Teoría de la predicción de procesos estocásticos estacionarios

ESTADISTICA ESPAÑOLA
Núm. 98, 1983, págs. 89 a 138
Teoría de la predicción de procesos estocásticos
estacionarios
por FRANCISCO JAVIER URBEL^ IBARROLA
Catedrático de Estadfstica. Actuario
Universidad de Santander
RESU MEN
La teoria de la predicción puede ser estudiada bien en el dominio dei
tiempo construyendo modelos maternáticos, o bien por análisis espectral en
el dominio de la frecuencia.
Los modelos matemát icos son determi nistas o estocásticos . Am bos han
sido extensarnente estudiados, pero el modelo estocástica entraña dificultades maternáticas técnicas.
La elección de un modelo es muy subjetiva «en el dominio del tiempo» y
es bastante complicado, pero en el dominio de la frecuencia, cuando la
función de densidad espectral es conocida, entonces es muy fácil encontrar
la forma lineal de la predicción.
E1 trabajo es tratado con rigor y se divide en dos pdrtes cuando el proceso es de parámetro discreto o de parámetra continuo.
E1 autor estudia la predicción teórica de los procesos estocásticos estacionarios «en el dominio de la frecuencia», cuandv se conoce la función de
densidad espectral de tipo racivnal. El ha desarrollado la forma general e
importante de las caracteristicas especirales de extrapolación y sus propiedades se describen en forma de determinantes.
EST,aDlS^TIC,A k;SF'ANOt.A
Se han derivado un gran número de ejemplos sobre una base rigu^-atiamente matemática.
Los modelos econométricos, como los procesos de promedios móviles,
autorregresivos, a de Markov, tienen funció^ de densidad espectral y si
canocemus la furma de est^a función de densidad, la predicción del futuro
puede basarse sobre el conocimiento del pasado y la predicción será cíptima.
Es muy difícíl la predicción del futuro cuando ios procesos estacásticos
san de parámetro continuo. En estos casos, las fórmulas son complicadas,
y para la mejor predicción lineal son derivadas a cornbinadas con integrales
del proceso que se estudia.
Palahrus rluve: Análisis espectral, procesos estocásticos, extrapolación o
predicción, espacio de Hilbert.
NnTAC'iON ES U T[ L[ZADAS MAS 1 M PQRTAN TES
Conjunto paramétricotiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ldem de tiempo discreto ........ . ... .. ............
Idem de tiempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Proceso estocástico estacionario . . . . . . . . . . . . . .. . .. .
Proceso estocástico estacionario conjugado . . . . . . . . .
Covarianza estacionaria o también autocovarianza . ..
Covarianza mutua estacionaria de dos procesos {^(t),
i1(t), tE T} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Varianza del proceso estrxástíco estacionario representada por B(0} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simt^olos
S ign ific ado
{t}
{t}
{t}
"^
^(t )
B(h )
r E "T
tF Z
t ER
E`(t) = U
F.^,(t)=0
^(t + hl ^(t)
B^n(h)
^( t + hl ^1(t )
EI^(r)^^
lí ^{t)l!
^
,
^^
Función de densidad espectral ('r, E R) . . .... . ... .. .
x_
g(t)e -,^.r dt
_x
- x_
Función de densidad espectral a. E ( --n , +n ) . . . . . . . .
f'(}. )
1
2n
^ g(n^-;r.n
^
n^ -x
Producto escalar o producto ínterno del proceso
^(t + m) y del prceso ^(t), que cuincide con la fun-
ción de covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
[ ;(t + rn ), ^(t ))
^(t + m)^(t)
Observación importante: E1 símbolo E es el utilizado en Estadística para designar la
esperanza matemática de una variable aleatc^ria.
1.
I N TROD UCC 1 ON
l.l.
EI presente trabajo está dedicado a conocer algunas de las aplicacianes del
Análisis Espectral de las series temporales estacionarias.
"1'EORIA hE t_A NREDICCION DE L.C)S I'R(X'^:SUS EST^(K`AS^TICOs NsTA('IONAltlO^
y^
Brevemente, de manera simple y a la vez rigurosa, exponem^s la Teuría de la
Extrapolación (predicción) ^uru ^^rc^c•^svs ^stc^c•ústic•c^s c^stuc^ic^nuric^s.
Los fundamentos básicos del desarrollo de esta teoría se encuentran en la.s obr'as de
Wiener, Kolmogorov, Doob, Yaglom, Ruzanov, etc. , y exclusivamente ded ico el capítulo Vlll de mi tesis doctoral ' al tema «lnterpolación, Extrapolación y Filtra^je», deduciendo fórmulas generales áptimas para extrapolar (o predecir) cuando se conoce el tipo
de función de densidad espectral según sea el proceso estocástico de parámetro (tiempo)
discreto o continuo. Casos particulares de nuestras fórmulas concuerdan con ejemplos
deducidos directamente por Wiener y Yaglorn.
1.2. En un pequeño apéndice se exponen las representaciones espectrales de los
procesos estocásticos y las funciones de covarianza,
así como las fórmula.s de las funcio,
nes de densidad espectral y que el lector interesado puede completar estos conocimientos
con la bibliografía expuesta al tinal de este artículo.
1.3.
Para comprender mejor los conceptos he creído conveniente la previa introd uc-
ción de unas breves ideas sobre extrapolación, interpulación y filtraje, completada.s con
ejemplos aclaratorios de tipo lineal estudiados en el dominio del tiempo. Estimo los
parámetros y deterrnino las varianzas residuales de los errores de los casos propuestos.
Estas consideraciones son el fundamento intuitivo para aplicar el Espacio estocástico
de Hilbert 2 con carácter general a la «Teoría de la Extrapolación Lineal» de los
procesos estocásticos de tipo estacionario y establecer las ecuaciunes espectrales lineales
que debe cumplir el predictor lineal óptimo.
La extrapolación lineal está relacionada íntimamente con la caracteristica espectral de
la extrapolación lineal y ésta con la función de densidad del proceso estocástico.
1.4. Nuestro trabajo se centra en las predicciones de tipo lineal por las razones
siguientes: La primera, la sencillez de cálculo. La segunda, más científica, es que todo
proceso estocástico se considera como familia de variables aleatorias; y si la ley del
pruceso fuese normal, la esperanza de la componente a predecir en el tiempo t + m(m> ^0)
está condicionada por los valores del proceso en distintos momentos del tiempo
precedentes y la esperanza rnatemática condicionada a estos valores que minimiza la
varianza residual es de tipo lineal y, además, sigue la ley normal.
El pdrámetro t(tiempo) o{t ET} conjunto índice asociado a un proceso estocástico {^(t), t E T} determina una clasificación del proceso en discreto o continuu. Estos dos
1.5,
' Arrúlisis esp^c•trul d^ t^rvc^sc^s ^stc^ccístic^c^s E^stuc•ionuric^s. Tesis presentada en la Facultad de
Ciencias Económicas y Empresariales de Bilbao en 1y77.
`' Ver mi trab^jo Aplic•uciones d^! espucio de Hilbert u la ^stadísticu. iN E, 3.`'^ trimestre, 1981.
ESTADISTICA E.SF>AÑULA
92
casos son los que estudíamos: generalmente, las observaciones experimentales se recogen
en datos equidistantes del tiempo o de manera continua.
A los procesos estocásticos de tipo discreto suelen denominarse suCesiones estacionarias 3, pero nosotros los denominaremos pracesos de parámetro discreto.
La distinción de los procesos estocásticos estacionarios de tipo discreto o continuo es
necesaria porque la metodología y fas fórmulas de extrapolación difieren sustancialmente.
l.b. En el caso de tiempo discreto, para obtener la mejar fórmula de exirapolación
lineal aplico la geametría de Hilbert y sigo en gran parte a Yaglom, trasladando al campo
complejo las ecuaciones espectrales que debe cumplir la «caracierística espectral de la
extrapolación». He deducido fórmulas muy generales para la obtención de esta característica espectral de la extrapolación y, en consecuencia, también para el predictor lineal
óptimo si las funciones de densidades espectrales son de alguno de los típos e5tudiados.
1.7. Si se conociese la función de densidad espectral de un proceso estocástico
estacionario del tipo discreto {t E Z}, la predicción [ineal óp:ima puede ser:
a^ Uiilizar solamente n valores de la historia pasada no mejorando la estimación de
la predicción aunque se poseyera más información ( procesos Markovianos).
b)
Utilizar toda la historia o parte de ella para predecir el valor en el tiempo t+ m
(m >^ 0) dependiendo de m y de la función de densidad espectral cuancio se precise
toda o parte de la información pasada.
c)
Utilizar siempre toda la historia pasada.
La función de densidad espectral se la supone racional en ^^^ porque los modelos
autorregresivos, de medias móviles y mixtos, tan utilizados en Econometria, sus densidades espectrales son racionales en e^^ .
Esto nos permite dedicar una atención preferente a las funciories de densidad racionales en P'^ porque, en definitiva, si conocemos su forma, el proceso pertenecerá a uno de
los modelos indicados.
1.8.
En el caso de parámetro t continuo, la mejor fórrnula de predicción lineal de
procesos estocásticos estacionarios se basa en la resolución de la ecuación integral de
Wiener-Hopf que, en el dominio de la frecuencia, traslada al campo complejo, nos da la.s
condiciones que deben reunir las funciones caracteristicas espectrales. Hemos deducido
fórmulas muy interesantes generalizadas para referida función y, en consecuencia, para
3 Kolmogorov, A. N.: Sucesiones estacio ^rarias en los espacios de Hilbert. Tr'<abajos de Estadística, 1959, dos números.
TEORIA DE LA F'REDICCION DE LOS PROCESUS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
93
expresiones analíticas de «extrapolaciones lineales^ cuando se conocen las funciones de
densidad espectrales de tipo racional.
Conviene señalar nuestra especial expresión de la caracteristica espectral en forma de
determinante y, en consecuencia, ta predicción en el tiempo t+ m del proceso ^(t + m)
está relacionada con los parámetros de las funciones de densidad espectrales.
Estudiamos subcasos de procesos estocásticos estacionarios de parámetro continuo,
según el tipo de función de densidad racional y nos dan fórmulas de extrapolación
lineales óptimas:
u)
Utiliza para predecir ^(t + m) (m >: 0) los valores que toma el proceso en el
punto t, n-1 procesos formados por los procesos de derivadas sucesivas que toman en el
punt^ t. ( Procesos c1e Markov generalizados.)
b)
Utiliza los valores que toma el proceso en el punto t y derivadas en el mismo
(igual que en el caso anterior) y, además, con integrales del proceso combinadas exponenc ialmente.
