es la razón de la
utilización del agua?
32.31.- Apertura de válvula. Un depósito de
grandes dimensiones está lleno de agua y
dispone de una tubería de desagüe, de sección
constante de 6 cm de diámetro y 100 m de
longitud, colocada horizontalmente y conectada
5 m por debajo del nivel del agua en el
depósito. La tubería vierte directamente a la
atmósfera. Determinar el flujo de agua a la
salida de la tubería en función del tiempo, a
partir del instante en que se abre repentinamente una válvula colocada en su extremo
990
Lec. 32.- Dinámica de los fluidos ideales.
libre. (Nota: El depósito es suficientemente
grande como para que pueda despreciarse el
descenso del nivel de agua en el mismo).
32.32.- Dos discos circulares idénticos, de
radio R, están enfrentados entre sí y separados
por una distancia b. Uno de los discos se
mueve hacia el otro con una velocidad constante v0. El espacio comprendido entre los
discos está ocupado por un fluido no viscoso
e incompresible, de densidad ρ, que es empujado hacia afuera a medida que los discos se
aproximan. La presión en los alrededores de
los discos es la atmosférica. Supongamos que
la velocidad del fluido a una distancia dada r
del eje de simetría del sistema sea uniforme en
todo el espesor b; pero téngase en cuenta que
b es función del tiempo. Calcular la presión
manométrica sobre el eje de simetría (r=0).
32.33.- Trasvasando aceite. Dos depósitos de
grandes dimensiones, abiertos a la atmósfera,
contiene aceite de oliva (0.918 g/cm3), existiendo un desnivel entre las superficies libres
del aceite en ellos de 10 m. Los depósitos está
intercomunicados mediante una tubería horizontal, de 12 cm de diámetro, con entradas
bien perfiladas por debajo de los niveles de
aceite en cada depósito. a) Determinar el
caudal que circula por la tubería. b) Calcular
la potencia nominal de la bomba que se necesitará (70% de rendimiento) para conseguir el
mismo caudal en sentido inverso.
32.34.- Salto de agua. Calcular la potencia
máxima que podrá suministrar un salto de
agua en el que la turbina está situada a 50 m
por debajo del nivel del agua en el embalse,
sabiendo que el caudal que la alimenta es de
5 m3/s y que la velocidad del agua en el
desagüe es de 10 m/s.
32.35.- Surtidor. El surtidor de una fuente
lanza verticalmente un chorro de agua hasta
una altura de 12 m a través de una boquilla de
1 cm de diámetro. La fuente se abastece
mediante una bomba que toma agua de un
depósito cuya superficie libre, a la presión
atmosférica, está situada a 3 m por debajo de
la boquilla. La tubería que conecta la bomba
con la boquilla tiene 4 cm de diámetro. a) Calcular la potencia que debe suministrar la
bomba. b) Determinar la presión (absoluta) en
la tubería, en un punto próximo a la boquilla.
32.36.- Bomberos. Un manguera contraincendios, que está provista de una boquilla de
salida de 2 cm de diámetro, toma agua de una
boca de riego a una presión manométrica de
0.40 atm. El chorro de agua lanzado por la
manguera deberá alcanzar la parte más alta de
un edificio de 25 m de altura, cuando el
bombero está situado en la calle, a 10 m del
pie del edificio. Una bomba, instalada en el
camión de los bomberos, se encarga de aumentar la presión del agua a la entrada de la
manguera. Calcular la potencia nominal de
dicha bomba, estimando su rendimiento en un
70%.