Usando una balanza para m edir m asa o peso

Usa ndo una ba lanza p a ra m e dir m a sa o p e so
A nge lManzur Guzm ¶
an
De p arta m e nto de F¶
³sica ,C B I,UA M-I
e -m a il: am g@xanum .ua m .m x
²p lante a m i
e nto y a n¶
a lisiscua li
ta tivo
R e ci
bi
d
o : 11de novi
e m bre de 2 003.
A ce p tad
o : 2 8 de noviem bre de 2 003.
²an¶
a li
si
sm a te m ¶
a ti
co
Intro d
ucci
on
¶
C on la re soluci¶
o n de p r oblem a sde f¶
³sica se busca
q ue e le studiante se a ca p a z de usa r corr e ctam e nte
losconce p tosf¶
³sicosy lashe r ra m ienta sm a te m ¶
a tica s;
q ue i
nte rp re te la soluci¶
o n y la uti
li
ce p a ra p r e decir
re sultadosy calcular e le fe cto p ro duci
do e n e lr e sulta do cuando se va r¶
³a n losvalore sde a lgunosp a r¶
am etros; y q ue se a ca p a zde ge ne r ali
za r lascondi
ci
one s
delp roblem a p a ra incluir otrose fe ctose n e lr e sulta do.Una ve z q ue e le studiante ha obte ni
do la soluci¶
o n te ¶
or i
ca,sa be e n q u¶
e p ar te delp ro ce so se introduje ron lasap r oxim a ci
one so idea li
zaci
one sq ue p e rm itieron logr ar una soluci¶
o n se nci
lla y,conse cue nte m e nte ,cono ce losa lcance sy lim ita cione sde la soluci¶
o n e n lasp osi
blesap li
ca cione s.
²i
nte rp re ta ci¶
o n f¶
³si
ca de la soluci¶
o n.
C ada uno de e stosp asosconsiste de va ri
a sp a rte s;
p or e je m p lo,ca sosp a rticulare s,ca sosl
¶
³m ite y a p lica cione s p ue den se r ana li
zados e n e l¶
u lti
m o p aso
p ri
nci
p al.
A q u¶
³se p re se nta la obte nci
o n de la soluci¶
¶
o n de un
p roblem a de m e c¶
a ni
ca e lem e nta ldonde se ha n se guido los p a sos p rincip a les p rop ue stos.La i
nte nci¶
o n e n e ste a rt¶
³culo e si
lustrar con un e je m p lo e l
p ro ce so de c¶
o m o r e solve r un p roblem a de m e c¶
a nica e lem e nta ly,p r i
nci
p a lm e nte ,de c¶
om o i
nte rp re tar la soluci
o n.La clave p a ra re solve r p roblem a s
¶
nue vosy dif¶
³cilese st¶
a conte ni
da e n e lconjunto de
habili
dadesq ue se adq uier e n alr e solve r p roblem a s
se nci
llos.
Lo q ue se busca no e sla ap lica ci¶
o n de una r e ce ta
o una f¶
o rm ula,sino la com p re nsi¶
o n de la f¶
³sica involucr ada y e ldesa rr ollo de ha bi
li
dades.La re sp ue sta num ¶
e rica a cua lquier p r oblem a e n e lnive le lem e nta lno e stan i
m p orta nte com o lo son lasha bi
li
dades
o he rra m ienta susa dasy la e xp e rienci
a q ue se a dq uiere altra ba ja r e n la b¶
u sq ue da de la soluci
o n.E lin¶
te r¶
e se sq ue ca da e studi
a nte ,con la p r¶
a ctica de re solve r p roblem a s,te nga su m a q ui
na ria m e ntalbi
e n e ntre na da p a ra q ue p ue da re solve r losp roblem a sq ue
se le p re se nte n.N ue stra m e ta e sp re p a ra r e studi
a nte sp a ra to doslosp osi
blesfuturos,a rm ¶
a ndoloscon
e lm o do cient¶
³¯co de p e nsa r.
