2 potencias, raíces y logaritmos - Cardenal Spínola

2 POTENCIAS, RAÍCES Y LOGARITMOS
PA R A
1
2
3
Expresa las siguientes operaciones como un número decimal.
a) 2,5 107
b) 3,12 105
a) 2,5 107 25 000 000
b) 3,12 105 0,000 031 2
Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias.
23 45 34
a) —2—
(9) 63
52 153 32
b) —2—
(25) 302
23 45 34
23 210 34
210
a) 2
3 4
3
3 1
(9) 6
3 2 3
31
52 153 32
52 33 53 32
33
b) 2
2 2 2
2 5 4
(25) 30
5 5 3 2
5 22
Calcula las siguientes raíces.
a)
a)
4
E M P E Z A R
5
243
5
b)
5
35 3
243
b)
4
16
c)
4
no se puede.
16
c)
3
39
4
9
3
39 3 33 27
Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial para el suelo y los seres vivos cuando esta presenta un pH inferior a 5.
¿Qué concentración de iones H se corresponde con esta concentración del pH? Exprésalo en forma de
potencia y de número decimal.
1
1
1
pH log [H] ⇒ 5 log [H] ⇒ 5 log ⇒ 105 ⇒ [H] 5 105 0,00001
[H]
[H]
10
PA R A
P R A C T I C A R
Notación científica
2.1 Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas.
a) Masa del electrón: 1,67 1027 kg
b) Radio medio del Sol: 9,97 108 m
c) Tamaño de un virus: 0,000 000 000 235 m
d) Radio medio de la órbita terrestre: 1,49 1011 m
a) 27
b) 8
c) 10
d) 11
2.2 Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 12 345 678
c) 354 125 000 000
b) Sesenta billones
d) 0,0097 1023
a) 1,234 567 8 107
c) 3,541 25 1011
b) 6 1013
d) 9,7 1020
2.3 Escribe en notación científica estos números:
a) 0,000 000 000 331
c) 0,000 000 001 23
b) Cuarenta y tres milésimas
d) 967 1025
a) 3,31 1010
c) 1,23 109
b) 4,3 102
d) 9,67 1023
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.4 En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los múltiplos y submúltiplos de
las unidades de medida.
Expresa en notación científica y en microculombios la siguiente medida de carga eléctrica: 3 picoculombios
3 picoculombios 3 1012 culombios 3 1012 106 microculombios 3 106 microculombios
2.5 Expresa en notación científica y en la unidad indicada:
a) 320 miriámetros en centímetros
b) 6000 nanosegundos en milisegundos
c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios
d) 0,01 gigagramos en decigramos
a) 320 104 metros 320 104 102 centímetros 3,2 108 centímetros
b) 6000 109 segundos 6000 109 103 milisegundos 6 103 milisegundos
c) 1,75 108 103 kilovoltios 1,75 1011 kilovoltios
d) 102 109 gramos 107 10 decigramos 108 decigramos
2.6 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) 0,32 1014 7,128 1012
c) 4,88 1014 7,921 1012
b) 3,1109 1045 2244 1040
d) 36,79 1025 2244 1028
a) 0,32 1014 7,128 1012 32 1012 7,128 1012 39,128 1012 3,9128 1013
b) 3,1109 1045 2244 1040 3,1109 1045 0,022 44 1045 3,088 46 1045
c) 4,88 1014 7,921 1012 0,0488 1012 7,921 1012 7,9698 1012
d) 36,79 1025 2244 1028 3,679 1024 0,2244 1024 3,4546 1024
2.7 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) (1,65 106) (0,8 109)
c) (2,8 1026) (15 1043)
b) (22,1 1054) (8,4 100 000)
d) (2,3 1015) (4,5 1011)
a) (1,65 106) (0,8 109) 1,65 0,8 1015 1,32 1015
b) (22,1 1054) (8,4 100 000) 185,64 1059 1,8564 1061
c) (2,8 1026) (15 1043) 42 1017 4,2 1018
d) (2,3 1015) (4,5 1011) 10,35 1026 1,035 1025
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
Miria
Kilo
Hecto
Deca
——
Deci
Centi
Mili
Micro
Nano
Pico
Femto
Atto
1018
1015
1012
109
106
104
103
102
101
100
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
2.8 Realiza las siguientes operaciones en notación científica.
a) 2,3 1029 1029 512 102
b) (0,007 37 1019) : (1,1 1019)
c) 2,6 105 (3,2 104)2
d) 834 104 0,000 001 2 : (3 109)
a) 2,3 1029 1029 512 102 2,3 1029 5,12 1029 7,42 1029
b) (0,007 37 1019) : (1,1 1019) 7,37 1016 : (1,1 1019) 6,7 1035
c) 2,6 105 (3,2 104)2 2,6 105 1,024 107 2,589 76 105
d) 834 104 0,000 0012 : (3 109) 8,34 102 1,2 106 : (3 109) 8,34 102 4 102 4,000 834 102
PA R A
A P L I C A R
2.9 Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milímetros. ¿Cuánto ocuparían a lo ancho un millón de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milímetros, usando la notación científica, y luego, en la unidad adecuada.
Ocuparían aproximadamente 0,1 106 105 milímetros, es decir, unos 100 metros.
2.10 Rosa acaba de cumplir 16 años. ¿Cuántos segundos de vida suponen? Escribe ese número en notación
científica.
Cada año dura aproximadamente 365,25 días. Rosa tiene aproximadamente 365,25 24 60 60 segundos, es decir, 3,155 76 107
segundos.
2.11 El inventor del ajedrez pidió como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente. En total debía recibir 264 1 granos de trigo.
a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad.
b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior.
a) La cantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, más de 18 trillones. El orden de magnitud es 19.
b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 1015 kg, aproximadamente, o 3 1012 toneladas.