Los mencionados predictores lineales son óptirnos y excusa decir la diferencia esencial existente en las fórmulas de extrapolación para procesos estocásticos estacionarios
de parámetro t discreto o cuando t sea continuo, porque en este caso, las fórmulas son
muv compleias.
1.9. Para una mejor comprensión de la lectura de este artículo, aparte de la.s representaciones espectrales de procesos y de las funciones de covarianza, se precisa de los
conocimientos de los desarrollos en serie de Laurentz y el teorema de residuos de las
integrales de las funciones de variable compleja.
Las representaciones espectrales del proceso y de la función de covarianza, como
hemos indicado, se exponen sin demostración en el apéndice unido a este trabajo y se
exponen otras representaciones útiles 4 para la mejor comprensión del trabajo.
1.10. La función de densidad espectral f(^.) o su función de distribución permite
conocer la estructura del proceso y F(^.) nos indica la contribución a la varianza total del
,^
^
proceso hasta la frecuencia ^..
Si existiesen períodos puros, ct F(f^ ) tendría saltos en los puntos de discontinuidad del
espectro y que proporcionaría un proceso de ciclos perfectamente conocidos. En las
series económicas no sucede en general este caso por no existir períodos puros sino
pseudocilos y f(a. ) es de ti po conti nuo.
La aplicacián a la teoría de la predicción es tan importante en Econometria cuando se
conoce la función de densidad espectral que nos informa sobre el tipo de pred ic tor 1 ineal
° Urbelz lbarrola, F. J., ^^p. c^it., págs. 332 y siguientes.
94
ESTADISTICA ESPAI"VOLA
óptimo conociendo el espectro y pasando del campo de la frecuencia al campo del
tiempo nos permite determinar el predictor óptimo del proceso estacionario si conocemos su f. de d. e s pec tral .
1.11.
Recordemos finalmente que el estudio de las series temporales puede hacerse
en el dominio del tiempo a en el de las frecuencias.
En el dominio del tiempo tiene el grave inconveniente de la irregularid,ad , yue desaparece si se estudia la serie en el dominio de la frecuencia.
Sir Arthur Schuster fue el primero que introdujo su célebre periodograma para el
estudio de las ^periodicidades ocultas^. Este periodograma está relacionado con el espectro, y aunque asintóticamente fuese centrado (previa corrección multiplicánciolo por una
constante) tenia el grave inconveniente de ser inconsistente, por lo que desgraciadamente
era poco fiable,
Este artículo no está destinado a la estimación del espectro y dejamos este p^roblema
para otra ocasión.
SECC ION PRIMERA
2.
CONCEPTCJS PREVI©S
2.1.
l,a
DEFINICIONES
E^trapolacián.
Se denomina extrapolación o predicción a la estimación del
valor futuro a partir de los datos disponibles del pasado.
2.a
Interpolacián.
Se denomina interpolación a estimar un valor comprendido
entre los datos.
3.a
Filtruje.
Se denomina frltraje a la estimación de los datos de un proceso
cuando existe error en la informacián que deseamos eliminar.
2.2.
PRINCIPtO DE ORTOGONALIDAD
Las estimaciones lineales se deducen de las conciicianes de ortogonalidad del espacio de f^ilbert y que proporcionan errores menores en sentido lineal.
TEORIA DE LA NREDICCION DE LOS PR(xESOS ESTO['ASTIC'OS ESTACIUNARIOS
2.3.
y4
PREDICCI(SN LINEAL SIMPLE
1.
Para aclarar los conceptos expuestos supongamos que de un proceso
{^(t ), t E T}
[il
-ciiscreto o continuo- deseamos predecir su valor en el tiempo t+ m cuando se
conoce el valor en el tiempo t.
2.
E1 planteamiento lineal más simple es
^(t + m) = a;(t) + E(t)
E E(t) = 0
(a constante)
[2l
siendo E(t) un proceso incorrelacionado con ^(t). La estimación es
A
;(t + r) = a^(t )
Por el principio de ortogonalidad indicado tendremos
E {C^(t + m) - a^(t )^ ^(t)} = E {E(t )^(t )} = 0 ^
(Nota: La barra encima de una v. a. es su conjugado.^
B(m) = á B(U)
3.
4.
B(rn )
^ á =
B(0)
[4l
La fórmula de predicción es
.
B(^n )
;(t + m) =
B U ^(t)
^)
EI error cuadrático es:
^rn - E {;(t + m) - ú ;(t)} ^(t + m) - B(U) -- éB(-rn) _
= B^o) 5.
^ s^,r, ^^z
B(0)
[b1
Todo procesa cuyo error [6j sea nulo, se denomina determinista. Esto significa
que ;(t + mj puede predecirse exactamente por los elementos {;(t - h)} .
2.4.
FILTRAJE LINEAL SIMPLE
1.
En el caso de procesos
{^(t), ^ (t), t E T}
[^l
ESTAUlST1CA ESPAÑt)!_A
discretos o continuos, y mutuamente estacionarios, deseamos deterrninar ;(t) en funcíón
del valor conocido Y^ (t} que contiene una información perturbadora que habremos de
considerar.
2.
La ecuación lineal más simple es
A
^(t) = a^l(t)
y 1os procesos ^(t ) y^^ (t ) están ligados por
E ^(t) = 0
^ft) = u^^ (t) + E(t)
C9l
E I e rrar E( t) debe ser ^rtogonat cr n( t).
--E[(^(t) - an(t))]rl(t) - 0
3.
E1 filtr^je del proceso ^(t) es
^n{ ) • n (t )
B,^n(o)
A
Y
^ (t ) _
4.
(4)
^ ^ ^B^n^
B,,^, (0)
o
La varianza residual puede escribirse:
cs 2 - E {t^(t) -- Qn(r)j^(t)} _ ^^^(^) _ gn^(p) _
= g (p _ ^ B^^ (°) ^ 2
^^
Z.S.
^
[ 12)
B^n(o )
pREDICCI ^^N LINEAL SIMPLE CON FILTRAJE
l. De forma análoga, supuestos los procesos [7) si deseamos predecir en el tiempo
t+ m, el procesa ^(t + m) conociendo una informacíón del proceso n(t) en t, conteniendo información perturbadora, la estimacíón lineal puede plantearse:
^
^(t + m} = un (t)
[ l3]
y por el principio de ortogonalidad
^^^it + rn ) -- an (ti^ ^1(t ) = 0
2,
B^,^ (m )
^
En consecuencia
"
^(t + m) =
B^n (m ^
B
^ ^1(t)
nn( )
es la predicción óptima simple con filtraje.
Bnn(o)
[14J
TEORIA DE LA F'REDICCION DE I.AS NRUCESUS ESTUCASTICOS ESTACIUNARIOS
3.
97
El error es
am = E { ^^(t + m) -- ;(t + m)^^ } _
- E^^(t + m) - á ^1(m) - B^^(0) - a B,^^(-m) -
= B^^(4^ _
2.6.
( 8^^(m)I^
[ 1 ó]
Bn^ (0)
Í NTERPOLACIÓN CON FILTRAJE
1. Sean los procesos [7] teniendo los valores en dos puntos: t, y t2. La interpolación se presenta cuando desearnos conocer el valor de ^(t ), siendo t, ^ t^ t,.
^ Si t > tz
ser^a extrapolación.
2.
EI planteamiento para estimar ^(t) de forma lineal puede ser
^
^Ct ) = an (t ^ ) + b^l (t2)
3.
[ 17)
Si fuera interpolación sin tiltraje, la estimación sería
A
[]gJ
^(t) -- a5(t^) + b^(t2)
por lo que es un caso particular del precedente.
4.
Las condiciones de ortogonalidad nos darán las ecuaciones
A
{! = 1, 2}
E {[^(t) - ^(t)l ^l (t;)} - 0
[ 19]
B^,^ ( t -- t, ) = a Bn^ (0) + bB,^n (t2 - t , )
[ 20]
B^n(t - t2) = aBnn(t2 - t,) + bB,,,^(0)
S.
Determinadas las constantes y sustituidas en [ 17j, nos da la mejor fórmula de
interpolación lineal de dos puntos. ^ también: para que [20) sea compatible con [ 18], el
determinante siguiente ha de ser nulo
^
^(t)
il (t, )
^l (t^)
B^^ (t - t, )
Bn^ (^^ )
Bnn (t2 - t ^ )
B^n (t - t 2)
B^n (t 2- t^)
Bnn (o)
^- Q
[ 21 ]
EI estudio y conceptos anteriores los hemos hecho en el dominio del tiempo. Es
inmediata la extensión de extrapolación, interpolación y filtraje cuando se conozcan n
puntos.
^
En las secciones siguientes nos dedicaremos a la extrapolación de procesos estacionarios de parámetro discreto y continuo cuando las f. de d. espectral son de tipo
conocido.
yá
ESTADISTIC: A ESNA^lOLA
SECC ION SEGI,TI'^iUA
3.
EXTRAPOLACtC)N LINEAL DE PROCESOS ESTACIONARtOS DE
PARAMETRO DtSCRETO: PLANTEAMIENTO Y SOLUCIONES
3.1.
1 NTRODUCCI(5N
1.
Sean
^(^ - 1), ^ (r -- 2), ..., ^(t - n)
t1j
vectores pertenecientes a un subespacio de Hilbert H„(^). Una estimación puede t^acerse eligiendo convenienternente ^{,)
^{t + m) = k[^(t - 1), ..., ^(t -- n)j
2.
[2l
La varianza de ;, (t + m) será
^
^^.^ = E {^^(t + m) - ^(t + m)j2}
[3j
Yaglvm s justifica la elección de la funcián R(.) sea del tipo lineal por simplicidad de
cálculo y por las propiedacies de las variables normales -n-- dimensionales.
3.
La envolvente lineal de los vectores [ 1 j es un proceso
Lm. ^(t )-= ^..,
x=i
x K^ ( t-- k}
^x.x E C
[4j
que perienece también el espacio H„(^ ), donde C es e! campo de números complejos.
4.
La distancia de ;(t + m) E H„(^) a[4] será mínima cuando la diferencia
;(t + m) - L^,.,^(t>
[5)
sea ortogonal a cada uno de los vectores [^ j. Luego el producto escalar es
[^(t + m ) -- L„^,,,(t). y(t -- k )) = 0
(k = 1,2,3....,n)
[6J
` A. M. Yaglom: ThPVry vf stationary random fonc•tions, págs. 9^ y ss. Prentice Hall, 1962.
TFORIA DE l.A F'RFDICCIl7N DF. LOS PR(^FSOS EST'(K'ASTICOti ^STACIC)^fARIO!^
99
O
B(k+m)-
x,,B(k-h)^0
^.
h
[7]
(k - l, 2, ..., n)
recordando la fórmula [4] del apéndice.