Pr o bl
e m a [3]
Una ca ja si
n ta p a se coloca sobre una ba lanza ,la
cua lse a justa p ar a q ue m a rq ue ce ro cua ndo la ca ja e st¶
a va c¶
³a.De sp u¶
e sse deja n ca e r e n la ca ja va ri
as
ca ni
ca se n for m a suce siva desde una a ltura h,m e dida desde e lfondo de la ca ja ,a ra z¶
o n de R canica s
p or se gundo.C a da cani
ca tiene una m a sa m .C onsi
dera r q ue lascolisi
one se ntre lasca nica sy la ca ja p ue den se r to dascom p leta m e nte ine l¶
a stica so todase l¶
a sti
cas.Ha llar la lectura de la ba lanza e n funci¶
o n deltiem p o desde q ue las ca ni
ca s com ienzan
a cae r.
Una gu¶
³a o e structur a fundam e ntalde c¶
o m o re solve r p roblem a sayuda a lose studi
a nte s,p ue slesi
ndi
ca losp a sosp rinci
p a les,a s¶
³com o susp a rte sre leva nte s,y e lorden e n q ue debe n llevar se a ca bo; p rop orciona e lem e ntosq ue si
r ve n p a ra ve rīca r silosr e sulta dosinte rm e di
osy ¯nalesson corre ctos.Losp a sosp rincip a lesde una gu¶
³a p rop ue sta r e ciente m e nte [1,2 ]son:
Pl
a nte a m i
e nto
E n la ¯gura sigui
e nte se i
lustra un conjunto de ca nica sq ue ava nza n con igualve loci
dadhorizonta l,se p a ra dase ntre s¶
³p or una dista ncia consta nte e igua lp a ra to das,de ta lm ane ra q ue a lcae r p ro duci
r¶
a n colisi
one scon la ca ja,tra nscurr i
e ndo i
nte rvalosde tiem p o con la m ism a dura ci¶
o n e ntre coli
si
one ssuce si
va s.
Sup ondre m osq ue e n e lca so de lascoli
si
one se l¶
a stica s
hay un disp ositivo q ue a tra p a a lasca ni
case n su
19
20
C o nta cto S 52 ,19 {2 2 (2 003)
za im p ulsiva p rom e di
o y ¢ t e se ltiem p o q ue dura la colisi¶
o n.
E n e ste p r oblem a tom ar e m oscom o si
ste m a de re fe re nci
a la co ordena da ve r ti
calY p osi
tiva ha ci
a a rriba,m e dida desde e lfondo de la ca ja .La se cua cione s
cine m ¶
a ti
casq ue describe n e lm ovim iento de una ca ni
ca q ue se deja ca e r con ve lo cidadve rtica lnula,desde una altura h,son:
g
y= h ¡ t2
2
p ar a la p osici¶
o n m e dida desde e lfondo de la ca ja ,y
v = ¡gt
p ar a la ve loci
dad.E lti
e m p o de ca¶
³da se ca lcula ha ciendo y= 0 e n la p rim e ra e cua ci¶
o n,e ste tiem p o se
susti
tuye e n la se gunda e cua ci¶
o n p a ra obte ne r la ve locidadq ue la ca ni
ca tiene a lllega r a la ca ja ; llam e m osva a la m a gni
tudde e sta ve loci
dad,con e l
sub¶
³ndi
ce a se indica su va lor justo a nte sde la colisi¶
o n.Se obtiene q ue la m a gnitudde la ve loci
dadcon
q ue la ca nica to ca e lfondo de la ca ja e s
Figur a 1: La sca nica sson id¶
e nti
cas,i
nicialm e nte tiene n ve loci
dadve rti
calnula,y ca e n desde una altura h.
re bote p a ra e vita r q ue vue lva n a ca e r e n la ca ja,y
q ue e n e lcaso de lascoli
si
one sine l¶
a stica shay otro
disp ositi
vo q ue e vita q ue una ca ni
ca ca iga e ncim a de
otra .Pri
m e r o se ca lcular¶
a e lca m bi
o e n e l¶
³m p e tu q ue
una canica sufre com o r e sulta do de su colisi¶
o n con la
ca ja .De sp u¶
e s,se calcular¶
a la lectura de la balanza
tom a ndo e n consi
dera ci¶
o n e lti
p o de colisi
o n.