2.12 El número de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada apuesta costara 0,80 euros, ¿cuánto habría que gastar para rellenar todas las columnas posibles?
Habría que gastar 0,80 315 1,147 912 56 107 11 479 125,60 euros, unos 11,5 millones de euros.
2.13 La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 1024 kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330
gramos. ¿Cuántos botes harían falta para igualar el peso de la Tierra?
Harían falta 5,98 1024 : (330 103) 1,8 1025 botes, aproximadamente.
2.14 Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hematíes por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 litros de sangre, ¿cuántos hematíes tendrá?
Tendrá entre 4,3 106 5000 y 5,9 106 5000 hematíes, es decir, entre 2,15 1010 y 2,95 1010 hematíes.
2.15 La calculadora permite expresar números en notación científica. Investiga cuáles son sus límites, es decir, el mayor y el menor número que se puede expresar en notación científica usando la calculadora.
La respuesta depende del número de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores serán 9,999 999 999 1099 y 9,999 999
999 1099. Los valores más próximos a cero serán 9,999 999 999 1099 y 9,999 999 999 1099.
Potencias de exponente fraccionario. Radicales
PA R A
P R A C T I C A R
2.16 Escribe las siguientes raíces como potencias de exponente fraccionario.
5
a)
2
b)
25
7
1
5
a) 2 5
c)
228
d)
2—1—
8
2
b) 2 7
c) 2 2 214
4
d) 2
3
3
4
2.17 Escribe como potencia y calcula las siguientes raíces.
3
a)
212
c)
1012
b)
36
d)
1
——
10
a)
2
212 2 26 64
b)
2
36 3 33 27
2
1
6
3
12
2
1
3
c)
3
12 10 104 10 000
10
d)
3
12
1
3
104 0,0001
12 10
10
2.18 Calcula las siguientes potencias.
a) 160,5
c) 80,333…
b) 2560,25
d) 1000 0000,1666…
1
1
a) 160,5 16 2 16
4
1
3
c) 80,333… 8 3 8 2
1
4
b) 2560,25 256 4 256
4
6
d) 1000 0000,1666… 1000 000 6 1000 000
10
2.19 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes.
a)
5
a)
52, 53, 54
4
6
8
E j e r c i c i o
3
b)
2
b)
22, 23, 24
6
9
12
5
c)
74
c)
712, 716
78, 10
15
20
r e s u e l t o
2.20 Ordena de menor a mayor:
3
4
73, 75, 75.
Primero se reducen a índice común. En este caso, el mínimo común múltiplo de los índices es 12.
12
3
73 718
12
4
75 720
12
75 715
Ordenar las raíces es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El orden pedido es el siguiente.
4
3
75 73 75
2.21 Ordena los siguientes radicales de menor a mayor.
8
10
16
3
4
a)
213, 2
17, 223
a)
130
17
23
, 2
2136, 2
2115
213 2
b)
481 89
0 304, 100
100 00
0 000, 35 14 348
907 ⇒ 35 100
28
28
8
80
12
10
b)
80
3
16
80
12
⇒
16
8
35
, 100
, 28
10
13
223 2
217
4
12
4
3
2.22 Calcula las siguientes operaciones.
10
2 a) ——
5
b)
3
3
: 2
16
c)
27
—
—53— —
5
d)
24
2 : 5
5
5 27
9 3
250 4 2 c) 53 257 35
b) 16
d) 2 : 2 : 2 8 2
22 12
20 2 10
a) 5
5
3
3
3
5
5
4
5
4
5
3
4
4
e)
33 3
17
f)
—14— : 2000
e)
33 317 320 35
f)
1
1
14 : 2000
8000
20
c)
2
c)
2 2 2
3
3
4
4
4
3
3
3
2.23 Calcula las siguientes operaciones.
3
a)
(
2)
a)
(
2)
3
221 25 2
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
4
4
7
7
4
4
7
b)
(
32 )
b)
(
32 )
3
3
7
37 221 33 210 6
3
3
18
18
6
3
2.24 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
a) E mc 2, despeja c.
4
b) V —— r 3, despeja r.
3
E
a) E mc2 ⇒ c2 ⇒ c m
mE
4
3V
b) V r3 ⇒ r3 ⇒ r 3
4
3V
4
3
2.25 En las siguientes fórmulas, despeja la incógnita indicada.
1
a) v v0 t —— a t 2, despeja a.
2
b) (a x)2 b2 c2, despeja x.
1
1
2(v v0 t)
a) v v0 t a t2 ⇒ v v0 t a t2 ⇒ a
2
2
t2
2
2
b) (a x)2 b2 c2 ⇒ (a x)2 c2 b2 ⇒ a x c
b2 ⇒ a c
b2 x
PA R A
2.26 Los lados de un corral miden
2
y
32
A P L I C A R
metros. ¿Puede ser su área un número natural?
Sí, el área es 2 32
64
8 m2.
3
2.27 La razón de los lados de dos depósitos cúbicos de agua es ——, y los volúmenes son 1728 y 4096 metros
4
cúbicos, respectivamente. ¿Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razón de sus volúmenes y compárala con la de sus lados.
3
3
El lado del primer depósito mide 1728
12 metros. El lado del segundo mide 4096
16 metros. La razón es correcta.
3
1728
27
3
La razón de sus volúmenes es , el cubo de la razón de sus lados.
4096
64
4
2.28 El diámetro de un balón, expresado en centímetros, es un número natural. Si tiene un volumen de entre 13 y 17 decímetros cúbicos, ¿cuál es su diámetro?
3V
3V
4
El diámetro se calcula a partir de la fórmula del volumen. V r3 ⇒ r 3 ⇒ d 2 3 . Como el volumen está entre
4
4
3
13 000 y 17 000 cm3, el diámetro está entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones posibles, 30 o 31 cm.