El sistema anterior de n ecuaciones con n incógnitas nos permite calcular 1a.5
constantes ack que, sustituidas en [4j, nos dard una esti^nación en el tiempo t+ rn y
existirá una perpendicular cuya di^;tancia [5] será mínima cuando los vectores [ 1] sean
linealrnente independientes, parque hemos tomado como base c^el espacio H„(;) los
vectores [ 1]. La solución es vál ida también ^iempre que el deterrninante [ 7j no sea nulo.
5.
La varianza de la predicción es la distancia al cuadrado c^e [5 ] c uando los
valores de xk son los de [7]:
^^ cr - ^ ^II =
Q;,^.^ - Il^tt + ,^) A
^ (r + m ) -- ^ xk^(t -- k ). ^(t + ,n )
k=1
n
= B(^) --` ^ . xk B(m + k )
[^ ]
Pero de [7], tomando compleaos y sustituyendo en [8] y recordando la representación
espectral de la función de covarianza (fórmula [^] del apéndice}
^ ^,. ^ = B(o) _
^
aLk^(h B(h
- k ) =
k=1 h=
2
^
= B(o^ b.
_^
a k ^, -r'J^k
fc^ ^^
[x„]
Kolmogorov ha demostrado que el erro^^ de la predicción es
Q^ = eXP
1
^
^
-^
18 {2n.f(^) } d^.
[^,,,]
1^i10
ESTADI5TICA ESI'AÑOLA
y ^uando el proceso es determinista, el error de la predíccíón es cero, cumpliéndose si b
^
In,f^)d1^ - --x
^
3.2.
REPRESENTACIÓN ESPECTRAL
1.
Las funciones de covarianza [7] sustituidas por sus representaciones espectrales,
nos dan las condiciones
^
xke -^^h fC^. )d^, = 0
e ^k ^, i^m
[9]
-^
(k - l, 2, 3, ..., n)
0
"
e `^I` [^ a"" - cA,,,,"(^ ) ^f(^ )^^ = ^
[9' ]
-^
siendo
i . ^ r, e -^^,ti
ti
^ m,,^ (^ ) =
[ 10]
s
la función que se denomina característíca espectral de la extrapolación.
2.
EI problema de encontrar los coel^cientes xh queda reducido a encontrar una
función <p,„,,,('r^) que sea cornbinación lineal de las potencias e-'^, e -Z^, ..., e-^" que
satisfaga la [9']. Si encontramos esta función, los cceficientes xh serán los mismos que
los de [7] y, en consecuencia, la combinación lineal [4] con estos coeficientes es la
rnejor estimación lineal de ;(t + m).
3.
EI error puede expresarse espectralmente
^
am^^ -
f.
= B{4) -
Ieimll
- (U,^.nl'y)I2 ^(^)d}.,
^
-^
I ^m,"(^ ) ^ ^.f(^ )^
[12]
según lo indicado en [8"] y de acuerdo con [ 10].
6 Edward James Hannan: A^lultiple times series, págs. 137 y ss., Wiley, 197U, y Dr. Cox and H.
D. Miller: The theorv o,^^ stochastrc processes, pág. 326. Cha^man and Hall. London, 1972.
TEORIA DE LA F'REDICCION DE LUS PROCESOS ESTOCASTICC:IS ESTACIONARIOS
^Ul
4. Si en lugar de ser n dimensiones n-^ x, las representaciones espectrales [9] y
[9' ] son
n
^, í7^Ac
e ih.m
-
-^
x
^ ^ hE, -i7^h
f{^, )Ú/t
= ^
[13]
ti=^
(k = l, 2, 3...)
o sus equivalentes
e ,^.k [e ^^ _ c^ m (^ ) ].Í^iCti )á'ti = o
[ 13^]
Ik = 1, 2, 3...)
siendo
^rn(^.} -
^ hE, -il^h
[ 14l
la característica espectral de extrapolación. Si la multiplicamos por e'^f^l^('^ ) e integramos entre ( - n + n ) tendrernos
^
^(t + m) -
_,^
^(^}e^^t^( ^ )
_
^^,^{t -- h)
[1S]
h=
La [ 12], [ 13') y[ 15] nos indican las condiciones que necesariamente tiene que
cumplir la [14].
5.
Obtenida la función ^,„(^^), su desarrollo
^^ m (^ } : ^(
^e -i^ .^. ^ ^, - t7^ 2 .} ^ ^, -í7^ 3 ..^
nos permite encantrar los coe^cientes ^cti que, sustituidos en la [ l5], obtendremos la
mejor fórmula de extrapolación lineal.
6.
Yaglom', siguiendo las ideas de Kolmogorov ^` y Wiener ^, sintetiza las condi-
ciones que se deducen de [ 13'), [ 14] y[ 16]:
' A. M. Yaglom, op. cit. , págs. 108 y ss.
" A. A. Kolmogorov: «Sucesiones estacionarias en espacias de Hilbert». Trabajos de estac^ística (2 números), 1953.
9 Norbert Wiener: Extrapolarion, interpolation and smvothing of stativnary rime series, págs.
106 y ss. Cambridge, 1970.
102
F.STADISTIC A ESNAWOL_A
c, )^p^,(^.> es un desarrollo de potencias de ^^^^ enteras.
h)
t.,a funcicín
`}, ^ (^ )
^^„^
_ cp ^ (^^ ) ].^ti )
[171
coniend rá potenc ias de e'^ , e s dec ir
^ m (^ ^ ,^ ^ ^. k P ik^
[ 17' 1
k^o
pues al sustituir (17' ) y[ 13' ], las integrales para k= 1, 2..., son nulas, cumpliéndose la.s
condiciones precisas. Finalmente:
c• )
3.3.
La serie [ 1 b) de 1a característica espectral es convergente .
TRASLACI(^N A VARIABLE COMPLEJA
l.
Las condiciones precedentes son estudiadas por Yaglom, intrvduciendo la variable compleja 10
^ - ea
[lH^
caso de estar situada sobre el círculo unidad coincide con las [ 13'], [ 14] y[ 17].
Para que [ 1 b] sea convergente, la func ión
a
^^(z) = ^ ^
[19]
k=1 Z
es analítica fuera y sobre el círculo unidad y se veri>ica
c^ ^, ( ^ ) = 0
En todo punto del círculo unidad ^z^ = 1
^ z I -^ ^o
^
i = e'^ e s
^pm(e^^} ^ ^^,(^^)
2.
[24]
[211
De forma semejante haremos
fx^P,^ } _ f^^^ ^ _ fx(z )
[22]
siendo fx(z} función compleja y que en el círculo unidad coincidirá con f(a. ).
1p La v. c. toma más precisamente valores pe^^ , pero la sustitución [ 18] es para relac ionar entre
los dos tipos de funciones coincidentes en el círculo unidad.
TEORIA DE LA NREDICCION DE ^.OS PROCESOS EST(X'ASTICOS ES'i'ACIONARIOS
3.
IO^
La función:
`I` m (z ) = [,z ^^^ - ci^ ;, (4 ) ^f 'x(^ )
[23]
es analítica dentro del círculo unidad y sobre la circunferencia, pudiendo desarrollarse
en serie de potencias de z y la.s singularidades serán fuera del círculo unidad.
Sintetizamos las condiciones:
l.a
<pm(z) es una función analítica fuera del círculo y sobre la circunferencia de
radio unidad. Sólo puede tener singularidades dentro del círculo unidad.
2.a
^Uñ(x} = 0.
3.a `^m(z) es una función analítica dentro y sobre el contorno de la circunferencia.
Sólo puede tener singularidades fuera del círculo unidad.
Examinaremos en la sección siguiente algunas fórmulas que hemos deducido partiendo de estas condiciones y para los procesos con f. de d. de tipos concretos bastante
generalizados.
SECC ION TE RCERA
4.
EXTRAPOLACION LINEAL DE PROCESOS ESTACIONARIOS DE TIPO
D[SCRETO DE FUNCION DE DENSIDAD ESPECTRAL RACIONAL
(CONSTANTE EL N UMERADOR}
4.1.
A)
Procesos c•vn •f'unción de ulensidac^ espectra! ruc•rvnul ^e! tipo
c•
_^ ^ r^ ^ n
[1]
n
I -1
e;^,
_ a ^ i
h
h=1
siendo uh reales ^ah^ ^ 1.
4.2.
SOLUCIÓN
1.
Traslademos f`(h } a variable compleja según [ l 8] y[ 22]
^•Z n
fX(^ } ^
(^ - a,)(^ - az^...(z - uMl(1 r cj,^,}...(l - un<)
[2^
ESTADISTICA ESF'AtV(}LA
jU4
Por la prirnera condición ^GX{z) es uniformemente convergente fuera del círculo y
sobre la circunferencia, pudiendo tener singularídades dentro del mismo. Recordando [2j
y ei desarrollo [ t4j expresado en [ t9] de la sección anterior, para que cumpla las
condiciones impuestas puede expresarse así
Y,^(z )
U^^ m{z } =
[3j
Zn
y tendrd !as singularidades dentro del círculo unidad si Y,„(z), es [4] una función entera
y cumplirá la condición segunda si ^D„,( x)= 0, por lo que el grado de y"(z ) es inferior a
n. Recordando la condición tercera y como fx(z) tiene singularidades dentro del círculo
unidad, éstas se eliminan si se anula el otro factor de [23] de la sección anterior para los
puntos en donde f x(; ) es analítica dentro del círculo
[^'^ - ^x(z )J -- U
z =ah
(!1 - 1, 2.
[4j
y así carece ^„,(z ) de 1as singularidades en mencionados puntos, siendo analítica dentro
de1 círculo unidad.
La función Y ,^(z ) es lá forma
'^ ,n ( ^ ) = A o ^- A, ^ z -F A 2 Z 2 - F- . . . -^- A n _ 1 ^ "-1
[51
Por las expresiones [3j, [4] y[S], haciendo z= a^,, tendremos las condiciones
a ^ +ne ^ p^ + A^ah + A2a ^ + ... + An-la ^ -1
(h = l, 2, ..., n)
[bj
La ecuación [6j unida a[5j forma un sistema de n+ 1, ecuacione$ ^on n incógnitas.
Para que sea compatible, según el teorema de Rouche-Frobenius, el determinante
formado por los caeficientes de las incógnitas y los términos independientes debe ser
cera
! Z,
Z2 .. . Z"-1 Yrn(Z )
1 a C12
^
^ ..• Cl^-^ ^ Un+m
^
^ a2 aZ ... a2-1 a2^+
....................
