2.7.5 Forma canónica de Jordan 2.7.6 Ejemplos

2.7.5
Forma canónica de Jordan
La forma Jordan de una matriz es diagonal. Un sistema dinámico que se expresa como una
ecuación de estado A, B, C, D se puede expresar en la forma canónica de Jordan mediante la
transformación de similitud dada por la matriz modal obtenida por los valores propios y vectores
propios de la matriz A.
2.7.6
Ejemplos
Ejemplo 2.7.1. Representación de un mismo sistema dinámico mediante distintas formas canónicas.
Supongamos que sabemos que la función de transferencia de un sistema dinámico está dada por
T (s) =
s3
+
s+3
+ 24s + 20
9s2
(2.145)
Existen distintas formas de representar esta función. Por ejemplo, se puede tratar de factorizar
el denominador de la siguiente manera
T (s) =
s+3
(s + 2)2 (s + 5)
(2.146)
De donde sabemos que la ecuación tiene dos polos situados en s = −2 y uno en s = −5.
Esta misma ecuación factorizada se puede expresar como una suma de varios términos separados si realizamos una expansión en fracciones parciales.
2
9
− 29
+
+
s + 2 (s + 2)2 s + 5
1
3
(2.147)
De la representación de la función de transferencia original T (s) = Y (s)/U (s) como una
relación salida entrada también podemos escribir la ecuación diferencial general como
d3 y
= −9ÿ − 24ẏ − 20y + u̇ + 3u
dt
(2.148)
Por esta razón, también es posible expresar de varias formas distintas las ecuaciones de estado
del sistema como se ha visto anteriormente en forma teórica.
De acuerdo a las secciones anteriores donde se explican la formas canónicas, sabemos que para
cada una de estas la asignación de las variables de estado se hace de una manera bien definida.
Forma canónica controlable
Sabemos que la forma tı́pica de representar una ecuación diferencial de orden n es por la forma
canónica controlable y Variables de estado se obtienen de tal manera
Para la forma canónica controlable los bloques de los integradores estan unidos uno detras del
otro. Por lo tanto, similar a como se hizo para un caso general esta relación corresponde a lo
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siguiente
y =
⇒
ẏ =
⇒
ÿ =
x1
ẏ = ẋ1
x2 ⇒
ÿ = ẋ2
x3 ⇒
ẋ1 = x2
ẋ2 = x3
(2.149)
(2.150)
(2.151)
(2.152)
(2.153)
Finalmente, despejando de la ecuación diferencial (2.148) tenemos que
d3 y
dt3
ẋ3
= ẋ3
(2.154)
d3 y
⇒
= −20y − 24ẏ − 9ÿ + u
dt3
= −20x1 − 24x2 − 9x3 + u
(2.155)
(2.156)
Segun la función de transferencia (2.145), la ecuación de salida es
y = 3x1 + x2
(2.157)
De la variable de salida y podemos deducir la ecuación diferencial de orden n de la siguiente
manera
y = 3x1 + x2
ẏ = 3ẋ1 + ẋ2 = 3x2 + x3
ÿ = 3ẋ2 + ẋ3 = 3x3 + ẋ3
d3 y
= 3ẋ3 + ẍ3 = 3(−20x1 − 24x2 − 9x3 + u) − 20ẋ1 − 24ẋ2 − 9ẋ3 + u̇
dt3
= 3(−20x1 − 24x2 − 9x3 + u) − 20x2 − 24x3 − 9ẋ3 + u̇
(2.158)
(2.159)
(2.160)
(2.161)
(2.162)
Reorganizando en función de la asignación de la salida y en (2.158), (2.159) y (2.160) tenemos
que
d3 y
= −20(3x1 + x2 ) − 24(3x2 + x3 ) − 9(3x3 − ẋ3 ) + 3u + u̇
dt3
= −20y − 24ẏ − 9ÿ + 3u + u̇
Las ecuaciones de estado y la ecuación de salida se pueden expresar como
  

 

0
x1
0
1
0
ẋ1







x2 + 0  u
0
0
1
ẋ2 =
ẋ =
1
x3
−20 −24 −9
ẋ3
y = [3 1 0]x + 0 · u
(2.163)
(2.164)
(2.165)
(2.166)
El diagrama a bloques para esta forma tiene cierta forma estructurada que siempre corresponde
a una representación de este tipo.
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