2.29 Halla una fórmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total.
Dada la arista a, el volumen del cubo es V a3, y su superficie es S 6 · a2.
La fórmula pedida es V a3 S 3
.
6
2.30 Un alumno ha calculado los cuadrados de varios números de seis cifras. Ha obtenido los siguientes resultados.
a) 5 751 425 457 b) 816 302 041 c) 15 241 383 936 d) 6 195 264 100 e) 999 998 000 001 f) 1 000 468 054 756
Sin usar la calculadora, ¿podrías indicar los números en los que es seguro que el alumno se equivocó?
Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Por tanto, se equivocó en a).
Si el número tiene seis cifras, está en el intervalo [105, 106). El cuadrado estará en [1010, 1012), tendrá al menos 11 cifras y menos de
13. Por tanto, los números de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeños, y el del f) es demasiado grande.
Se puede comprobar que los números restantes son correctos: 15 241 383 936 123 4562 y 999 998 000 001 999 9992.
Operaciones con radicales
PA R A
E j e r c i c i o
P R A C T I C A R
r e s u e l t o
2.31 Calcula las raíces de los siguientes números decimales.
a)
0,81
a)
0,81
b)
0,81
c)
3
5
0,12
81
81
9
0,9
100
1
0
1
0
0
b) El índice es par y el radicando es negativo. No tiene raíces reales.
c)
3
5 0,12
1
1
1
3 0,5
8
2
8
3
125
1000
3
3
2.32 Calcula las raíces de los siguientes números.
a)
4
0,006
a)
0,0064
b)
64
8
0,08
10 000
100
…
0,111
b) 0,111…
19 13 0,333…
c)
44…
0,694
c)
4…
0,6944
2356 56 0,8333…
2.33 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
3
a)
23 35
57
b)
a5 b12
c7
a)
28 35 57 24 32 53 35
b)
a5 b12
c7 a b4 c2 a2 c
3
2.34 Extrae fuera de la raíz todos los factores posibles.
2 3
23
a)
2
3
5
5
a)
5
26 312
—2—
50
6
5
12
20
2
4
5
2
b)
2 4
2 2
2 2 2
8
2
4
28 45
——
83
8
b)
4
5
3
8
4
10
9
4
9
2
4
2.35 Introduce los factores dentro de la raíz y simplifica.
23 34
c) —— 5
27
a) 23 35 ab3
—
d) —2
c
13
a) 23 35 27 26 310
27 2
310
23 34
c) 5
4
a3
—3—3
bc
ab
a
aba
abc
c bc
c bc
3
4
b) 35 7 3 72 321 76
d)
511 2
—1—
30
b) 35 7 3 72
4
3
2
511 2
1
30
3
3
3
2 6 3
3 3
4 3 3
3 10
29 312 511 2
2 32
58
53 310
2.36 Realiza las operaciones indicadas.
3
4
6
a)
a2 a3 a5
a)
a2 a3 a5 a8 a9 a10 a27 a9
b)
3
4
23
7 3
4
b)
6
12
37 25
7
6
12
12
29
21 3
12
12
314 210
72
12
4
23
——7 3
6
37 25
——
7
4
12
219
7 3 72
2.37 Realiza las operaciones indicadas.
3
4
a)
x2y7 xy
b) ——
6
11 8
x y
3
3
2
—
3
32
2
4
23 3
a) 3
32
2
c)
29 33
24 38
3
6
6
c)
3 3 3 3 3
3
5
4
2
5
4
25
5
3
12
b)
2
4
12
x2y7 xy
6 11 8
y
x
4
3 3
4 14
y x3y3
x
6 11 8
x y
4
5
10
20
4
14
6
y9
4
x
10
7
2.38 Realiza las siguientes operaciones.
a)
3
3
8 5 2 200
d)
2 6 3 32
24
—58—
e)
50
3
b) 2 5
6
25
3
c)
80a2 20a4
2 5a
a)
2 2 5 2 10 2 7 2
8 5 2 200
3
6
b) 2 5 25
f) 10 18
72
— ——
—
4
25
3
3
5 0,003
0,024
58 25 5 12 5 32 5
3
3
3
3
3
c)
2 80a
2 20a
4 a 5 4a 5 2a2 5 (2a2 3a) 5
5a
d)
2 6 3 32
2 3 2 6 3 4 2 3 2 4 3
24
e)
50
3
3
3
3
148 7225 52 32 2 65 2 4170 2
3
3
2 3
1 3
5 3
f) 10 0,024
5 0,003
10 10 3 5 10 3 2 3
3
5 3
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2 3
2.39 Racionalizar una fracción es hallar otra equivalente sin raíces en el denominador. Racionaliza — y
5 5
7
—
.
5
72
En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo número, la raíz cuadrada que aparece en el denominador.
2 3
2 3 2
2 6
6
2 6
2 5 2
5 2 2
52
5 2
5
En el segundo, para eliminar la raíz de índice 5 necesitamos conseguir un exponente múltiplo de 5.
5
5
5
7 73
7 73
7 73
7
5
73
5
5 2
5
5
5
2
3
7
7
7
7 7
2.40 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ——
2
12
—
c) —
7
25
2
e) ——
3
5
2
b) ——
5 6
40
—
d) —
4
217
29
—
f) —
6
211
3
32
32
a) 2
2
2
2
7
12
12
22
12
22
c) 622
7 7
7
5
5
2
2
2
2 2
2
26
6
b) 56
56
15
40
4023
5
23
40
23
d) 5
4 4 2
4
220
217
4
7
4
4
4
PA R A
P r o b l e m a
2
235
30
e) 3
5
3
5
3
5
1
5
7
29
29 2
219
6
6 4
211
212
4
f)
4
6
12
A P L I C A R
r e s u e l t o
2.41 El profesor asegura que el número
(2 3
)(2 3) es entero. ¿Es posible?
Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente.
3
(3
) 4 3 1 1
)(2 3) 2
(2
2
2
En efecto, el resultado es un número entero.
2.42 Comprueba si el número siguiente es un número entero:
(4 2
2
2
).
2)(4
3
2
2)(4 22) 4 (2
16 8 8 2
2) (4
3
3
2
2
3
3
Es un número entero.
2.43 Víctor trata de obtener con su calculadora un número comprendido entre 1 y 2 partiendo de un número inicial y usando repetidamente la tecla
veces dicha tecla.
20 →
→ 4,472… →
→ 2,114… →
. Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres
→ 1,454… ¿Cuántas veces tendrá que hacerlo si empieza
en el número 300? ¿Y empezando en el 1000? Indica la operación realizada usando una sola raíz.
30
.
0 300
Para el número 1000, necesita también 4 pulsaciones. Obtiene 10
00
.
1000
Para el número 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene
16
16
2.44 Adivina un número a sabiendo que:
• Su raíz cúbica es mayor que 4.
• La raíz cúbica de su cuadrado es menor que 17.
• El número es un entero múltiplo de 10.
El número a cumple:
3
a 4 ⇒ a 64
3
a2 17 ⇒ a2 173 ⇒ a 173 70,09…
El número está en el intervalo (64, 70,09… ]. Como debe ser entero y múltiplo de 10, la solución es 70.
Logaritmo de un número
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.45 Utiliza la definición y las propiedades de los logaritmos para:
a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 log 25
b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 0,301.
a) log 40 log 25 log (40 25) log 1000 3
b) log 8 log 23 3 log 2 3 0,301 0,903
PA R A
A P L I C A R
2.46 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 10 000
c) log2 256
b) log3 81
d) log3 243
a) log 10 000 log 104 4
c) log2 256 log2 28 8
b) log3 81 log3 34 4
d) log3 243 log3 35 5
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.47 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,25
c) log4 2
b) log 0,001
d) log9 27
1
1
a) log2 0,25 log2 log2 2 log2 22 2
4
2
1
1
b) log 0,001 log log 3 log 103 3
1000
10
1
1
1
2
2
c) 4 22 ⇒ 2 4 4 ⇒ log4 2 log4 4 2
1
d) 9 32 ⇒ 3 9 9 2 ;
1 3
3
27 33 9 2 9 2
3
3
log9 27 log9 9 2 2
2.48 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 0,125
d) log 0,000 01
g) log16 64
b) log3 0,333…
2
c) log3 ——
54
e) log16 2
h) log8 4
f) log64 2
i) log4
2
1
a) log2 0,125 log2 log2 23 3
8
6
1
f) log64 2 log64 64
6
1
b) log3 0,333… log3 log3 31 1
3
4
3
4
g) log16 64 log16 26 log16 (16
)6 log16 16 2
2
1
1
c) log3 log3 log3 3 log3 33 3
54
27
3
3
2
h) log8 4 log8 22 log8 (8)2 log8 8 3 3
d) log 0,00001 log 105 5
i)
6
2
1
4
1
log4 2 log4 4 log4 4 4 4
1
4
1
4
e) log16 2 log16 16
log16 16 4
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.49 Conociendo los valores aproximados de log 2 0,301 y log 3 0,477, calcula los siguientes usando las
propiedades de los logaritmos.
a) log 24
b) log 5
a) log 24 log (23 3) log 23 log 3 3 log 2 log 3 3 0,301 0,477 1,38
10
b) log 5 log log 10 log 2 1 0,301 0,699
2
2.50 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior.
a) log 36
9
d) log ——
24
g) log 75
b) log 64
e) log 20
h) log 0,2
2
c) log ——
3
f) log 150
i) log 0,8333…
a) log 36 log (22 32) log 22 log 32 2 log 2 2 log 3 2 0,301 2 0,477 1,556
b) log 64 log 26 6 log 2 6 0,301 1,806
2
c) log log 2 log 3 0,176
3
9
3
d) log log log 3 3 log 2 0,426
24
8
e) log 20 log (2 10) log 2 log 10 0,301 1 1,301
3 100
f) log 150 log log 3 log 100 log 2 2,176
2
3 100
g) log 75 log log 3 log 100 2 log 2 1,875
4
2
h) log 0,2 log log 2 log 10 0,301 1 0,699
10
5
10
i) log 0,8333… log log log 10 log 12 1 (2 log 2 log 3) 0,079
6
12
2.51 Emplea la fórmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos.
a) log3 2
c) log3 32
e) log2 30
b) log2 9
d) log2 10
f) log8 2
log 2
0,301
a) log3 2 0,631
log 3
0,477
log 9
log 32
2 log 3
2 0,477
b) log2 9 3,169
log 2
log 2
log 2
0,301
log 32
5 log 2
c) log3 32 3,155
log 3
log 3
1
log 10
d) log2 10 3,322
0,301
log 2
log 30
log 3 log 10
e) log2 30 4,907
log 2
log 2
log 2
log 2
log 2
1
f) log8 2 3 log 8
log 2
3 log 2
3
2.52 Calcula las siguientes operaciones.
a) log3 7 log7 3
c) log7 (log3 (log2 8))
b) log3 5 log5 9
d) log4 (log2 (log3 (10 log 10)))
log 7 log 3
a) log3 7 log7 3 1
log 3 log 7
log 5 log 9
log 32
2 log 3
b) log3 5 log5 9 2
log 3 log 5
log 3
log 3
c) log7 (log3 (log2 8)) log7 (log3 (log2 23)) log7 (log3 3) log7 1 0
d) log4 (log2 (log3 (10 log 10))) log4 (log2 (log39)) log4 (log2 2) log4 1 0
E j e r c i c i o
r e s u e l t o
2.53 Sabiendo los valores de log a 0,5 y log b 0,3, calcula log
Usando las propiedades de los logaritmos,
log
3
a2 b
——.
