Solución de la Ecuación de Laplace Para Flujos Potenciales

Revista Colombiana de Fı́sica, Vol. 43, No. 2 de 2011.
Solución de la Ecuación de Laplace Para Flujos Potenciales
Solution Of Laplace’s Equation For Potential Flows
D. E. Rodrı́guez Atará * a , R. Martı́nez a , L. Rendón b
a
b
Departamento de Fı́sica, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.
Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá.
Recibido 19.05.11; Aceptado 29.06.11; Publicado en lı́nea 04.09.11.
Resumen
Se muestra una técnica analı́tica para solucionar el problema del flujo potencial generado por un ala tridimensional que se
mueve en un fluido incompresible, irrotacional y no viscoso. Para esto se resuelve la ecuación de Laplace en tres dimensiones
usando la segunda identidad de Green obteniendo que la perturbación generada por el movimiento del ala se puede expresar
como una superposición de elementos singulares, fuentes y dobletes, que son soluciones de la ecuación de Laplace. Esta
técnica de superposición es la base para solucionar numéricamente el potencial velocidad del ala.
Palabras Clave: Ecuación de Laplace; Flujo potencial; Fuente; Doblete.
Abstract
We show an analytical technique to solve the problem of potential flow generated by a three-dimensional wing moving
in an incompressible, irrotational and inviscid fluid. For this we solve Laplace’s equation in three dimensions using the
second Green identity getting the disturbance generated by the wing movement which can be expressed as a superposition
of singular elements, sources and doublets, which are solutions of the Laplace equation. This overlapping technique is the
basis for solving numerically the potential speed of the wing.
Keywords: Laplace’s equation; Potential flow; Source; Doublet.
PACS: 47.85.Gj; 47.11.-j.
c
2011.
Revista Colombiana de Fı́sica. Todos los derechos reservados.
1.
Introducción
La ecuación de Navier Stokes con las condiciones de
frontera apropiadas permite en principio resolver los problemas de mecánica de fluidos y aerodinámica. Sin embargo no siempre es fácil hallar la solución e incluso en algunos
casos puede que ésta no exista. También hay problemas de
convergencia por la no linealidad de las ecuaciones. Muchos
problemas de aerodinámica no requieren de la ecuación de
Navier-Stokes porque aquellos de flujos aerodinámicos se
presentan en una región no viscosa donde los efectos turbulentos prácticamente se pueden despreciar. En este caso
* [email protected]
particular la circulación de la velocidad es nula y por tanto el rotacional de la velocidad serı́a cero. Por tanto para
un fluido no rotacional la velocidad se podrı́a escribir como
el gradiente de una función escalar potencial, similar a la
electrodinámica entre el campo eléctrico y el potencial electrostático. Para un régimen subsónico la densidad del fluido
se puede considerar incompresible, i.e. constante, y por tanto la ecuación de continuidad o conservación de la masa se
reduce a que la divergencia de la velocidad es nula. Entonces usando el carácter no rotacional de fluidos relativamente
lejanos de las superficies y fluidos subsónicos, el problema
aerodinámico se reduce a resolver la ecuación de Laplace
D. E. Rodrı́guez Atará, R. Martı́nez, L. Rendón: Solución de la Ecuación de Laplace Para Flujos Potenciales
con ciertas condiciones de frontera.
El vórtice de partida: Está asociado a un cambio de circulación en el ala debido a cambios repentinos en la velocidad o en el ángulo de ataque. Si suponemos que el ala parte
del reposo (V = 0), y de acuerdo el teorema de circulación
de Kelvin, la circulación alrededor de una curva C1 que encierre al ala sera cero. Ahora cuando empieza el movimiento, se genera circulación en la parte delantera del ala lo que
produce en el borde de fuga un vórtice de circulación igual
pero en sentido contrario a la generada inicialmente (ver figura 1). El vórtice trasero es conocido como el vórtice de
partida.
En este trabajo mostramos cómo resolver la ecuación de
Laplace sobre la superficie de un ala y los potenciales necesarios que representan las condiciones de frontera para simular el problema aerodinámico alrededor de la misma.
2.
Flujo potencial
La ecuación de continuidad de un fluido relaciona la variación de la masa en el volumen de control por unidad de
tiempo con la cantidad de masa que fluye hacia o desde las
fronteras de este volumen de control. Escrita en forma diferencial
∂ρ
+ ∇. (ρq) = 0,
(1)
∂t
donde ρ es la densidad del fluido y q el vector velocidad.