¶
A n¶
al
i
si
sm ate m ¶
a ti
co
R e cordem osq ue a p a rtir de la se gunda ley de N e w e
ton e n una di
m e nsi
o n,e xp re sa da com o F = dp
¶
dt ,s
obti
e ne
¢ p =
Z
va=
p
2 gh :
A e ste r e sulta do ta m bi
¶
e n se llega usa ndo la conse r va ci¶
o n de la e ne rg¶
³a m e c¶
a ni
ca,p ue sla e ne rg¶
³a p ote nci
a lq ue la ca ni
ca tiene e n la p osici¶
o n h e smgh ,
sisu ni
ve lce r o se colo ca e n e lfondo de la ca ja ,y toda se convier te gra dualm e nte e n ci
n¶
e ti
ca a dq ui
ri
e n2
mv
jus
t
o
a
lha
ce
r
cont
a
ct
o
con
l
a
ba
do e lva lor 1
a
2
se de la ca ja .
Sila canica r e bota ,llam e m osvd a la m a gnitudde la
ve loci
dadi
nm e diata m e nte desp u¶
e sde la colisi¶
o n.E l
¶
³m p e tu a nte sy desp u¶
e sde la colisi
o n e sp a= ¡mva
¶
y p d = mvd ,re sp e ctiva m e nte .Por ta nto,e lca m bio
e n e l¶
³m p e tu e s
¢ p = p d ¡p a= mvd + mva:
F dt:
E lp r i
m er m i
e m bro de e sta e cua ci¶
o n r e p re se nta e l
ca m bi
o e n e l¶
³m p e tu p r o ducido p or la colisi¶
o n.E n
e lse gundo m iem bro la i
nte gr aldebe e fe ctua rse e n
e ltiem p o q ue dura la coli
si
o n; la fue r za i
¶
m p ulsiva
F ,e n ge ne r al,dep e nde delti
e m p o y ti
e ne una form a com p li
cada.E n a lgunosca sose lva lor de e sta inte gr alse tom a com o F p ¢ t,donde e sta F p e sla fue r-
(1)
Sie ste ca m bio e n e l¶
³m p e tu se p ro duce e n un tiem p o
tud
¢ t,e ntonce se lco ciente ¢¢ pt re p r e se nta la m a gni
de la fue r za i
m p ulsi
va p rom e di
o.
E n e ste m om e nto debe m os tom a r e n cue nta sila
colisi¶
o n e s com p letam e nte i
ne l¶
a sti
ca o e l¶
a sti
ca.Se
har ¶
a la sup osi
ci
o n de q ue la ca ja y la ba lanza no se
¶
m ue ve n debi
do a la coli
si¶
o n,y q ue la ba lanza tiene
una r e sp ue sta ta lq ue la ha ce ca p a z de re gistrar e l
i
m p a cto de cada coli
si
o n.
¶
Usa ndo una balanza p a ra m e di
r m a sa o p e so. A nge lManzur Guzm ¶
a n.
21
Figur a 2 : E n e lcaso de coli
si
one se l¶
a sti
cas,la se n~ alq ue r e gi
stra la ba lanza te ndr¶
³a un com p or ta m iento e n e l
tiem p o com o e laq u¶
³m ostra do.
