2.8 Pérdidas de punta de pala.

Modelos globales
Modelos locales
Modelos globales
Modelos locales
Fundamento físico
Debido a que la pala es nita, se produce un
torbellino de punta de pala.
Este rebordeo del ujo en la zona de punta de
pala genera un ujo de la parte superior a la
inferior que aumenta la velocidad inducida y, por
tanto, disminuye el ángulo de ataque,
reduciendo así la capacidad de generar
sustentación en esta zona.
2. Vuelo Axial
2.8 Pérdidas de punta de pala
Físicamente este efecto se traduce en que para unas condiciones de
vuelo y un coeciente de tracción dados la distribución de velocidad
inducida es mayor que la calculada por la TCMEP. Por tanto:
mayor ángulo de entrada de corriente,
mayor coeciente de potencia inducida.
65
AAD (HE)
Modelos globales
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
1 / 22
Modelos locales
Introducción
AAD (HE)
Modelos globales
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
3 / 22
Modelos locales
Modelo global de Prandtl I
Aproximación de Prandtl: debido a la pérdida de capacidad de
1
Modelos globales
2
Modelos locales
AAD (HE)
sustentación de la punta de las palas, se introduce el radio de rotor
efectivo que corresponde a una parte del rotor real Re = BR , donde
B < 1 es el factor de pérdida de punta de pala.
Implica por tanto:
mayor carga discal para un mismo coeciente de tracción (T /Ae ),
mayor velocidad inducida, y
mayor potencia inducida.
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
2 / 22
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
4 / 22
Modelos globales
Modelos locales
Modelo global de Prandtl II
≈ 1−
Modelos locales
Modelo global de Prandtl IV
El factor de pérdida de punta de pala se puede expresar como
(Prandtl)
B ≈ 1−
Modelos globales
1,386
b
1,386
b
Otras aproximaciones que sólo dependen de la geometría:
λ
√ i
1 + λi2
Gessow y Myers
B = 1−
Sissingh
λi ,
c
cR (1 + 0,75 R )
cP .
B = 1−
1,5R
y en el caso de vuelo a punto jo como
B ≈ 1−
Vuelo Axial
√
CT
.
b
Pérdidas punta de pala
5 / 22
Modelos locales
Modelo global de Prandtl III
AAD (HE)
Modelos globales
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
7 / 22
Modelos locales
Efecto de la pérdida de punta de pala sobre los coecientes
de tracción y potencia I
1
b=2
b=4
b=5
0.99
0.98
B
66
AAD (HE)
Modelos globales
cP
,
R
Pala rectangular, torsión nula y λ cte.
Coeciente de tracción.
0.97
0.96
Interpretación incorrecta. Se considera que la parte entre R − Re no
produce sustentación:
0.95
0.94
0
0.002
0.004
0.006
CT
0.008
0.01
(
)
∫
1 B
λ
σ0 Clα θ0 −
x 2 dx
2 0
x
(
)
1
θ0 B λ
= σ0 Clα B 2
−
.
2
3
2
0.012
CT =
B ↓, si b ↓: representa la interferencia entre palas,
B ↓, si CT ↑: representa el espaciado de la supercie de vorticidad.
Valores típicos B ≈ 0,95, 0,98.
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
6 / 22
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
8 / 22
Modelos globales
Modelos locales
Efecto de la pérdida de punta de pala sobre los coecientes
de tracción y potencia II
Modelos globales
Modelos locales
Efecto de la pérdida de punta de pala sobre los coecientes
de tracción y potencia IV
Interpretación correcta. Se considera que para la misma tracción el
ujo inducido se incrementa en un valor
vi 0 =
λ∗ =
√
λ
B
T
2ρ Ae
=
√
T
,
B 2ρ A
1
Coeciente de potencia inducida:
,
entonces el coeciente de tracción:
(
∫
)
1 1
λ
CT =
σ C
θ −
2 0 0 lα 0 Bx
(
)
1
θ0 1 λ
= σ0 Clα
−
.