.. lIM-1 an+m
1 a n a^
n•
n
n
- 0
TEORIA UE L.A PREDICCION DE LOS PRC^ESCJS ESTOC'ASTICOS ESTACIONARIUS
IUS
Por cáiculo senciilo tenemos
O Z"-t ... : 1
art+m a"- t
Q1
I
i
"'
^
................
a"" +m a"^...Q
"
R 1
Y„^(Z) -
[gl
a^"-t ... a,
a"^ t ... u„ 1
Dividiendo [K) por ^", según la [3], y siendo ^ = el^, de acuerdo con [ I4] y[ 19J de la
sección anterior, la característica espectral de la extrapolación lineal es
0
e -^^ e -' ^ . . . P -; ^^ - t y^ ^, -;^a
Q^+^n
Q"-... Cl I
I
1 1 Cl"-2
1
1
..............................
a,"+l11
"
u"_
t Gi"-z
. ..
"
"
a"
[9]
a representa el denominador de [8].
Multiplicando [9] por e'^'cl;O^) e integrando entre (--n, n) y recordando la [ 15] de la
sección anterior, tenemos el valor óptimo extrapolado linealmente cuancio la f. de d.
espectral sea del tipo [ 1]
4
^(t - 1) ^(t -- 2) ... ^(t -- n + 1) ^(t -- n )
Qti+rn a n- t
p"-2
Q^n+^n u""-1
n-2
Q" ^
...
1
C1 ^
i
i
i
.................. .............................
A
^(t + m ) =
4.3.
... tl"
0
1
[ 10]
OBSERVACtÓh( IMPORTANTE
Para la predicción, cuando la f. de d. espectral sea del tipo [ 1], no necesitamos más
que n valores pasados, y aunque dispongamos de toda la historia pasada no mejoraremos
la predicción.
Desarrollando pc^r la primera línea, tenemos una expresión del tipo de Markov de
orden n.
Examinaremos dos casos de [ 10], según los diversos tipos particulares de la f. de d.
espectral [ 1 ] :
ESTAL)IS"TICA ESNANOLA
Cc^.^ca núrrterrr 1
t^(^- ) -
l.
^.
I E^ i^.
< 1
'a
,
^l ! ,.
Entonces, la [ 10) se reduce
^
^(t
0
^(t -- 1)
C! ^ +m
1
_ um+i^(t - 1)
+ rr1) _
1
[ 12l
Cc^so rrúmero ^2
c•
.Í^(f^ )^
2
2
^^,^ - u, I le^^
_^J^ f
^ a; ^^
La [ 10] es ahora
0
^(t -- 1) ^(t -- 2)
Q ^2+m u ^
1
.
^{j + m) i
^ 2+m d^
z
^
^
u ^ -^ u 3
{um+2 _ um+2)^{^
^ ! ) - {am+2U^ _ um+2^
[ 14]
^)^{t ' 2)
u ^ _` u z
Las fórmulas [ 12] y[ 14] cie !as extrapolaciones óptimas cuando la f. de ci. espectrales son la forma [ 11] y[ 13] han sicio deduci^ias pí^r Yaglom " directamente, coincidiendo con las nuestras.
4.4.
B)
Prc^c•^sns c•c^n ^j: d^ cl. c^s^PCtrul d^l tipcr ruc•ivnul c•can ruícPS m úl ti^^l es
.1^('r^) --
c
le^^ - ul^
'` A. M. Yaglom, op. c•it., págs. 1 10 y 111.
^u ^ ^ 1
lU^
TEORU DE LA PREDICCION DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
1. Este es un caso particular de [ 1], pues las raices del denorninador son iguales. Y
estudiaremos este caso aunque el problema es general: Si a, se repitiese a^ veces; a^, a^
veces, etc., entances la f. de d. seria
ÍC^) =
e
ja;^ < 1
[ 16]
^
^ le,^ _ a ,I 2^,
^
^=t
2. Examinando [ 10^ numerador y denominador, las columnas de los determinantes
son iguales, siendo indeterminado.
Aplicando L'Hópital 12 reiteradas veces, tendremos para la extrapolación lineal óptima con f. de d. espectral [1S]:
0
^ (t - 1)
^ (t - 2 )
. . . ^ (t - n + 1) ^ (t - n )
a"+^n
a"--1
a"-2
...
(n - 1)a"-2 (n - )a"-3 ...
(n + mki"+m--1
(n + m)t2a"+^-2 (n - 1)c2a"-3 (n - 2)^2a"-,...
A
^(t + m) =
a
1
1
0
0
0
.............................................................
0
0
0
(n + m)^"-^am+t ^ n_ ^
... 0
a"_^
a"-i
... a2 a l
(n - lki"-^ (n - 2^a"-^ .. . 2a 1 0
(n --- 1)^2a!+-3 (n -- 2)^2a"-4 ... ^0 0
...................................
0 00
0
n- 1
Caso número 3
^(^ ) _
(e^ _ a
^a^ < 1
4
[18J
La [ 17] es:
^(t - 1) ^(t - 2)
0
- (m
a 2+m
a
1
(2 ..}_ m^ l+m
1
0
a
1
1
0
2^rnt1^(t ..._ 1) - (m -}- 1)qm+2^(t - 2)
'^ En el sentido de que a^ -^ a, y con la notación de las vari^,.:iones ordinarias n^^.
[19]
I U^i
EST'ADISTICA ESPAÑOLA
Cas^ número 4
f(r^)
c
^
,^ i
= e^^ _ a ` ea - a
[ 20]
^^
La (20] es del tipo [ lb] y en la [ lU] existiría una indeterminación por la duplicidad de
ia raíZ a,.
Aplicando L' Hr^pital u na vez en [ lU] , derivando la segunda fila respecto a a, el
numerador y la primerra al denominador tenemos:
p
a,„+3
^
(rn + 3}a;"+2
;(t+m)=
^(t -- 1) ^(t -- 2) ;(t - 3)
a2^
a^
1
2a,
1
0
u 2rn+3
Q2
Q22
^
Q^
^
a^
2a , 1 0
a2 a2 1
Desarrollando por la primera línea obtendremos la mejor fórmula de extrapolación
lineal cuando la f. de d. espectral sea la [20].
4.5.
OBSERVACIÓN IMPORTANTE
EI valor de 2n es el númera de raíces del denominador, aunque sean iguales. Es
decir, de la [I6j obtendremos:
y será el máximo de valores que precisamos {^(t -- h)} (h =
extrapolación ó ptirna.
1, 2, ..., n) para la
SECCION CUARTA
S.
EXTRAPOLACION LINEAL DE PROCESOS ESTACIONARIOS {;(t), t E Z}
CON F. DE D. ESPECTRAL
Entera del tipv
f[^a = ^^k=Irl
siendo bk real,
! hkl2
- ^.
(bk^
_ -^- ^,^^ .
[1]
^ 1
^, :: ..^, ,. . ,,
,^ ..
.
* ^ ^^
1^
TEORIA DE LA NREDICCION DE LCiS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIUS
5.1.
PLANTEAMIENTO
Pasando [1) a variable compleja según [21], [22] y [23] de la sección segunda
C
^
.fX(z) _ ,,,^ ^I (z - bk)(1 - bk^)
^ k=1
[2)
lo que indica que ^UX{^ ) solamente puede tener las singularidades en z- b,^ (k = 1, 2,
..,, n ) y puede escribirse
Y,„ (^ )
^ ;(^) _
[3]
^
^^_I(^-bk)
k^l
pues [3] debe ser analítica fuera y sobre el círculo unidad.
Para que [3] cumpla las [ 14] y ia primera condición de la sección segunda, ym (z ) ha
de ser una función entera y además de grado n- 1, ya que, según la condición
segunda ^U ^, ( x ) = 0 f
Pero por [23) de sección segunda `^^,(^) tiene que ser analítica dentro del círculo
unidad y como según [2] fx{z) tiene un polo en el origen de urden n:
n
[Zm - ^.n(Z)]
n-^
^ `'^ ^1 (' -,^jk) - ^ AkZk
k=11
ks0
[ 3 dl
[3 b]
deberá (3 bJ ser divisible por ;.n, según [2J, pur lo que los coet^icientes del pulinomio [3
b] de grado interior deberían ser nulos.
5.2.
SOLUC[ÓN
Desarrollando [3 b] en potencias de z, los coeficientes de `k (k = 0, l,..., n- 1)
serán iguales -a -ee^e. '^sti^. ^®s^ -p^rmit'^" ^déterminar los coe^cientes Ak 13 y, en consecuencia, tendremos la func^ón característica de la extrapolación lineal óptima para los
procesos estocásticos estacionarios {t E Z} y con f. de d. espectral del tipo [1].
Casv númerv 1
f^(^ )_^. I e,a. _ h I 2
13 Estos coeficientes vendrán dados en función de los bk .
[4 ]
1 ^u
ESTADISTICA ESPAÑQLA
Pasando a variable c om plej a:
.f x(z 1 -
c{,^ - b ) ( i -- bz )
[4' ]
z
La [3 b] se convierte:
z^`(z - ó) -- Ao - zm+! - áz^ - Ao
a)
Subcaso: m = U. Para que [S] sea divisible por z ha de ser
h + Ao = 0 ^ Au = -h
[ó]
Luego:
-b
^o (z) --
z - b
^ ^o(ti ) _ -be '^a. _ 6 ^e -^ - . . .
[7]
La fórmula de extrapolación es:
^(^) _ --b^(t - l) - ó2^(t - 2) - b3^(t - 3) ...
b)
Sr^ócaso: rn>_
[8]
1. Para que [5] sea divisible por z es preciso que
Ao = 0 ^ ^U,^ {h ) = 0
y
[9]
^(t + m) = 0
(rn > 1)
EI conocimiento de toda la secuencia pasada es innecesaria porque no mejoramos la
pred icción .
Cas^^ número 2
f{^.) = c•^P^^ - b^^2^c^^ _ 62^2
[lU]
La traslación de [ 10] a variable compleja es
^'{z -- b^)(z - b2)(1 -- b,z}(1 --h^)
Z2
Y la [3 b] es, en nuestro caso
zm+2 _ {h ^ + b2)z^+t ^.. h^b2,^rn _ {q^^ .^. A,z
debe ser divisible por ^2.
a)
Para m = 0 ^
^ - b^bz
A^ _ -(b^ + b2)
[1?J
TEORIA DE LA PREDICCION DE LUS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
1I 1
Luego por las [3j, [3'] y[12], tenernos
^-r(z)
= b^bz - (b^ + b2)z 0
(z - b^)(z - b2)
A
+
z- b,
B
z- b^
si se descompone en fracciones simples.