Un fluido incompresible es aquel cuyos elementos no
pueden experimentar un cambio de volumen. Debido a que
la masa del fluido es constante, los elementos de un fluido incompresible también deben tener densidad constante,
ası́ que la ecuación (1) se reduce a
∇.q =
∂w
∂u ∂v
+
+
= 0.
∂x ∂y
∂z
(2)
Fig. 1: Formación del sistema de vórtices.
La cantidad que está relacionada con la rotación del fluido es llamada vorticidad y esta definida por ζ = ∇ × q. Por
otro lado, en aquellos fluidos donde los efectos viscosos son
muy pequeños comparados con los efectos cinemáticos la
vorticidad es nula. Este tipo de fluidos son llamados irrotacionales. Si la vorticidad ζ = 0, podemos expresar la velocidad como el gradiente de un campo escalar q = ∇Φ. Con
esta suposición, la ecuación de continuidad para un fluido
incompresible es
∇2 Φ = 0.
(3)
Este sistema se puede observar desplazando algún objeto sobre el agua, por ejemplo al arrastrar la mano sobre el
agua se puede observar un vórtice que se desplaza en la parte
trasera en la misma dirección de movimiento de la mano.
El vórtice de final: Se genera debido a que la presión en
la superficie superior del ala es menor que la presión de la
atmósfera que la rodea, mientras que la presión en la superficie inferior es mayor que la presión en la superficie superior
e inclusive puede ser mayor que la presión de la atmósfera que la rodea. Por esto, en la superficie superior el aire
tenderá a fluir desde las puntas del ala hacia la cuerda raı́z
siendo este reemplazado por el aire que circunda las puntas.
Similarmente, en la superficie inferior el aire tenderá (en menor medida) a fluir desde las puntas hacia la raı́z o viceversa.
Suponiendo que los efectos rotacionales y viscosos del
fluido están confinados en delgadas superficies en las fronteras, la ecuación anterior describe el campo de velocidades
en una región donde el fluido es incompresible, irrotacional
y no viscoso.
3.
El sistema de vórtices
Cuando se combinan estas corrientes en el borde de fuga, la variación de las velocidades de éstas en la dirección
de envergadura generarán un enrollamiento del aire en un
número de pequeños vórtices, distribuidos a la largo de la
longitud de envergadura del ala. Estos pequeños vórtices se
enroscan en dos grandes vórtices justo en las puntas del ala
(ver figura 2). La intensidad de cada uno de estos vórtices
será igual a la intensidad del sistema vórtices ligados.
La teorı́a de Lanchester-Prandtl [2][5] reemplazó la elevación del ala por un modelo teórico que consistı́a en un
sistema de vórtices que impartı́a al aire circundante un movimiento similar al que producı́a el ala, y que generaba una
fuerza equivalente a la fuerza de sustentación. Este sistema
de vórtices puede ser dividido en tres partes principales: el
vórtice de partida, el vórtice final y el vórtice ligado.
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Rev.Col.Fı́s., Vol. 43, No. 2 de 2011.
fluido irrotacional e incompresible en una región V que contiene un cuerpo sólido, como se muestra en la figura 4. Con
las condiciones anteriores, la ecuación (3) describe el flujo potencial del fluido. Recordando la segunda identidad de
Green
Z
S
(Φ1 ∇Φ2 − Φ2 ∇Φ1 ) · ndS =
Z
Φ1 ∇2 Φ2 − Φ2 ∇2 Φ1 dV. (4)
V
Fig. 2: Formación del vórtice final o trailing vortex.
Este sistema de vórtices se puede observar a menudo como el rastro que dejan algunos aviones en el cielo.
El vórtice ligado: Al contrario de los vórtices anteriores, el vórtice ligado no es una entidad fı́sica que pueda ser
observada, simplemente es un arreglo hipotético de vórtices
que reemplazan el ala fı́sicamente en casi todo sentido excepto el espesor. Este sistema simula con precisión todas las
propiedades, perturbaciones, sistemas de fuerza, etc., debidas a un ala real.