2
3 2B
Vuelo Axial
x 2 dx
Pérdidas punta de pala
9 / 22
Modelos locales
Efecto de la pérdida de punta de pala sobre los coecientes
de tracción y potencia III
)
AAD (HE)
Modelos globales
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
11 / 22
Modelos locales
Efecto de la pérdida de punta de pala sobre los coecientes
de tracción y potencia V
−3
5
x 10
4.5
4
3.5
Coeciente de potencia parásita:
NACA TN−626 σ=0.0424
TEP B Prandtl Incorrecto
TEP B Prandtl Correcto
TEP B = 1 (ideal)
CP
T
3
C
67
AAD (HE)
Modelos globales
(
∫
λ λ 2
1 1
σ0 Clα θ0 −
x dx
CPi =
2 0
Bx B
(
)
1
θ0
λ
λ
= σ0 Clα
−
.
2
3 2B B
2.5
0
∫ 1
0
2
2
1.5
1
=
0.5
0
0
1
2
σ0 Cd x 3 dx
(
(
)
(
) )
∫
λ
λ 2 3
σ0 1
=
δ0 + δ1 θ0 −
+ δ2 θ0 −
x dx
=
2
4
6
θ
8
10
12
0
σ0 δ0
14
8
(
Bx
Bx
(
(
)
( )2 ))
δ1
4λ
δ2
8λ
λ
2
1+
θ0 −
θ0 −
+
θ0 + 2
.
δ0
3B
δ0
3B
B
0
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
10 / 22
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
12 / 22
Modelos globales
Modelos locales
Modelo local de Prandtl I
f es:
Modelos locales
Incorporación a la TCMEP I
Válido para palas de radio grande (apropiado para rotores de
helicópteros, no tanto para hélices).
En estas condiciones se puede sustituir la supercie de vorticidad de la
estela por una serie de planos bidimensionales.
Resultado extendido por Goldstein a hélices.
Según el modelo de Prandtl la tracción elemental (dCT ) debe de
corregirse con un factor F :
donde
Modelos globales
F (x ) =
( )
f (x ) =
(
2
π
arc cos (exp (−f (x )))
b x −1
2 x φ (x )
=
(
b 1−x
2 λ (x )
Vuelo Axial
)
Tracción diferencial. El factor F aporta información tridimensional a la
velocidad inducida que se determina con TCM.
)
σC (
dCT = lα θ x 2 − λ x dx ,
2
dCT = 4 (λ − λc ) F λ x dx ,
TEP:
TCM:
(1)
igualdad de tracciones
.
λ2 +
Pérdidas punta de pala
13 / 22
Modelos locales
Modelo local de Prandtl II
(
σ Clα
8F
AAD (HE)
Modelos globales
)
− λc λ −
σ Clα
8F
Vuelo Axial
θ x = 0.
Pérdidas punta de pala
15 / 22
Modelos locales
Incorporación a la TCMEP II
Distribución de velocidad inducida
1
(
)
σ (x )Clα (x ) λc
λ (x ) = −
−
16F (x , λ )
2
√(
)
σ (x )Clα (x ) λc 2 σ (x )Clα (x )
+
−
+
θ (x )x .
16F (x , λ )
2
8F (x , λ )
1
x =0.80
x =0.85
x =0.90
x =0.95
0.9
0.8
0.9
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
F
F
68
AAD (HE)
Modelos globales
)
Principio
Tracción diferencial en un tubo anular es igual a la tracción en un elemento
de pala
0.5
0.4
0.5
φ =11.5 gradosb =2
φ =11.5 gradosb =4
φ =2.9 gradosb =2
φ =2.9 gradosb =4
Caso particular de vuelo a punto jo λc = 0
0.3
σ (x )Clα (x )
λ (x ) =
16F (x , λ )
0.4
0.2
0.3
0.2
0
0.1
5
10
15
φ (grados)
20
25
30
0
0.7
0.75
0.8
(2)
0.85
x
0.9
0.95
(
−1 +
√
1+
32F (x , λ )θ (x )x
σ (x )Clα (x )
)
.
1
Atención
La ecuación (2) es una ecuación implícita para obtener λ (x ). Es necesario
emplear un método iterativo.