En consecuencia, desarrollando [ 13] por potencias
b^
^..
(,Í -
, 2)
(z ! e ^^ )
tendremos, de acuerdo con la [ 15] de la sección segunda
^
^ (1) ^ ^ C ^ ;` + Bb ^ ] ^ (t - k -- 1)
^=o
[ 14]
Las constantes A y B se determinan por los métodos sencillos conocidos ^
b2
'
b^ - b^
A=
6)
B=
_62
^
bz -- b,
[ 1 S]
Para m= 1. La [ 11] se canvierte:
z3 -(b, + b2)z 2+ b,b2z - Ao - A^z
y para que sea divisible por z2 debe ser:
A, = b,b2
Aa = 0
b,b2z
b,b2
(z - b,)(z - nz)
h^
b, - 62 z- b,
b^
z-- h2
Recordando las [ 15], [ 19] y[21] de la sección segunda, tenemos que la fórmula de
extrapolación lineal es
^
^(t + 1) =
c)
h,b2
b, - bz
(b; ` - 62 ) ^ ( t - k )
[ 19]
m = 2. La [ 11] será divisible par z2 siempre que
q,^ = A, = p ^
^
^(t +m)=0
m>_ 2
[ 20]
ESTADISTICA ESPAÑOLA
5.3.
OBSERVACIONES tMPORTANTES
Cuando tenemas un proceso estacionario de parámetro discreto con función de
densidad espectral [ lOj y tenemos la secuencia ^(t - t), ^(t - 2)... ias extrapolaciones
óptimas en sentido lineal para estimar ^(t) o^(t + 1) precisamos toda 1a historia; pero
1.8
para la predicción ^(t + rrc )= 0 (m >_ 2) no precisamas ningún conocimiento de 1a
historia pasada °4
2.a La misma observación es cuando la f. de d. espectral sea del tipo [ 1]. En este
caso para que la [3 b] sea divisible por z^, para m>_ n habrán de ser todos los
Ah = 0 ^
3.a
^(t + rrr )= 0
[21 ]
m>_ rr
Si U< m< n precisaríamos toda la historia de ^(t - h) (h = 1, 2...).
SECC ION QU INTA,
6.
EXTRAFOLACION L1NEAi. DE PROCESOS ESTACIONARIOS {^(r), t E Z}
DE F. DE D. ESPECTRAL RACIONAL DEL TIPO
(^) _
IB(e^a^)^2
'a ^ < 1
I A(e ,^ I z
f
1
^ 6^
^
[l]
Remitimas al lector a la obra citada de Yaglom.
Estudiaremos el caso más sencillo de:
.^`(^ ) = ^
+ e,^ _ 6 I ^
(,^,^ _ Q^ 2
[2]
trasladando a variable compleja, tenemos
c(z - b)(1 - 6z)
^x(z) -- (z -- a)(1 - az)
[3]
Sustituyendo en [23] de la sección segunda, tenemos
- b ) (1 -- h Z )
`^ m (Z )
= [Z m
-- c^ x (Z )^ e (Z
^
(z - a)(1 - az)
[ 4]
14 A. M. Yagiom, op. crt., pág. 118 comenta este hecho explicando 1a íncorr^elación: B(m) = 0,
m>_ 2 de este caso concreto.
TEORIA DE LA PREDICCION DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
113
Las únicas singularidades que ^;(z) puede tener es dentro del cínculo unidad porque
ha de ser analítica sobre la circunferencia y exterior al círculo, lo que nos permite
escribir
^,^()=^
Y^(z}
z
Z - b
Para que cumpla ^m(x^ )= 0 debe ser Yrn (z ) constante ^
^;,(^) = z-b
A
6
[l
Por otra parte, `i'm;Z) como debe ser analítica dentro del círculo unidad y como la [3J
tiene un polo para z= a, se anulará la [4] si:
A
_ ^ ^
Zrn -
A= a^^(a -- b)
z - b Z ^a
y así `N„(Z) será analítica dentro del círculo unidad.
La característica espectral de extrapolación es
am(a - b)
a^„, C^. ) _ ,
e'^ - b
[ 8]
Desarrollando [8] en potencias de e-^^ y recordando [ 15] y[ lb] de la sección
segunda, tendremos:
^(t + m) _ (a - b)a"^[^(t - 1) + b^(^` - 2) + b2^(r - 3) + ...]
[9^
Examinando la f. de d. espectral [2) puede interpretarse corno un proceso mixto de
medias móviles y autorregresivo (m = n= 1}.
Observación importante
Para predecir, precisamos^ el conocimiento de toda la historia pasada de los valores
^(t - h). ( h - 1, 2...).
ESTADtSTICA ESP,^^ ÑOLA
SECC I4N SE X3'A
7.
EXTRAPOLACION DE PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACI(JNARIOS DE
PARAMETRO CONTIN UO
7.1.
TEORIA GENERAL. ECUAC1dN 1NTEGRAL DE WIENER-HOPF 's
.
La predicción del praceso
{^(r}, t E T}
en el momento t+ m se puede expresar por la expresión lineal
^,
^
^(t + rrr) =
^(t - u)h(u)du
u>^0
0
2. Supondremos un subespacio de Hiibert H(^), donde {^(u), u< t} son los
vectores componentes. La distancia de ^(t + m) a la estimación [2j, para que sea
mínima, deberá anufarse el producto interno.
.
C^(t + m) - ^(t + m), ^(^)l = 0 ^
[3I
Y,
B(t + m - ^^ ) =
B(t -- c^ - ^^ }h (u )du
dv <_ t
[3'^
0
Si hacemos t- ^^ = r> 0, la [3'] la escribiremos
^
B(m + r) ^
r >_ 0
B(r - u )h (u )du
[ 3'^
0
La ecuación integral [3"} se denomina de Wiener-Hopf 16.
3.
La varianza de la predicción para que sea mínima cumpliendo [3'^ será
„
a^, = [;(t + m ) -- ^(t + m }, ^(t + m)) _
^
^
B(m + u)h(u)dr.^
B(--m - u)h(u}du = a2 -
= B(0) 0
[4]
a
's Titchcmarsh: Theory of Fourier Inte^ral, op. cit. , pág. 339. «The Meihod of Hopf and
W iener^ .
'b N. Wiener: op. cit., págs. S6 y ss.; piantea y resueive e! problema apticando la teoria de
m^nimos cuadrados combinando con el cálculo de variaciones.
"TEORIA UE L.A NREDICCION DE LOS PROCESOS ESTOCASTIC()S ESTACI()NAR1(^S
11S
y recordando la [3'^, tomando cornplejos, haciendo u = ^^ y r= u, y sustituyendo en j4]
tendremos
Qrn
_ B(o) _
fJó
B(u -- v)h(u)h(v)dudv =
x^
x^
- x^
x
-- B(0) -
4.
e -'^h(u)
[4`]
[4^^
^%)d^
E1 problerna es encontrar la función h(u) que cumpla la [3'^. Esta ecuación
integral no es sencilla de resolver y depende de la f. de d. espectral del proceso y de rn.
%.2.
REPRESENTACI(SN ESPECTRAL DE L.A EXTRAP^OLACIÓN DE PROCESOS DE PARÁMETRO
CONTINUO
1.
La represeniación espectral de la [3'^, considerando que el proceso [ 1) tiene f. de
d. espectral, f(^) es semejante a la estudiada en el parágrafo 2 de la sección segunda
para los procesos discretos
I;
e1^.[el^,fi - ^U m(^)1J^(^,)d^. = 0
dr > Q
- x,
2.
[S]
m >^Q
La característica espectral de extrapolación del proceso es
x
h(u)e-^^.udu
^m^} =
[6]
8
3.
Multiplicando [6] por e1^rd^(^.) e integrando en todo el eje real, recordando [2],
te ne ma s
^
x
^ (t + rn ) _
J -^.
x
cpm(^)e^^r^()',,) _
^ {t - h )h {u )du
Joo
Encontrar ^„,(^.) no es tan sencillo como en las sucesiones, pues en su desarrollo
veremos que contiene términos de derivadas y de integrales.
Concretando, las condiciones de Yaglom " son:
t.$
La caracter^stica de extrapolación ^,„(^.) debe cumplir la [5] para r>_ 0.
" A. M. Yaglorn, op. cit., págs. 145 y ss.
ESTADISTICA ESPA^VOLA
1 16
2.a
^,^(^ ) debe ser de cuadrado integrable respecto de f(^ ), por la limitación de la
[4'7 :
J=
_^
im
^^ ) ^ 2f( ^. )d ^ < x
[ 8]
3.a ^D,^(^,) debe ser lírnite en m. c. de una sucesión de combinaciones lineales e -,a.u
(u > : 0), o sea
x
lím
^^ ^^(^) - ^D^,^(^)^2.f(^.)d^,
[9]
n -^ x
_ ^,
4.a
La fórmula del error se obtiene recordando [4'^ y[b]:
^
a„ = B^o) S.a
_^
(^,^c^)I^fc^)^
[ 14]
La solución más simple de la [S] se pr^esenta cuando la f. de covarianza es
analítica y que la [b] sea
^ ^ (^, ) _ e ^a.^^
al sustituir [ 11] en [7] recordando las representaciones espectrales
^
"
^(t + m) =
^
_ ^
k=0
^
_,^,
e
í^^,(1 +m )
e ^a.r (i}^, )t`d^ (^ )
-x
^(^) _ ^(t
mk
, --
-}-
m) _
mk
^"(t>^
[ 12]
^
según la [8] del Apéndice, y que precisamente predice exactamente el valor del proceso
por el desarrollo de Taylor, para los procesos estocásticos derivables m. c.
EXTRAPOLACI6N LINEAL DE PROCESOS DE PARAMETRO t CONTINUO: TRASLACICSN A
7.3.
VARIABLE COMPLE.IA
1.
La demostración de las condiciones que indicaremos puede verse en Yaglom '^.
Nos limitaremos a enunciarlas, sin demostración, en la hipótesis de la continuidad de
f(A), y que esta función sea una función racianal de ^,.
'a A. M. Yaglom, op. cit., págs. 1S0 y ss.
TEORIA DE LA PREDICCI4N DE LOS PROCESOS ESTUCASTICOS ESTACIONARIOS
2.
1 ^7
Condiciones:
l.a La función [6], en el campo complejo, debe ser análitica en el semiplano
inferior. Las únicas singutaridades que puede tener son en el semiplano superior, y
cuando ^h ^--♦ ^o , en el semiplano inferior <D^,()t), no supere a alguna potencia de ^^. ^.