El vórtice de herradura de caballo: El sistema total de
vórtices asociado a un ala descrito anteriormente, forma un
anillo de vórtices que satisface todas las leyes fı́sicas. Sin
embargo a medida que el ala avanza el vórtice inicial rápidamente queda rezagado, por esto, para propósitos prácticos, el sistema que se trata consiste de los vórtices ligados y
vórtices finales a cada lado del ala, formando una figura en
forma de herradura de caballo, de ahı́ su nombre (ver figura
3).
Fig. 4: Notación usada para definir el problema del potencial.
La integral de superficie se toma sobre todas las superficies S = Sala + Sestela + S∞ . Si tomamos
Φ1 =
1
r
Φ2 = Φ,
(5)
donde Φ es el potencial del flujo de interés en el volumen
V y r es la distancia desde un punto P (x, y, z). En el caso donde el punto P está fuera de V , Φ1 y Φ2 satisfacen la
ecuación de Laplace y la ecuación (4) se vuelve
Z S
1
1
∇Φ − Φ∇
r
r
· ndS = 0.
(6)
Si el punto P se encuentra dentro de la región, el punto se
excluye de la región de integración rodeándolo por una pequeña esfera de radio . Fuera de la esfera y en el resto de la
región V , los potenciales definidos en (5) satisfacen la ecuación de Laplace, por lo tanto la ecuación (4) se reduce a
Fig. 3: El vórtice de herradura de caballo.
Z
4.
Solución de la ecuación de Laplace usando la segunda identidad de Green
S+esfera 1
1
∇Φ − Φ∇
r
r
· ndS = 0.
(7)
Para evaluar la integral sobre la esfera, introducimos
coordenadas esféricas en el punto P . El vector normal apunta hacia dentro de la esfera, n = −er , n.∇Φ = − ∂Φ
∂n y
La base matemática del método de paneles se encuentra en la solución de la ecuación de Laplace por medio de
la identidad de Green. Para solucionarla, consideremos un
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D. E. Rodrı́guez Atará, R. Martı́nez, L. Rendón: Solución de la Ecuación de Laplace Para Flujos Potenciales
∇
1
r
=−
1
r2
er , por lo tanto (7) queda
Z
1 ∂Φ
Φ
−
+ 2 dS
r ∂r
r
esfera Z 1
1
+
∇Φ − Φ∇
· ndS = 0. (8)
r
r
S
R
En la esfera que rodea P , dS = 4π2 . Cuando → 0 y
asumiendo que el potencial y sus derivadas son funciones
bien comportadas, el primer término de la primera
integral
R
desaparece mientras el segundo término − esfera rΦ2 dS =
−4πΦ(P ), por lo tanto (8) queda
Z 1
1
1
Φ(P ) =
∇Φ − Φ∇
· ndS.
(9)
4π S r
r
De acuerdo a la figura 5, definimos el salto de potencial
y la diferencia entre la derivada normal de los potenciales
interno y externo como
−µ = Φ − Φi
∂Φ ∂Φi
−
−σ =
∂n
∂n
Doblete
(14)
Fuente
(15)
y reescribiendo la ecuación (??) en términos de fuentes y
dobletes obtenemos
1
dS
r
Sala
Z
∂ 1
1
µ
dS + Φ∞ (P ). (16)
−
4π Sestela ∂n r
1
Φ(P ) =
4π
Ahora consideremos una situación cuando el flujo de interés ocurre dentro de la frontera de Sala y el potencial resultante dentro de Sala es Φi . Para este flujo, el punto P es
exterior a Sala y aplicando la ecuación (6) obtenemos
Z
1
1
1
∇Φi − Φi ∇
· ndS = 0,
(10)
4π Sala r
r
5.
Z
σ
∂
−µ
r
∂n
Soluciones elementales de la ecuación de Laplace
Dobletes y fuentes constituyen soluciones elementales a
la ecuación de Laplace. En esta sección nos encargaremos
de mostrar la forma genérica del potencial de cada una de
estas soluciones y la velocidad inducida debido a dichos potenciales en tres dimensiones.
con n apuntando hacia afuera de Sala . Restando este resultado a (9) tenemos
Z 1
1
1
∇(Φ − Φi ) − (Φ − Φi )∇ · ndS
Φ(P ) =
4π Sala r
r
Z
1
1
1
+
∇Φ − Φ∇ · ndS (11)
4π Sestela +S∞ r
r
El potencial de una fuente ubicada en el origen de un
sistema de coordenadas esférico es:
y definimos la contribución a la integral de S∞ como
Z 1
1
Φ∞ (P ) =
∇Φ − Φ∇ · ndS.