Col
i
si
o n co m p l
¶
e tam e nte i
ne l
¶
a sti
ca
E n e ste ca so vd = 0,p ue sdesp u¶
e sde la coli
si
o n ca ¶
da ca ni
ca q ue da adhe rida a la ca ja (p o dem osp e nsa r q ue e n la ba se de la ca ja e xiste a lg¶
u n ti
p o de p e gam e nto).C on e lsub¶
³ndice i se ha r¶
a re fe re nci
a a
q ue la coli
si
o n e scom p leta m e nte ine l¶
¶
a stica ,de e sta m a ne ra e lcam bi
o e n e l¶
³m p e tu dado e n la e cua ci¶
o n (1)e s
p
¢ p i = mva= m 2 gh :
(2 )
Col
i
si
on e l
¶
a sti
¶
ca
A dife re ncia de lo q ue o curre cuando las coli
sione s son com p leta m e nte i
ne l¶
a sti
cas, a hor a la ba lanza no dete cta e lp e so de las canica s p ue s ninguna de e llas p e rm a ne ce e n la ca ja ; u¶ni
ca m e nte dete cta la fue rza im p ulsi
va p rom e dio de ca da
colisi¶
o n. E l ca m bio e n e l¶
³m p e tu de cada ca nica ,e xp re sado e n la e cua ci
o n (1),a hora e s 2 mva
¶
p ue s a nte s y desp u¶
e s de la coli
si
o n las ve lo cida¶
desti
e ne n i
gua lm a gni
tud.E lca m bio del¶
³m p e tu e s
¢ p e (e lsub¶
³ndi
ce ha ce re fe re ncia a q ue la colisi¶
on
e se l¶
a stica )
C om o a la ca ja llega n R ca ni
cascada se gundo,e ntonce se ltiem p o q ue transcur re e ntre doscolisi
one ssutudde la fue rza i
m ce siva se stR = R1.La m a gni
p ulsi
va p r om e di
o e je rci
da p or lasca ni
ca salca e r sobre la ca ja e s
p
¢ p e = 2 m 2 gh :
(5)
A n¶
a logam e nte alca so de colisione scom p leta m e nte
i
ne l¶
a stica s,la fue rza i
m p ulsi
va p r om e di
o es
p
F p = mR 2 gh :
p
F p = 2 mR 2 gh :
(6 )
(3)
Por otra p a rte ,com o a la ca ja llega n R cani
casca da se gundo,e ntonce se ln¶
u m e ro de ca ni
ca sq ue llegan e n e lti
e m p o t e sn = Rt,y e n la ca ja se a cum ula una m a sa M (t)= mn = mRt.E lp e so de e sta m a sa acum ulada e n e lti
e m p o t e sM (t)g.Sila ba lanza e st¶
a dise n~ ada p ar a r e gi
stra r p e sos,e ntonce sla lectura L P i (e n N ),e n funci¶
o n delti
e m p o,e se lp e so M (t)g de lasca ni
ca sq ue se ha n a cum ulado e n e l
tiem p o t m ¶
a sla fue rza q ue p rovi
e ne de la transfe re ncia del¶
³m p e tu,e sdecir
p
L p i = M (t)g+ F p = mgRt = mR 2 gh :
(4)
E n cam bi
o,sila ba lanza e st¶
a dise n~ ada p a ra m e dir
m a sas,la lectura L M i (e n kg)e s
LM
i
= mRt+ mR
s
2h
:
g
(40)
de ta lm a ne ra q ue e lp e so q ue re gistra la ba lanza e s
L p e = 2 mR
p
2 gh :
(7 )
A q u¶
³se ha sup ue sto q ue lascanica sr e bota n e n la
ca ja y no vue lve n a ca e r e n e lla.
Inte r p r e taci
o n f¶
¶
³si
ca d
e l
a so l
uci
on
¶
N¶
o te se q ue la f¶
o rm ula (4),q ue re p re se nta la lectura de la ba lanza cua ndo lascolisi
one sson com p letam e nte ine l¶
a stica s,consiste de dost¶
e rm inosde los
cua lesuno dep e nde e xp l
¶
³ci
ta m e nte deltiem p o y cre ce line a lm e nte con ¶
e l.E lp ri
m e r t¶
e rm ino r e p re se nta
alp e so de la m asa q ue se ha a cum ulado e n la ca ja e n
e lti
e m p o t; e lse gundo t¶
e rm i
no r e p re se nta la fue rza
q ue p rovi
e ne de la tra nsfe re nci
a del¶
³m p e tu.E n ca m bi
o,e n la f¶
o rm ula (7 )q ue re p re se nta e lca so de colisi
one se l¶
a sti
ca ss¶
o lo a p a re ce e ste u¶lti
m o t¶
e rm i
no,p e ro de m a gni
tuddoble alse r com p a ra do con e lca so i
ne l¶
a stico.