2,a
La función que aparece en [S]
^ ^ C^, ) = [e ^^ - 4^M (^ )].f C^, }
[ 13]
debe ser analitica en el semiplano superior, y si ^^. ^--♦ x en el semiplano superior ^r,^(^.)
y decrece, con ^^, I - I-E ^,(E >; o}.
3.$
La integral acotada
^
_^
Im,^a>IZrc^^^
< ^o
[ 14]
es de cuadrado integrable respecto de f(?^ )d^. .
En el caso que f(a. ) sea rac ional de ^., una función d^ m(^ ) que cumpla e stas tres
cond ic iones nos permitirá obtener la e xtrapolac ión 1 ineal ópti rna ' 9.
SECCION SEPTIMA
S.
EXTRAPOLACION DE PROCESOS CUANDO LA F. DE D. ESPECTRAL ES
A)
Del tipo
c
c
^(^) _
^ (^.2 -f- A^ )
k=1
1.
[1]
n
n
^ ^ ' akl )^
k=1
-^ OLkI )
Forrnemos la función [ 13] de la sección anterior
^m{Í1,) = C n
1 !
k=1
e'^ - ^^, (^ )
[ 2]
(^ `" a kl ) ^^ ^- tX ki )
Para que [2] sea analítica en el semiplano superior, el numerador deberá anularse
para
a.
--- OL k Í ^
)
^m(OLk1) = e-°41c^^
(k = 1, 2,
n)
[3]
19 Otros autores trasladan a v. c. en el semiplano a la izquierda y derecha, descomponiendo
f(_a.} en raíces pares simétricas.
20 aki no es necesariamente imaginario puro. Es preciso pertenezca al semiplano superior.
lIR
ESTADISTICA ESPAÑ^I..A
y así se cumple parcialmente la condición segunda, porque se anula en [2] numerador y
denominador en los puntos ^. = a,^^ .
2.
Pero relacionando con la condición primera ^m(^ } será de la forma
^", (^. ) = A^ + A ^^. + A^. 2 + . . . ^+- A" - ^^." - ^
porque [4j es analítica en el semiplano inferíor y, además,
,^,mC^} ^ ^-^-E
en el semiplano superior cuando ^^. ^--♦ x.
3.
La [4] cumplirá las condiciones [3]. Sustituyendo ^. = akí
e-^k^ = A^, + A,a,^í + A2(a,^í)2 + ... + A"-^(a,^i)"-^
[Sl
(k = 1, 2, 3, . . . , n )
4. La compatibilidad de [5] y [4] exige que ei determinante de los coeficientes de
las incógnitas y términos independientes sea nulo:
^
^l.
^. 2
...
^t " ^ ^
t^ rn ( ^ti }
1 a ^t (a ^t)2 ... (^. ^t)" ` ^ e-a^rn
1 a2í (aaí)2 ... (a2i)"` ^ e`a=^
...........................
l a"! (a,^l )^ . . . (a,"i )" ^ ^ e -a" ^
5. La caracteñstica espectral del proceso puede ponerse en forma explícíta multiplicando ias columnas k+ 1 por ik (k = t, 2, ..., n- 1) y tras simples operaciones,
despejando ^m(^.) tendremos:
1 i^
(í^.)2
... (i^.)"- ^
0
1
_._.«^ ^^
...
(-^^)h-1 e-a^r^
!
-a2 J(2
...
(-0^2)"' ^ p `a2n+
...........................
1
^p„^(^) _
-- a" a ^ . . . ( -- a,^ )" - ^ e -a" ^^^
1 -a^ a; ,.. {-a,)"-^
.....................
^ Í -a" 4(.^ ... (-arn)"-t I
6.
La fórmula de extrapolación lineal se obtiene rnultiplicando la [7] por
e;^r^ t^ )
e integrando a lo largo del eje real.
TEORIA DE LA PREDiCCION I}E LUS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
1 ^19
Recordando la representación de la derivada K(ver fármula [8] apéndice), y como
para multiplicar un determinante, basta multiplicar cualquier fila (y lo mismo integrar, lo
haremos donde se encuentran las variables) la mejor fórmula de extrapola^ción lineal
para los procesos que tengan f. de d. espectral del tipo [ 1] será:
^(r) ^'(t) ^"(t) ... ^^"^"(r)
l
-ae, ac,
... ( -x ^),^- ^
0
^, - a ^ ^re
.................................
^
...
^(t + m ) =
^-^^)w- 1
e -aN^n
[ g]
D
Hemos indicado D el denominador de [7^ .
La [8] es la mejc^r fórmula de extrapolación y se abserva que se precisa el conocimiento de ^(t) y de las derivadas hasta la n-- 1 inclusive, en el punto t del proceso.
7.
Examinemos casos particulares simples;
Casa n = 1
.f(^)
c
[^^
_ ^.2 + x2
que corresponde a B(r) = c'e -a^^l, es decir, semejante a la distribución [ 1^ de Cauchy.
La prediccián lineal óptima es:
^(t) 0
.
1
^
^(t -+- rn) _ {--1)2
e --ocm
1
- ^-^^^^(t)
[ 10]
no precisando más que un término. La [ 10] coincide con la que directarnente deduce
Yaglorn 21.
Caso n = 2
f (^ ) _
(^ 2 + x; ) (^ + ^c 2 )
s` A. M. Yaglom, op. cit., págs. lS3 y 154. Wiener, op. cit., pág. 65, estudia la f. de d.:
1
^(^ ) _
expresado 1^^ en ciclos
siendo la preciicción: e-^^(t).
ESTADISTICA ESPAÑOLA
120
For ser del tipo [ 1] y n= 2 sustituiremos en [8] y desarrollando, tenemos para la
fórm u la de e xtrapolac ión 1 ineal
5(t + m) i
P -aan^
-- ^ E, -a,rn
^I I e-a=rn
^
- E,_a^,h.
^(t) +
^^{t)
[ 12]
a 1 -- a2
a, - ^^
Caso n= 2, pero de raíces complejas (no necesariamente imaginarias puras)
Yaglom (op. cit., pág. 1SS) resuelve un ejemplo de extrapolación cuando la f. de
^d. espectral es del tipo 22.
c
^^(^ > ^l. 4
^-
^ 4
[ 13]
a. + 1 + ^ x ^. - ^x ^ + 1 ^ a ^. -- 1 ^ ^
^^
^
^^
v^
Las raíces del denominador son los complejos y las pertenecientes al semiplano
superior: (a , i, a Zi complejos no necesariamente imaginarios puros)
x,i
x zi -
1 + i
x
^
1 - i
x
^
^
1 - i
1 + i
x
^
x2 -
x
[ 14]
x
^
^L
La fórmula de extrapolación la tendremos sustituyendo estos valores en la [8] para
n - 2
0
-m ,^a
^ +;
_,^ ^_
z
^
^(t + m) _
[1S]
22 Wiencr lo estudia cuando:
1
f(^) - .
op. cir. , pág. 6S.
12l
TEORIA DE L..A F'REDICCiON DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
anr
^
^ (t + m ) =e
^
am
am ^m ^
cos
+ sen --- ^(t) +
^/ ^ ^/ L
^ f
e
^
am ,
^ (t)
sen
^l L
[ l6]
La sotución de nuestra fórmula [ 16] coincide con la deducida directamente por
Yaglom (op. cit., págs. 1SS-b) y con la de Wiener.
B)
Del tipo
^(^. ) _
c
^
I^I (^2
c
_
+ Jf,k^ Vk
[ 17]
^
JLk%)Vk(^.
^^
+ JCkI)vk
k=1
k=i
siendo
^
C »' ]
^ vk = n
k=1
y aki es un núrnero complejo perteneciente al semiplano superior no necesariamente
imaginario puro.
1. La f. de d. [ 17] es un caso particular de la [ 1] porque se repiten los factores del
denominador.
2. La característica espectral de la [ 17] tendrá numerador y denominador de [7]
para a,, v, filas iguales; para a2, v2, etc., por tanto, será indeterminado y aplicaremos
L'Hópital para resolver la indeterminación. Si ^c, se repite en [ l7) v, veces, derivaremos
como lo hicimos en la sección tercera B). Si todas fuesen iguales derivariamos:
a)
E1 numerador a partir de la tercera línea, que sería la derivada de 1 a segunda
línea; la cuarta línea, que seria la derivada de la tercera línea y, así, sucesivamente.
b)
EI denominador a partir de la segunda línea. Después sustituiríamos todas las
líneas por el valor de ia raíz.
3.
Sin perder generalidad, supongamos:
c
_
f (^)
[18]
(^z + ^cZ )^
Todas las raíces son iguales y n= 3, y a^= a 2= x; = x. La [7] se canvierte:
^,n (^. ^ =
0
(^i)z
1 ^i
Í-- OL
Ot ^
e- a m
- p --.1
2^c
-- mP -am
0
2
m 2e -o^ ^^
]
- ot
0
-1
0
0
U
ot 2
2^x
2
[ 19]
122
l^STADISTICA ESPAÑOLA
lgualmente 1a [8] y tras sencillas cálculas, después de simplificar, tenemos para la
me^or fórmula de extrapolación lineal del proceso con f. de d. espectral [ 18]:
^(^ + m) - ^ e-an^[ 1 + {1 + ^cm )z]^^t) + e-a,nm(^m .^. ll^^ (t) .^.
2
1
+ -m^P -anr^ ^ ,(t^
2
4.
OBSERti'AC[ON iMPORTANTE
En todas las fórmulas de extrapolación de procesas que tengan f. de d. espectral [ 1]
ó[ 1^Tj precisan no solamente el valor de ;(t ), sino las derivadas sucesi vas en mencionado punto como máximo n- 1, derivadas, siendo n la mitad dei grada a. del
denominador o determinado por [ 17' ].
SECCION OCTA^A
9.
EXTRAPOLACION GENERAL DE PROCESOS ESTACIONARIOS CON 1~'. DE
D. ESPECTRAL DEL TIPO
11(^^ -}- a^ )
r <n
.f ^(^ ) -- C ^^ ^
n
[1]
R>^^
T ^I ^^2 + ^k^
k=1
1.
El numeradar de [ l] siempre ha de ser de grado inferiar al denominador para
que se cumpla la [4"] de la sección sexta, y sin raíces comunes, y asi siempre,
necesariamente supondremos que B'{0) < ^ .
2.
Formemos la función [ 13J de 7.3, descomponiendo en factores el numerador y
denominador de [ Ij
r
1 1 (^ - Rj^> (^ + R1^ )
^ m (^, ^ ^. ^^ [e ^m - -
j=1
C 2]
^ rn (^^ )]
n
^...I (^
- ^kl ) ^ + ^kl )
k=I
3.
aki, aji son números complejos pertenecientes dl semiplano superior.