10
3
a2 b
1
a2 b
1
log (log (a2 b) log 10) 10
10
3
3
1
1
(log a2 log b 1) (2 log a log b 1)
3
3
Se sustituyen los valores dados.
log
3
a2 b
1
1
(2 0,5 0,3 1) 0,3 0,1
10
3
3
a
2.54 Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log ——.
100b3
1
a
1
1
log 3 log a log 100b3 log a 2 (log 100 log b3) log a 2 3 log b 0,5 2 3 0,3 2,65
100b
2
2
PA R A
A P L I C A R
2.55 Antes de la invención de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos para operar con números grandes. En la tabla figuran algunas potencias de 2.
Exponente
0
1
2
3
4
Valor
1
2
4
8
16
Exponente
5
6
7
8
9
32
64
128
256
512
Valor
Exponente
Valor
10
11
12
13
14
1024
2048
4096
8192
16 384
Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, para calcular 32 64 buscaban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y buscaban en la tabla el número correspondiente (2048).
Calcula, usando esa tabla, 16 128 y 16 384 : 256.
Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto, se suman los exponentes (11) y se busca el valor correspondiente, 2048.
Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valor
correspondiente, 64.
2.56 Si log 2 0,301, ¿cuánto valdrá log 20? ¿Y log 200? ¿Y log 2000? ¿Qué número tendrá por logaritmo 8,301?
Como 20 2 10, log 20 log 2 log 10 log 2 1 1,301. De la misma forma, log 200 2,301, log 2000 3,301, y así sucesivamente. El número 8,301 se descompone como la suma de 8 (log 108) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el logaritmo de 2 108.
2.57 Halla el valor de x en la siguiente expresión, aplicando las propiedades de los logaritmos.
log (x 1)2 6
log (x 1)2 6 ⇒ 2 log (x 1) 6 ⇒ log (x 1) 3 ⇒ x 1 103 1000 ⇒ x 1000 1 999
2.58 ¿Qué relación hay entre el logaritmo de un número y el de su inverso?
1
log log 1 log a 0 log a. Son opuestos.
a
1
2.59 Escribe como un único logaritmo la siguiente expresión: 3 log a —— log b 1 5 log c.
2
1
1
a3 b 10
a3 b 2 10
2
log 3 log a log b 1 5 log c log a3 log b log 10 log c5 log 5
2
c5
c
1
M AT E M Á T I C A S
A P L I C A D A S
PA R A
A P L I C A R
2.60 Calcula la intensidad de los siguientes sonidos.
a) Música a mucha potencia: 6,4 Pa
b) Martillo neumático: 1,1 Pa
6,4
a) Np 20 log 110,10 db
2 105
1,1
b) Np 20 log 94,81 db 94,81db
2 105
2.61 Busca información sobre la escala de Ritcher. ¿Qué magnitud mide? ¿Mediante qué fórmula? ¿Se trata
de una escala logarítmica?
La escala de Richter mide la energía desprendida en un terremoto.
La fórmula que emplea es M log A 3 log (8 t) 2,92, siendo A la amplitud (en mm) de las ondas tipo S y t el tiempo, en
segundos, transcurrido entre la aparición de ondas tipo P y tipo S. Es por tanto una escala logarítmica.
A C T I V I D A D E S
F I N A L E S
PA R A
P R A C T I C A R
Y
A P L I C A R
2.62 Escribe en notación científica estas cantidades.
a) 0,000 000 007 71
b) 0,000 041
c) 992 600 000 000
d) 4 840 000 000
a) 0,000 000 007 71 7,71 109
c) 992 600 000 000 9,926 1011
b) 0,000 041 4,1 105
d) 4 840 000 000 4,84 109
2.63 Escribe correctamente en notación científica:
a) 887 105
b) 5785,46 108
c) 0,005 2 1012
d) 0,004 1024
a) 887 105 8,87 107
b) 5785,46 108 5,785 46 105
c) 0,0052 1012 5,2 109
d) 0,004 1024 4 1027
2.64 En una muestra hay 5,23 106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5 1010 gramos. ¿Cuál es el peso
total?
5,23 106 2,5 1010 1,3075 103 gramos.
2.65 Escribe tres raíces equivalentes a cada uno de los siguientes números.
2
——
7
a)
34
a)
34 38 312 316
7
14
21
28
2.66 Ordena de menor a mayor
5
c) 8 3
b) 5
30
3
5
27,
30
42
27 2
4,4 1
012;
6
2
4
b) 5 52 53 54
3,
3
c) 8 3 4 42 24 26
6
.
32
30
30
3 330 2 1014,
6
30
30
3,3 1
07
225 32
5
El orden es 32
27 3.
2.67 Calcula las siguientes raíces.
a)
576
b)
1
0,008
a)
6
32 23 3 24
2
576
b)
0,0081
81
9
0,09
10 000
100
c)
…
1,777
c)
1,777…
c)
196 43
2.68 Extrae de la raíz todos los factores posibles.
a)
a)
5
5
23
b) 4
3
c)
x12y54
—1—
z 00
23
b) ——4
3
320 210
——
56
x12y54
x2y10 5 2 4
1
xy
00 20
z
z 6
24 6 2 4
24 3
320 210
23 33 2 6 2 4
3 2 3 2 3 22
6
4 5
3 5
35
35
3
6
45 64 3
182
3
3 12
3
210 24 34 3
2 3 24 3
22 34
3
45 64 3
——
182
2.69 Realiza las operaciones indicadas.
a3 a
—
b) —
3
2
a
4
8
6
a)
2 3 2 3
a)
25 36 29 35 215 318
236 320 251 338
5
6
8
9
5
6
24
4
2
3
c)
4
3
24
a3 a
12 7
a9a6
b) 12 a
3 2
8 a
a
c)