La se n~ a lq ue re gistra la ba lanza no va r¶
³a e n form a
conti
nua e n e lti
e m p o.E n e ste p roblem a se debe n
22
C o nta cto S 52 ,19 {2 2 (2 003)
Fi
gura 3: V isua liza ci
o n de la se n~ a lq ue r e gi
¶
stra la ba lanza e n e lca so de coli
sione sine l¶
a stica s.
distinguir 2 tiem p osca ra cte r¶
³sti
cos: e lti
e m p o e ntre
doscolisione sconse cutiva s(tR = 1=R)y e ltiem p o
q ue dur a ca da colisi¶
o n (tC ).Pa ra e lca so de lascol
i
si
o ne se l
a sti
¶
cas,e stosti
e m p osse ilustra n e n la ¯gura 2 ,donde ta m bi
¶
e n se ilustra la m a gni
tudde la
fue rza im p ulsi
va p r om e dio.
E n ge ne ra l,e lti
e m p o tC e sm uy p e q ue n~ o,delorden de m ilise gundos.E n ca m bio,e lti
e m p o tR p ue de se r com p ar ativam e nte gra nde,com o e n e lca so de
una llave de agua q ue gote a.Pa ra calcular la tra nsfe re ncia del¶
³m p e tu e n cada coli
si
o n e l¶
¶
a sti
ca ,e stricta m e nte debe usar se tC p ue se ste ti
e m p o re p r e se nta la dura ci¶
o n delca m bio del¶
³m p e tu.C ua ndo no e s
ne ce sar i
o ha ce r la di
sti
nci
o n e n e stostiem p os,se op ¶
ta p or ignora r e ltiem p o tC y se usa e ltiem p o tR p a ra ca lcular e lp rom e di
o de la fue rza q ue re gistra la
ba lanza.
E n e lca so de lasco l
i
si
o ne si
ne l
a sti
¶
ca s,la lectura de la ba lanza r e p re se ntada p or la f¶
o r m ula (4)indica q ue va r¶
³a line a lm e nte e n e ltiem p o.Pe r o sa be m osq ue e sto no p ue de se r de m a ne r a continua,
ya q ue dura nte e ltiem p o q ue tra nscurre e ntre coli
sione ssuce si
va sno hay a p ortaci
one salp e so q ue se
a cum ula nia la transfe re ncia del¶
³m p e tu.La lectura q ue la ba lanza r e gi
stra (com o r e sp ue sta a lascolisione s)p o dr¶
³a visua liza rse com o e n la ¯gura 3.
C ada e sca l¶
o n e n e ldi
a gra m a re p re se nta la contribuci¶
o n de la fue rza i
m p ulsiva m ¶
a sla contribuci¶
on
delp e so de una canica .E ste e fe cto se obse r va cua ndo uno sa lta y ca e sobre una balanza y p e rm a ne ce p a ra do sobr e e lla; ini
ci
a lm e nte la ba lanza r e gi
stra un p e so m ayor a lre aly desp u¶
e se lvalor di
sm inuye e q uilibr¶
a ndose e n e lva lor ve r dadero.
Bi
bl
i
o gr af¶
³a
1. A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶
o n de p roblem a s.Co ntactos,N o.38,45,2 000.
2 . A .Ma nzur.Pa sosp a ra la re soluci¶
o n de p roblem a s.2 .R e vista Me xicana de F¶
³sica,47 (2 ),17 5,
2 001.
3. R .R e snick,D.Ha lliday y K .S.K ra ne .F¶
³sica.V olum e n 1,q uinta e di
ci
on e n i
¶
ngl
¶
e s(cuar ta
e dici¶
o n e n e sp a n~ ol).C E C SA ,M¶
e xico,2 002 .E xte nsi
o n delp roblem a 6 -8.
¶
cs