TEORIA DE LA PREDICCION DE LOS F'ROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
Í23
4. Para que [2] sea analítica en el semiplano superior, como [ 1] tiene polos en los
puntos ^= a,^i pertenecientes a referido semiplano, debe cumplir la función ^m(a. ) las
cond ic ione s
^e;^^ - ^m(^.)^ _ o ^
!t
- rJ( kl
(k = 1, 2, 3, . • • , n )
^,„ (a^i ) = e -^k
[3]
S. Por otra parte <UM(^.) debe ser analítica en el plano inferior, y las únicas
singularidades las tendrá en el serniplano superior; es decir, en los puntos ^i;i (j = 1, 2,
... , r), pudiendo escribirse de la forma:
Ym(ti )
^rn(^) _
[4]
r
^^ (^.
- R^i)
j^1
porque ^i^i pertenecen al semiplano superior y no son necesariamente imaginarios puros.
6. La forma [4] no madi^ca las condiciones de la [2] porque `i' m(^. ) sigue siendo
analítica en el semiplano superior si Y,"(^.) es una función entera. Pero ^,„(^.), cuando
^^ ^-^ x, , no tiene que superar a alguna potencia entera de ^^ y de forma que {2]
dec rezca con ^ ^. ( - ^ ^ .
7.
La función entera y,„(^. ) cumplirá las condiciones si es de la forma
Y m(^^ ) = Aa + A,^, ^^ A^. ^ + . . . + A„_ ^^,"- I
[5]
De la [4] y [S] obtenemos
.
A^, + A^^, + A^.^ +... + A"_^^."-I
- t^^(^.) I-_I c a^
- a^i) = ^
C6]
j^l
Y las ecuaciones [3] pueden escribirse sustituyendo en la [6]
^q,o + A ^aki + A,(a ki )Z + . . . + A„ - I(^k ^ }"-1 r
- ^ -akm 1 ^ (^ k'
j^l
- Rri ) ^ ^
(k - 1, 2, . . . , n )
El sistema [7] , para que sea compatible con [6] el determinante formado por los
coeficientes de las incágnitas (Ah, h= 0, ..., n -1) y los términos independientes,
deberá ser cero.
124
ESTADISTICA ^SPAIVOLA
Por lo que
r
h" -1
c^,^(^,
[^ j (^ - a,i >
j=1
r
l
«,;
(«,i)2
. ..
(x,lÍ"-^
e'a^
1
« ^i
(«^)1
. ..
(^c2^)^- i
e ^°`,^rr^
...
......
«Mt
(«R; )1
........
^ («,^ - aj+)
j =1
r
^.1 ^« 2^ - ^jl )
j^l
=4
[ 8J
..............
r
1
...
E' -aNm
(«rr; )"-1
^ ^ (^ ^' - ^^' >
j=1
8. La función característica la deduciremos de forma parecida a como dedujimos la
[ 17] , a partir de la [ ló] de la seccián sexta. Multiplicaremos la columna k+ 1 por ; k
,
(k = l, 2, ..., n - 1) y la última columna por ;r. (introduciendo i dentro de! factor
rr^ultipticativo), y como
r
r
jr^ (^. - ^iji) _ ^ (i1^ + ^ij)
[9]
^I^ 1
j= ^
después de efectuadas estas operaciones dividiendo la primera fila de [ 8] por la [9]
tendremos
^
1
(;^^ )^-1
(; a,, )
^,n(^ ^
r
r
r
^ ( t ^. -^- ^ j ^
^ (1 ^t
j=1
j=1
i-
aj^
^^ ( l ^,. + ^^j ^
j^l
r
1
-- a ,
(_^,)n-1
...
e -ac,m
^1^j - x,^
j=1
= 0 [ 10]
r
1
(^Ji2)^-1
...
e`"a2^^
^ (^j -
OL2)
j=I
...........................
.
.................................
r
--^tn
1
' -'an)rr--1
. ..
e -anm C^ (F'j - «n)
j=1
por ser
r
;r ^ («k; - ^jt) _
!=t
r
r
^ (12«k + ^jj) _ rI (Rj -- ^k)
j=1
j=1
[11]
TEORIA DE l.A PREDICCION DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
12S
Haciendo una partición de la matriz del deterrninante en la primera fila con 1 x n=
= M, y la última columna en dos, el determinante [ l0] puede escribirse:
M, ^Am(^) + 0
M^
O+ r^
M, ^^(^} + M, 0_
U
M2 O
M2 n
_
[ 10' ]
siendo M, la matriz 1 x n de la primera fila; M2 la matriz cuadrada de ias n x n
siguientes filas formadas por etementos (-ati)k-1; fl la matriz de la última colurnna de
los productos en que aparece este símbolo. Y O la rnatriz columna formada por
elementos nulos.
De la [ 10'], despejando ^^,(^.), tenemos:
^^(^) _ (_ 1)n+
[ 12]
La característica espectral de extrapolación [ 12J, recordando la descomposición
hecha, puede escribirse ^nalmente:
(í^. )
1
r
[^1(^^ -^- a;)
^^ I
^ (^^. + a^^
;_ ^
1
--a,
( !^ )" ^.'
...
r
O
r
;^I^1(^^
I -f- ^;)
r
( --1)"+ ^
(-a,)"-I
E, --a ,rn r^ ^f^ j ,
x,)
j31
r
1
(-^2Ín^l
-a 2
e -a ^ ^1 (^j -
a2)
.................................................................
r
1
(^,^e ^ ^l. )
-^cn
(--OCn)^-^
e-ac^rn
^^ (Rf - ah)
j=1
_
[13]
siendo
IM=I =
1
--x,
...
(--0^,)n-I
1
--a2
.,.
(--a2)^-1
...
_a A
...
(_a R^^-^
ESTAUISTICA ^SPAlVOLA
9. La fórmula de extrapolación la obtendremos muitiplicando la [ 13] por e'^rd^(^> e
integrando respecto de ^ en todo eje real, recordando (7] y como la variable se
encuentra en la primera línea, multiplicaremos e integraremos los elementos de esta
linea. E1 elemento cofactor a^,,^+ ^ estará formado por integrales del tipo.
x
@^^t(l^t)k^(^Í
[15]
r
x ^ 1 ^^ a^ -}- a> >
ja^
recordando las fórmulas (1 lj del apéndice maternático, y que son complejas.
4bservaciones impnrtantes
1.a
La caracteñstica espectral para la extrapolación lineal (13] de procesos estacionarios de f. de d. espectral [ 1] presenta las dificultades indicadas en [9].
Fara eliminar las integrales [ 15] que aparecerían en la extrapolación, puede desarrollarse la [ 13] por los elementos de 1a primera fila, escribiendo de nuevo.
A
^ Ak- ^(í^)k^ ^
k^t
^ ^ (!^. )
_
[ 1 b]
r
^^(R;+^^^
^ =l
Ak _ ^ son los coeficientes relacionados con los adjuntos de los elementos {i^,)k- ^ del
determinante [ 13j , pero recordando el signo y el denominador [ 14] .
Según [ 1] por ser n>:r, el grado del numerador de ia [ló] será mayor o igual que el
denominador. Efectuando la división el cociente será un polinomio de (i^.) y de grado
n-- r- 1. E1 resto se descompondrá en fracciones simples, lo que permite escribir la
[ 16] así
r
^ (!^. )
= BO -^- B ^ ( t ^t. ) -^-
+ Bn_r_1(1%„)n^r^l -^-
^
CJ
^
a^ + ^^
;^^
Los coeficientes Bh se deterrninan pvr simple división y tvs C por la.s conc^cidas
fórmulas de descomposición en fracciones simples y que tanto se utilizan en cálculo
integral. Multiplicando la [16'] por e^^^d^(h) e integrando, tendremos que la mejor
TEORIA DE LA PREDICCION DE LOS PRC)CESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
127
fórmuta de extrapolación lineal para procesos estocásticos con f. de d. espectra] [ 1) es
de la forma
.
^{t -F- m) = Eo^(t) + B^^(t) -+`
^(n-r-1)
Bw-r-1^.,
^t)
+
x
^
e'^^^j ;(t - u^ )du^
[ 17]
0
recordando las [8] y[9) del apéndice matemático.
La [ 17] carece de integrales [ 15] y resuelve la dificultad expuesta en [9) utilizando el
vaior del proceso y el de sus derivadas (hasta el orden n- r- 1) en el momento t y
tantas integrales simples del proceso (combinadas exponencialrnente de toda la historia
pasada) como valores diferentes reales y positivos Rj posea el numerador de [ 1].
2.$ Si el numerador de ia [ 1] tuviese raíces múltiples, la f. de d. espectral sería de
la forma:
^
^^ (^ 2 + a.r) r^
✓ (^) = ja I
A
^ (^,2 + ock)
k=I
sin perder generalidad supondremos que la [ 18) fuera:
^(^l,)
r
= (^ 2 + ^ 2 ^ r
< n
[ 18^)
n
^ (!^, 2 + a k )
k=I
En este caso la característica espectral [ 13] habrá que modificarla de acuerdo con la
[ 18] y se sustituirán los términos de la [ 13] por sus modificados
r
^
j=1
(t^t,
(^2 + ^2)r
[ 19 a]
^ (^ - «h )r
[ 19 b)
+ Rj) --^
r
^^ ^^.i ` a h )
j= I
(h= 1,2,... ,
128
ESTADISTICA ESNAÑQL,A
La característica espectral desarrollada [ lb] se convierte
A k_ i(i^ l,t- i
^_,
^(^) _
[20]
(P + i^).
Según [ 18'] el numerador de [20] será de grado superior al del denominador. Dividienda y descomponiendo el resto en fracciones simples, podremos escribir la [20] así
r
^(^l, ^
= B0 + B (1
1 ^1. )
-^-
...
+ B ^-r-1 ( 1 ^t,
)w -r - ^ +
^
j,^^
Cj
[20']
([i + i^,)J
Las constantes Bh, C f no dependen de (i^) y se determinan las primeras par simple
división y las segundas por cualquiera de los rn^todos usuales de descomposición en
fracciones simples.
En consecuencia, multiplicando la [2(1'] por e^^^d^(^,) e integrando en R, tenemos que
la mejor fórmula de extrapolación lineal para procesos estacionarios con f. de d.
espectral [ 18'] recordando las [8] y[ 10] del apéndice
^
^(t + m) - Bp^^t) - ^- B^^'(t) -^ ... + B1e-r-1^,^^-r^^(t)
r
+
^
^o
e "^uj- ^^ (t - u )du
[21]
;_^
Esta fórmula utiliza los valores del proceso y de sus (n - r- 1) derivadas en el
momento t; y r integrales sirnples (parecidas a las integrales gamma) sobre toda la
'hi'storia pasada 23.
