Universidad Nacional de Salta Aritmetica Elemental Facultad de

Universidad Nacional de Salta
Facultad de Ciencias Exactas
Aritmetica Elemental
1er Cuatrimestre 2006
TRABAJO PRACTICO N◦ 2
Algoritmo de la División-Divisibilidad
1. Establecer cociente y resto en cada una de las siguientes
(a) 84 dividido por 15
(b) − 18 dividido por 7
(d) 200 dividido por 19
(e) − 71 dividido por − 2
(g) − 18 dividido por − 32 (h) − 15 dividido por 40
divisiones:
(c) 44 dividido por − 17
(f) 34 dividido por 43
(i) 27 dividido por − 69
cada vez que sea necesario encontrar cociente y resto de números naturales, aplicar el algoritmo cr(a, b)
2. Siendo a, b, c ∈ Z, señalar la validez de las siguientes
contraejemplo, de ser verdaderas, demostrarlas:
(a) a | b ∨ a | c ⇒ a | bc (b) a | b + c ⇒ a | b ∨ a | c
(d) a | b ⇒ |a| ≤ |b|
(e) a | bc ⇒ a | b ∨ a | c
(g) a2 | b ⇒ a | b
(h) a | bc ∧ a - b ⇒ a | c
proposiciones. En el caso de ser falsas mostrar un
(c) a | b ∧ a | c ⇒ a | bc
(f) ac | b ⇒ a | b ∧ c | b
(i) a | b − c ⇒ a | b3 + c3
3. Encontrar, en cada caso los valores enteros a que verifiquen la división planteada, haciendo uso de
propiedades de divisibilidad:
(a) a + 1 | a
(b) a2 | a + 2 (c) a + 1 | a − 1
2
(d) a − 1 | a + 1 (e) a | a2 − 1 (f) a2 | 2a − 1
4. Demostrar que para todo n ∈ N
(a) 288 | 72n+1 − 48n − 7
(b) 64 | 32n+2 − 8n − 9
(c) 17 | 3.52n+1 + 23n+1
5. Cota para el n-ésimo primo
Qn
(a) Sean p1 , p2 , ..., pn los primeros n primos positivos, ¿es i=1 pi + 1 primo?
Qn
(b) Demostrar que: ∀n ≥ 2, pn ≤ i=1 pi , siendo pn el n-ésimo primo (sugerencia: usar que todo natural
mayor que 1, es primo o compuesto)
(c) Demostrar que: ∀n ≥ 1, pn ≤ 22
n−1
(sugerencia: usar la segunda forma del principio de inducción)
6. Criba de Eratóstenes
(a) Desarrollar la Criba de Eratóstenes para n = 100
(b) Encontrar los primos entre 2000 y 2100, con la misma idea de la Criba de Eratóstenes.
7. Dada una sucesión a1 , a2 , ..., an de enteros, probar que siempre es posible extraer una subsucesión cuya
suma es divisible por n (sugerencia: considere los n números a1 , a1 + a2 , a1 + a2 + a3 , ..., a1 + a2 + ... + an
y analice los restos en la división por n).
8. Utilizar el desarrollo decimal para deducir las reglas de divisibilidad por 4, 7, 8 y 9
9. Probar que no hay progresiones aritméticas de la forma a + nb, n ∈ N que consistan exclusivamente de
números primos.
10. Hallar el resto de la división de (123456789101112131415) 2 por 9
11. Demostrar que todo primo impar es de la forma 4n + 1 ó 4n − 1, con n ∈ Z.
12. Demostrar:
(a) Si a, b ∈ Z : 7 | a2 + b2 ⇔ 7 | a ∧ 7 | b
(b) Sean a, n, m números naturales ,a > 1 : an − 1 | am − 1 ⇔ n | m.
13. Probar que la suma de dos cuadrados impares nunca es un cuadrado.
14. Calcular y responder:
(a) ¿Qué dı́a de la semana fué el 2 de abril de 1982?
(b) ¿Qué dı́a de la semana fué el 9 de julio de 1816?
15. Sean p y q primos distintos, ambos mayores que 3. Probar que si p − q es una potencia de 2, entonces
p + q es divisible por 3.
16. Demostrar:
(a) Si n ∈ N, 2n − 1 es primo sólo si n es primo
(b) Si n ∈ N, 2n + 1 es primo sólo si n es una potencia de 2