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
14 / 22
AAD (HE)
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
16 / 22
Modelos globales
Modelos locales
Algoritmo
Modelos globales
Modelos locales
Ejemplo II
Denido el rotor: θ (x ), σ (x ), Cl (α), Cd (α) y
velocidad vertical λc
Discretizar la pala: xi , i = 1 . . . n, ∈ [0 − 1]
0.18
end
λ
λi = λ j +1 (xi ) y φi = φ (xi ) = i
xi
αi = θi − φi , (Cl )i = Cl (αi ) y (Cd )i = Cd (αi )
1
(dCT )i = σi (Cl )i xi2
2
(
)
dCP i = 1 σi (Cl )i φi xi3
2
(
)
dCP0 i = 1 σi (Cd )i xi3
2
CP
i
=
CP0 =
1
0
∫
15
0.12
1
0
∫
20
0.14
1
0
dCT ≈ ∑ ai (dCT )i dr
i
dCP
i
≈ ∑ ai
i
(
(
0.1
10
0.08
)
dCP i dr
i
φ
CT =
∫
θ (x) =10.05, SIN perdidas de punta de pala
θ (x) =10.78, CON perdidas de punta de pala
θ (x) =10.05, SIN perdidas de punta de pala
θ (x) =10.78, CON perdidas de punta de pala
0.16
Calcular numéricamente los
coecientes globales
λ
Suponer λ j dada por TCMEP
while ε > TOL
F j = g (xi(, λ j (xi))) ecuación (1)
λ j +1 = h xi , F j ecuación (2)
ε = abs (λ j +1 − λ j )
25
0.2
foreach xi
0.06
5
0.04
)
0.02
dCP0 ≈ ∑ ai dCP0 i dr
i
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0
0
1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x=r/R
x=r/R
i
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
17 / 22
Modelos locales
Ejemplo I
AAD (HE)
Modelos globales
Vuelo Axial
Se considera un rotor sin torsión geométrica, solidez uniforme y de
valor σ = 0,1, y la aerodinámica es Cl = 5,75α , Cd = 0,001 + 0,3α 2 .
A continuación se muestra la comparación entre obtener la
distribución de velocidad inducida mediante TCMEP sin pérdidas de
punta de pala y TCMEP con la pérdida de punta de pala del modelo
local de Prandtl.
En condiciones de VPF se han obtenido las soluciones para que se
produzca CT = 0,008 en ambos casos y se han comparado las
distribuciones asociadas de las variables representativas.
0.8
0.7
0.03
θ (x) =10.05, SIN perdidas de punta de pala
θ (x) =10.78, CON perdidas de punta de pala
θ (x) =10.05, SIN perdidas, C =0.008
T
0.025
0.6
0.02
0.4
0.3
0.015
0.01
0.2
0.005
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−0.005
0
x=r/R
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
18 / 22
θ (x) =10.78, CON perdidas, CT =0.008
0.5
0
0
AAD (HE)
Pérdidas punta de pala
19 / 22
Modelos locales
Ejemplo III
dCT/dx
69
AAD (HE)
Modelos globales
Cl
end
AAD (HE)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x=r/R
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
20 / 22
Modelos globales
Modelos locales
Ejemplo IV
−3
2.5
−3
x 10
2.5
x 10
θ (x) =10.05, SIN perdidas, CP =0.000587
θ (x) =10.05, SIN perdidas, CPi =0.000547
θ (x) =10.78, CON perdidas, CP =0.000649
2
2
1.5
dCPi/dx
dCP/dx
1.5
θ (x) =10.78, CON perdidas, CPi =0.000608
1
1
0.5
0.5
0
0
−0.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
−0.5
0
1
0.2
0.4
x=r/R
0.6
0.8
1
x=r/R
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
21 / 22
Modelos locales
Ejemplo V
−4
x 10
200
θ (x) =10.05, SIN perdidas, CP0 =0.000041
θ (x) =10.78, CON perdidas, CP0 =0.000040
150
Cl / Cd
100
dCP0/dx
70
AAD (HE)
Modelos globales
1
50
θ (x) =10.05, SIN perdidas de punta de pala
θ (x) =10.78, CON perdidas de punta de pala
0
−50
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
−100
0
x=r/R
AAD (HE)
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x=r/R
Vuelo Axial
Pérdidas punta de pala
22 / 22