2 3
4
3
8
324
23 2
2.70 Realiza las operaciones indicadas.
3
8
—
—
54
12
33
75
c)
25 9 b) 52
48 1018
d)
…
36 20 0,125
0,222
a)
a)
b)
3
12
33 53 23 33 63
75
52 48 1018
52 82 302 172
584 24 9247 24 93 4 4
2
1
1
20
d) 0,222…
36 20 0,125
9 36 20 8 3 2 36 4 2 72
c)
3
25 9 3
3
3
3
3
3
2.71 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 100 000
b) log5 625
c) log7 343
a) log 100 000 log 105 5
b) log5 625 log5 54 4
c) log7 343 log7 73 3
a) log2 0,125
c) log81 3
e) log1000 10
3
b) log4 ——
48
d) log25 5
f) log1000 100
2.72 Calcula los siguientes logaritmos.
1
a) log2 0,125 log2 log2 23 3
8
1
d) log25 5 log25 25
2
3
1
b) log4 log4 log4 42 2
48
16
3
1
e) log1000 10 log1000 1000
3
4
1
c) log81 3 log81 81
4
3
2
f) log1000 100 log1000 102 log1000 1000
2 3
2.73 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias.
25 34
b) log ——
76
a) log (25 37)4
a) log (25 37)4 log (220 328) log 220 log 328 20 log 2 28 log 3
25 34
log (25 34) log 76 5 log 2 4 log 3 6 log 7
b) log 76
c) log
4
a
a
log b
b
1
1
log a log b
4
2
c) log
a
——
b
2.74 Calcula los siguientes logaritmos.
b) log3 (log2 (10 log 0,01))
a) log2 (log 10 000)
a) log2 (log 10 000) log2 4 2
b) log3 (log2 (10 log 0,01)) log3 (log2 (10 2)) log3 (log2 8) log3 3 1
2.75 Expresa en metros las siguientes medidas usando la notación científica.
c) 26 1012 hectómetros
d) 3 trillones de nanómetros
a) 3 millones de kilómetros
b) Una millonésima de milímetro
a)
b)
c)
d)
3 millones de kilómetros 3 106 kilómetros 3 109 metros
Una millonésima de milímetro 106 milímetros 109 metros
26 1012 hectómetros 26 1012 102 metros 2,6 109 metros
3 trillones de nanómetros 3 1018 nanómetros 3 1018 109 metros 3 109 metros
2.76 El factorial de un número se define:
n! n · (n – 1) … 2 1
Por ejemplo:
6! 6 5 4 3 2 1 720
Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes números factoriales.
a) 15!
b) 25!
c) 40!
a) 15! 1,3 1012; orden 12
b) 25! 1,55 1025; orden 25
c) 40! 8,159 1047; orden 47
2.77 En la siguiente fórmula, despeja cada una de las variables que aparecen.
1
x3 ——2 y
144424443
3
1
x3 2 z2 1 ⇒ x y
3
1
x3 2 z2 1 ⇒
y
3
z2 1
1
2 y
3
3
z2 1
1
x 1 z
3
1
x3 1 z2 2 ⇒ y y
1
3
z2 1 x3 2 ⇒ z y
3
3
2
1
1 x
y
3
3
2
2.78 Cualquier número natural se puede expresar como suma de un máximo de cuatro cuadrados perfectos.
Esto nos permite representar la raíz cuadrada de cualquier número usando el teorema de Pitágoras.
–1
0
1 √2 √ 3 2
3 = 12 + 12 + 12
3
Descompón en suma de cuadrados los siguientes números e indica cómo se representarían sus raíces cuadradas.
a) 41
b) 27
c) 31
a) 41 52 42. Para representar la raíz se construye el triángulo rectángulo de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide 41
.
b) 27 52 12 12. Se representa primero 2, usando dos catetos de longitud 1, y después se usan como catetos 2 y 5.
c) 31 52 22 12 12. Como en el ejemplo anterior, se representa primero 2, después 6 y por último 31
.
2.79 ¿Cuántas cifras puede tener la raíz cuadrada de un número de seis cifras? ¿Y la raíz cúbica?
105 x 106 103, y la raíz cúbica cumple que
Como 103 5 x 1036, la raíz cuadrada cumple que 316,2 5
6
46,4 10 x 10 100. Por tanto, la raíz cuadrada tiene tres cifras, y la raíz cúbica tiene dos.
2.80 Considera las fórmulas del área y del volumen de una esfera de radio r y, a partir de ellas:
a) Halla una fórmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo su volumen.
b) Halla la fórmula que da la longitud de la circunferencia máxima en función del volumen.
4
Las fórmulas a utilizar son L 2r, S 4r2, V r3.
3
4
1
1
3V
a) V r3 (4r2) r S r ⇒ S 3
3
3
r
4
2
2
3V
b) V r3 (2r) r2 L r2 ⇒ L 2
3
3
3
2r
2.81 Una hoja de papel tiene 0,01 milímetros de grosor. Se dobla ese papel por la mitad, se vuelve a doblar,
y así sucesivamente.
Utilizando logaritmos, ¿podrías indicar cuántos dobleces harían falta para obtener un grosor de 100
metros?
Como 100 metros son 100 000 milímetros, se trata de hallar el primer valor natural para el que 0,01 2x 100 000, donde x indica
el número de dobleces.
7
0,01 2x 100 000 ⇒ 2x 107 ⇒ log 2x log 107 ⇒ x 23,25.
log 2
Hay que realizar un mínimo de 24 dobleces.