(12)
r
S∞ r
Φ=−
Si además suponemos que la superficie de la estela Sestela
es muy delgada tal que ∂Φ
∂n es continua a través de ésta la
ecuación (11) se transforma en
Z 1
1
1
Φ(P ) =
∇(Φ − Φi ) − (Φ − Φi )∇ · ndS
4π Sala r
r
Z
1
1
−
Φ∇ · ndS + Φ∞ (P ).
(13)
4π Sestela
r
σ
.
4πr
(17)
La velocidad inducida debido a este elemento se obtiene
usando el operador ∇ en coordenadas esféricas
q=−
σ
∇
4π
1
σ r
=
.
r
4π r3
(18)
Se puede ver de (18) que la velocidad decae a razón de 1/r2
y es singular en r = 0. Si calculamos el flujo de q a través
de una superficie esférica de radio r,
La ecuación anterior da el valor de Φ(P ) en términos de Φ
y ∂Φ
∂n en las fronteras.
qr 4πr2 =
σ
2
4πr
= σ,
4πr2
vemos que σ representa la razón de flujo volumétrico a
través del área de la esfera. Este elemento puntual puede ser
integrado sobre una lı́nea, una superficie, o un volumen para crear los elementos de singularidad correspondientes para
ser usados en la construcción de los elementos de un panel
[1].
Fig. 5: Salto de potencial y de su derivada normal en la superficie
de ala.
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Rev.Col.Fı́s., Vol. 43, No. 2 de 2011.
El potencial del elemento doblete se obtiene superponiendo los flujos de una fuente y un sumidero (fuente con
valor de σ < 0) separados una distancia l
σ
1
1
Φ=
−
.
(19)
4π |r| |r − l|
Si la lı́nea de vórtice va de un punto 1 a un punto 2(ver
figura 6), la influencia en un punto P se puede calcular de
acuerdo a la siguiente ecuación
r1 · r0
Γ r1 × r2
r2 · r0
q1,2 =
−
.
(22)
4π |r1 × r2 |2
|r1 |
|r2 |
En el lı́mite cuando l → 0 y σ → ∞ tal que lσ → µ donde
µ es finito, el potencial de la ecuación (19) se transforma en
Basados en estos resultados, se pueden construir una serie
de elementos, entre ellos el anillo de vórtice que consiste
en 4 segmentos de lı́nea de vórtice que forman un rectángulo. El cálculo de la velocidad inducida por tal elemento se
obtiene realizando 4 ejecuciones de las ecuaciones descritas
anteriormente utilizando los puntos inicial y final de cada
arista del anillo.
Φ=−
µ· r
.
4πr3
(20)
Análogamente al elemento fuente, el campo de velocidades puede ser deducido aplicando el operador ∇ al potencial
de (20). También es posible construir elementos de singularidad para paneles integrando el elemento puntual doblete
sobre una lı́nea, una superficie o un volumen de acuerdo al
problema que se esté tratando.
6.
El desarrollo mostrado en este trabajo y resumido en la
ecuación (16) muestra que la perturbación producida por el
movimiento del ala se puede obtener por medio de la superposición de soluciones elementales de la ecuación de Laplace.
Las lı́neas de vórtice son usadas para simular el efecto
de la sustención sobre la superficie de una ala. Con estas,
es posible modelar tanto el ala como la estela. Usamos los
resultados de [1] para mostrar la velocidad inducida por una
lı́nea de vórtice de circulación Γ dada por
7.
Γ dl × r
,
∆q =
4π r3
Conclusiones
(21)
Agradecimientos
Agradecemos a Colciencias por el apoyo recibido.
Referencias
[1] Joseph Katz, Allen Plotkin. Low Speed Aerodynamics,
From Wing Theory to Panel Methods, MacGraw-Hill,
1991.
[2] John D. Anderson. Fundamentals of Aerodynamics,
MacGraw-Hill, 1984.
[3] John Hess. Calculation of Potential Flow About Arbitrary Three.-Dimenslonal Lifting Bodies, Final Technical
Report , 1972.
[4] Jack Moran. An Introduction to Theoretical and Computational Aerodynamics, John Wiley & Sons, 1984.
Fig. 6: Cálculo de la influencia generada por una lı́nea finita de
vórtice
[5] P.K. Kundu, Ira M. Cohen. Fluid Mechanics, Academic
Press, 2002.
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