PA R A
R E F O R Z A R
2.82 Escribe los siguientes números empleando notación científica.
a) 0,000 000 000 235
b) 5 480 000 000 000
a) 0,000 000 000 235 2,35 1010
b) 5 480 000 000 000 5,48 1012
2.83 Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado.
a) (3,5 1015) (1,2 107)
d) (2,67 1043) : (1,4 1033)
b) (2,24 1015) (3 1020)
e) (5,78 1021) : (2,22 1025)
c) (2 1023) (1,55 1030)
f) (9,93 107) : (3,12 107)
b) Orden 35
a) Orden 22
c) Orden 7
d) Orden 10
e) Orden 4
f) Orden14
2.84 Despeja x en cada ecuación.
a) a x2
c) 42 x3
b) 125 x3
d) x3 24
a) a x2 ⇒ x a
c) 42 x3 ⇒ x 42
3
3
b) 125 x3 ⇒ x 125
5
d) x3 24 ⇒ x 21
3
4
2.85 Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raíz y calcula:
a) 320,2
25
——
c) 625 100
b) 10000,666…
1
5
a) 320,2 32 5 32
2
2
3
b) 10000,666… 1000 3 10002 100
5
2
1
4
c) 625 100 625 4 625
5
2.86 Reduce a índice común y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.
12
15
27
12
18
29
180
2105
27 15
213
180
2108
29 18
180
2130
213 2.87 Calcula las siguientes operaciones.
a) 32
72 42
1
b) —— 20
2
445
75
a) 32 72 42 (3 7 4)2 02 0
1
1
75 445
b) 20
2 25 53 4 35 115 53
2 2.88 Expresa como un único radical:
a) 56
45
d) —
3
b) 23
72
e)
3
4
2 2
6
c)
3
3 5
f) ——
3
4
3
5 6
52 6
a) 56 45
d) 15
3
b) 23 72 146 142 6
e)
24 23 27
2 2 f)
3 5 3
4
3
4
12
6
c)
3
3
3
5 6 30
12
6
33 5
42
2.89 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log4 256
c) log 10 000 000
b) log2 1024
d) log37 1
a) log4 256 log4 44 4
c) log 10 000 000 log 107 7
b) log2 1024 log2 210 10
d) log37 1 0
2.90 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log 0,1
3
c) log2 ——
192
b) log5 0,04
d) log2 (0,57)
a) log 0,1 log 101 1
3
1
c) log2 log2 log2 26 6
192
64
1
b) log5 0,04 log5 log5 52 2
25
d) log2 (0,57) log2 27 7
2.91 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log1 000 000 100
c) log4 8
b) log36 6
d) log8 4
3
1
a) log1 000 000 100 log1 000 000 1 000 000
3
3
c) log4 8 log4 23 log4 (4)3 log4 4 2 2
1
b) log36 6 log36 36
2
3
2
d) log8 4 log8 (8)2 3
3
PA R A
A M P L I A R
k
2.92 Estudia el método empleado para racionalizar fracciones de la forma —— .
a b
1
a) Comprueba que la fracción —— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
3 2
por 3
2.
1
b) Comprueba que la fracción —— se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador
6 2
por 6 2
.
1 (3 2)
3 2
1
3 2 a) 3 2
2
2
32
(
3
)
(
2
)
3 2 (3 2)(3 2)
1
6 2 6 2
6 2
b) 62
4
(
6
2
)(
6
2
)
6
2
2.93 Racionaliza las siguientes fracciones.
3
a) ——
7 3
c)
2
——
23
2
2
b) ——
3 2
d)
5
——
8 22
3(7 3)
3
3(7 3)
3(7 3)
a) 7
3
4
(
7
3
)(
7
3
)
7 3
2(3 2)
2
6 4
b) 6 2
32
3 2 (3 2)(3 2)
2(23 2)
2
2(23 2)
23 2
c) 4
3
2
5
(23 2)(23 2)
23 2
5(8 22)
5
5(8 22)
d) 56
(8 22)(8 22)
8 22
2.94 Un mago te pide que elijas un número de dos cifras y lo eleves al cubo. Cuando le dices el resultado,
lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el número original. ¿Cómo lo hace? Copia y completa
la tabla, a ver si lo descubres.
Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en la última cifra: 3, e inmediatamente indica la raíz cúbica, 47.
Halla por este método las siguientes raíces cúbicas.
a)
3
824
13
a) 24
b)
3
112
195
b) 58
c)
3
441
531
c) 81
El mago averigua la raíz cúbica en dos pasos.
En el primer paso, el mago busca en la cuarta columna de la tabla la última cifra del cubo, 3, la columna vecina le proporciona la
cifra de las unidades de la raíz cúbica: 7.
En el segundo paso, el mago localiza en la tabla el intervalo al que pertenece el cubo, en el caso de 103 823 está en [64 000,
125 000), así la columna vecina le da la cifra de las decenas de la raíz cúbica: 4.
De este modo, ya tenemos la raíz cúbica: 47.
PA R A
I N T E R P R E TA R
Y
R E S O LV E R
2.95 Crecimiento de poblaciones
Ana y Juan están estudiando el crecimiento de la población de un cultivo de microorganismos y deben elegir, entre los siguientes modelos matemáticos:
• El modelo A utiliza como dato el aumento de la población en una semana, que es del 84%.
• El modelo B utiliza el crecimiento de la población en un día.
• El modelo C considera el crecimiento en una hora.
Se denomina P0 la población inicial, y t, el tiempo en semanas, días u horas, según corresponda.
a) Comprueba, dando valores, que la siguiente es la fórmula del modelo A: P P0 1,84t.
b) Escribe las fórmulas de los modelos B y C.
c) Compara los resultados proporcionados por cada modelo para el caso P0 1000 y t 2 semanas.
a) En una semana: P P0 1,84
En dos semanas: P P0 1,842 P0 3,3856
b) El modelo B: P P0 1,097t
El modelo C: P P0 1,0036168t
c) Los resultados son iguales:
Modelo A: P P0 1,84t 1000 1,842 3386,6
Modelo B: P P0 1,097t P0 1,0972 P0 (1,097)2 P0 1,842 1000 1,842 3386,6
Modelo C: P P0 1,0036168t P0 1,00361682 P0 (1,0036168)2 P0 1,842 1000 1,842 3386,6
2.96 Ácidos y bases
El pH de una disolución se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de iones
hidrógeno expresada en moles/litro: pH log [H].
Por ejemplo, si la concentración de iones hidrógeno de una disolución es [H] 4 108 mol/L:
pH log (4 108 ) log 4 log 108 log 4 8 7,4.
Si el pH es 7, la disolución se considera neutra; si es inferior a 7, ácida, y si es superior, básica.
Copia y completa la tabla de la ilustración y ordena las disoluciones de menor a mayor acidez.
[H]
Disolución
pH
1,26 1013
Lejía común
7,94 10
Amoníaco
12
108
Agua de mar
10
Leche
3,16 10
Vinagre
1,26 103
4 10
Ácido clorhídrico
11,1
8
7
Agua
Zumo de limón
12,9
7
7
3
1
6,5
2,9
2,4
0
A U T O E VA L U A C I Ó N
2.A1 Escribe usando notación científica las siguientes expresiones.
a) 24,3 billones
c) 3 220 000 107
b) 47 diezmilésimas
d) 45,2 1027
a) 2,43 1013
c) 3,22 1013
b) 4,7 103
d) 4,52 1026
2.A2 Calcula las siguientes operaciones usando notación científica.
a) 25 000 000 48 000 000
c) 42 000 000 0,000 09
b) 0,000 000 12 0,000 007
d) 3 600 000 : 0,000 004
a) 1,2 1015
c) 3,78 103
b) 8,4 1013
d) 9 1011
2.A3 Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una única raíz.
2
——
3
——
a) 2 3 2 2
c)
2
——
5
1
——
5
b) 30,333… 3
2
3
3
2 7
d) 3 :
2 3
2
a) 2 3 2 2 2 3
2
3
1
6
2 6 213
1 2
5
b) 30,333… 3 5 3 3
1
1
c)
4
33
3
3
——
3
6
3
55, 5
12
3
12
6
3
f)
2
e)
3
f)
25
1
15
3 15 311
4 3
20 4
20 15
20 11
1
d) 3 5 : 3 3 : 3 3 20
311
2.A4 Ordena de menor a mayor los siguientes números.
54,
6
23 72
2 7 e)
12
4
5 54 5 59 55 510
3
8
6
5
2.A5 Realiza las siguientes operaciones cuando sea posible.
4
a)
4096
c)
000
250
b)
12
—
—
324
d)
000
125
a)
212 23 8
4096
c) No es posible, el radicando es negativo y el índice, par.
b)
12
1
1
324 27
3
d)
3
4
3
4
3
3
3
3
125 000
23 56 2 52 50
2.A6 Realiza las operaciones indicadas.
a) 232
598
8200
b)
3
1
3
3
27a4 5a 8a
—a— 1000a
7
3
a) 232
25 52
72 82
52 2 222 5 72 8 2 52 1232
598
8200
2
b)
3
1
3
3
3
3
1
3
3
27a4 5a 8a
1000a7 3aa 10aa 10a2a 3aa
a a
2.A7 Calcula los siguientes logaritmos.
a) log2 512
1
c) log2 ——
8
b) log 100 000 000
d) log36 6
a) log2 512 log2 29 9
1
1
c) log2 log2 3 log2 23 3
8
2
b) log 100 000 000 log 108 8
1
d) log36 6 log36 36
2
2.A8 Sabiendo que log 2 0,301, calcula los siguientes logaritmos.
a) log 16
b) log 40
5
c) log ——
4
a) log 16 log 24 4 log 2 1,204
b) log 40 log (4 10) log 4 log 10 2 log 2 1 1,602
5
10
c) log log 5 log 4 log log 22 log 10 log 2 2 log 2 1 3 log 2 0,097
4
2
2.A9 Un cubo tiene un volumen de 2 metros cúbicos. Calcula su superficie, expresando el resultado mediante
radicales.
3
3
V a3 2 ⇒ a 2 ⇒ S 6a2 6
22 m2
2.A10 Una especie duplica su población cada año. Si la población inicial era de 100 individuos, ¿cuántos años
pasarán hasta que se supere el millón?
Llamando t al número de años, hay que resolver:
4
100 2t 1 000 000 ⇒ 2t 10 000 ⇒ log 2t log 10 000 4 ⇒ t 13,28. Pasarán 14 años.
log 2
E N T R E T E N I D O
La matrícula del taxi
Cuando Ramanujan enfermó, Hardy iba a verle al hospital. Un día, le comentó que había llegado en un taxi de
matrícula 1729, un número que Hardy calificó de soso.
Ramanujan le contestó inmediatamente:
—Es un número muy interesante. Es el número más pequeño que se puede expresar como suma de dos cubos
de dos maneras diferentes.
Comprueba que Ramanujan tenía razón.
Cada número natural parecía ser amigo personal de Ramanujan. Además, debía saberse de memoria los cubos de unos cuantos números.
Efectivamente:
1729 103 93
1729 123 13
Otros números que cumplen esto:
(9, 15) y (2, 16)
(15, 33) y (2, 34)
(16, 33) y (9, 34)
(19, 24) y (10, 27)
Es decir:
93 153 23 163 4104
153 333 23 343 39 312
163 333 93 343 40 033
193 243 103 273 20 683
Ramanujan tenía razón… 1729 no es un número soso.