3.a
Finalmente, es innecesario advertir que para aplicar probabilidades y conocer el
grado de precisión de la predicción completaremos ias fórmulas con la varianza residual
que sabemos es
Q^ ^ B(0) -
_^
^^U(^)^^f(^)d^
[22]
La dificultad del cálculo de la [22] se simplifica por las propiedades de las variables
complejas, utilizando el teorerna de residuos de Cauchy.
23`Obsérvese que si r= 4 desaparecen las integrales y nos queda una expresión semejante a la
[8] desarrollada de la sección anterior.
TEORIA DE LA P'REDICCION DE lAS PROCESOS EST^CASTICOS ESTACI©NARIOS
10.
1Z9
EXTRAPOLACION LINEAL DE LOS PROCESOS NO ESTACIONARIOS
10.1. Expondremos algunas ideas para la predicción de los procesos evolutivos, ya
que nuestro trabajo se ha ceñido exclusivamente a los procesos estocásticos de tip^a
estacionario.
En estos procesos estacionarios las funciones de covarianza definidas por las fórmulas [S a] y[S b] del apéndice son funciones exclusivamente de ía difcrencia de tiempos;
y si se conoce su forma y puede determinarse la transforrnada de Fourier se conoce rá la
funcíón de densidad espectral asociada al proceso. Si 1a función de densidad espectral
coincidiese con alguno de los tipos de funciones de densidad espectral estudiada.s,
obtendremos los predictores lineales óptimos.
10.2. Un caso particularmente interesante y en los procesos estocásticos de parámetro t continuo es cuando la función de covarianza es una función analitica. En este
caso el proceso estocástico continuo cuadrático es predecible exactamente y por medio
de un desarrollo de Taylor del proceso en el tiempo t, para determinar en el t+ m
(m >; 0); es decir: se precisa el conocimiento de todas las derivadas m.c . del proceso
en el punto t y evidentemente, aunque teóricamente pudiera calcularse, pr^esenta
dific ultades prácticas.
10.3. En los procesos evolutivos, caracterizados por modif car la esperanza rnatemática o la ley de probabilidad con el tiernpo, puede plantearse a veces problemas de
descomponerse el proceso en una componente sistemática g(t) que depende del tiempo
y en un proceso estocástico [^ (t), t E z] débilmente estacionario, cuya esperanza
matemática es constante (transformándose en esperanza nula) y la ley de probabilidad
es independiente con una traslación del tiempa.
Es natural que esta descomposición del proceso evolutivo pueda escribirse
^(t) = g(t) + ^(t)
{t E Z}
[1^
No es tan sencillo descomponer los procesos en la componente funcional sistemática
g(t) y el prooeso ^(t). Del proceso r^ (t ) tenemos una realización que es una serie
cronológica muestral y por un tratamiento especial de ciertas operaciones efectuadas,
denominado ^filtrado», obtenemos otra serie que goza de propiedades, pero que se ha
eliminado la componente sistemática y nos permite estudiar el espectro de esta nueva
serie filtrada o la de la serie residual.
Si conociésemos g(t) (o lo estirnáramos por arjuste), lo eliminaríamos del proceso
r^ {t) y obtendriar^nos estimaciones de los errores residuales ^(t}; estimaremos las funciones de covarianza y también estimaremos el espectro, y si éste perteneciese a uno de
ESTADtSTiCA ESPAÑ()LA
13O
los tipos indicadas la predicción del proceso en el tiempo t+ m podría descamponerse
en dos:
1.° La componente sistemática funcional conocida o estimada de los datos en el
tiempo t + m, es decir, R(t + rn^; y
A
2.°
La extrapolación del proceso residual estacionario ^(t + m).
10.4. El análisis de los espectros de las series original y residual nos informa sobre
las componentes frecuenciales de mayor importancia en ambas series y puede inferirse
que en la serie original exista una gran tendencia, variaciones estacionales o cíclicas,
etcétera, y también si el espectro de la componente residual é ste fuere originado por un
praceso purame nte al eatorio , de med ias móviles, autorregresivo, etc ., en cuyo caso
tendremos un método analítico para conocer mejor la forma de predicción del proceso
evolutivo.
E1 conocimiento del espectro en puntos aislados, por ejemplo: ^. = U si la f. de d.
espectral fuese muy grande, nos informa de la tendencia; y si fuese en otros puntos
podría indicarnos existencia de componentes estacionales o ciclicas y que nos informan
sobre la naturaleza intñnseca y de las componentes frecuenciales más importantes y
que influyen en las varianzas; en consecuencia: considerar los armónicos precisos
y ajustar sus cceficientes.
10.5. En los casos sencillos puede plantearse la hipótesis que el proceso evolutivo
sea de la forma
^(t) = x(t) + E^
(2]
t EZ
siendo Er un proceso puramente aleatorio y con las características conocidas en Econometría
EE,=O
EEi =a2
EE,•£a=0
t
tltEZ
tlt,sEZ
( 3]
$s
y g(t) un polinomio de grado desconocido.
De las hipótesis deducimos
E^(t ) = S (t) + EE^ = g (t)
[4]
Este proceso, aunque sea evolutivo en media, es estacionario en función de covarianza porque
B(t - s) = E(^(t) - g(t)[^(s) - S(s)])
= EE, • E, = o
t# o
t - s
[S]
TEORIA DE LA PREDICCION DE LOS PRQCESUS EST(lCASTICOS ESTACIONAR105
131
es decir, la f. de covarianza depende de la diferencia de tiempos. Este hecho nos
permite tomar diferencias finitas en !a [ 2] :
dk^(t) -^ L^kg(t) + L^^ kEr = L^^kE,
por cuanto g(t ) es un polinomío de grado k- 1, según hipótesis, aunque el grado sea
desconocido.
E n consec uencia:
Eek^(t) -- Et1kE, - 0
La media muestral de la diferencia k de la serie cronaltígica será aproximadamente
cero.
`
La varianza de la diferencia del proceso es
^[d^`^(t)^ --
ti'(DkE^) ^
2
2k
k o^
Las varianzas muesirales de las diferencias sucesivas
^^(t ),
e2^tt), ^3^(t),
...,
^k^(t), ..., Ok'^(t)
las dividiremos por los coeficientes
r 2k 1
C 1 I . 1 2 J . ( 3^ , . . . , ( k ) . . . . ,
t k'
/ \
/
J
Si la estimación de la varianza a^ en las rnuestras de estas diferencias sucesivas
aproxirnadamente es constante a partir de la diferencia k, entonces puede afirrnarse que
el grado del polinomio es del orden k-- 1. Examinados los espectros de las diferencias
finitas sucesivas formadas si Ilegamos .a uno, el de la diferencia k-- 1 que sea prácticamente constante el espectro, entonces el proceso puede ser de la forma [2].
En este caso, ajustaremos un polinurnio de grado k- 1 a la serie cronolágica
observada correspondiente al proceso [2] y determinados los coeficientes del ajuste, la
predicción óptima será
^
^ (t + m) ^ -^; (t + m)
no influyendo para nada los vaiares de Er po ^r su incorrelación con el pasado.
10.6.
Las diferencias finitas san ^filtros» y el m^toda de otros flltros se emplea
para reducir las series a procesos de tipo estacionario, que han sido los más estudiados.
Un «flltro lineal» es un conjunto de operaciones realizadas en una serie para obtener
otra que reúna ciertas condicianes: carezca de tendencia, de estacionalídad, etc.
1 ^?
ESTADISTfCA ^SPAÑOLA
Existen numerosos ^Itros. Indicaremos el de Parzen 24, Granger ^s, Fischman 26, etc.
Parzen utiliza un filtro de tipo de proceso autorregresivo cuyos parámetros los ajusta
y suprime aqueltos términos cuyos coeficientes no son significativos.
De la serie original elimina ia serie a,^ ustada y obtiene una serie residual y estudia los
espectros de la original y de la serie residual. Su idea es continuar el m^todo hasta
w
encontrar una serie residual ^(t), cuyo espectro prácticamente es constante y corr^esponda al proceso de perturbación aleatoria. Entonces se ha encontrado et proceso
ajustado y para la prediccián utiliza una serie de tipo autorregresivo con los parámetros
estimados y que son significativos y no han sido eliminados.
^
1~inalrnente sugerimos el empleo para vatores residuales ^{t) de la prueba de
Durbin-Watson, que nos permite conocer si la serie residual está incorrelacionada o no y
en el prirner caso el espectro de esta serie residual será aproximadamente constante.
APENDICE
Il.
REPRESENTACIONES ESPECTRALES
l 1.1.
REPRESENTACIbN ESPECTRAL DE UN PROCESO ESTACIONARIO
E1 fundamento del análisis espectral se basa en el hecho de que todo proceso
estocástico estacionario {^(t), t E T} (siendo ^(t} una variable aleatoria para un valor
fijo de t) puede descomponerse en oscilaciones sinusoidales aleatorias de frecuencias
diferentes y cuyas amplitudes estocásticas elementales son mutuamente ortogonales.
Concretando, la representación converge en media cuadrática
z
^(t) =
e^^.r^(^}
^1^
A
EI conjunto {^, E^. } puede ser (--n ,+n ) si t E Z, siendo Z el conj unto de los
24 E. Parcen: «The Rule of Spectral Analysis in Time Series Analyssis^ . Review of the
Internationol Statistical Institute, vol. 3S, 2, 12S a 141, 1%7.
2s Granger and Hatanaka:
Spectral Analysis of Economic Time Series. Princetown University
Press, 1964.
(Véase mi tesis, pág. 125, que rectifico el de este autor por no cumplir las condiciones
prec isas. )
2^ Fischman, G. S,: Spectra! Methods in Econometries. Hardvard, University Press, 19b9.
TE4RIA DE LA PREDICCIUN DE LUS PRUCESOS EST4CASTICOS ESTACIONARIOS
1^3
números enteros; y si t E R{^. E R} . Las amplitudes aleatorias del parámetro ^,
(denominado frecuencia) son d; (^.) y goza de las propiedades
Ed;(^) = 0
E^d;(^,)^2 = d F(h) = f(^,)d^
__._._..
k ^ h'
Ed^ (^ }d^ (k) = U
[2l
donde el operador E representa la esperanza maternática.
AI proceso
{;(^), a^ E n }
[3l
con las condiciones señaladas en (2] se le denomina proceso de incrementos ortogonales.
La función F(^.) asociada al proceso [3] se la denomina función de distribución
espectral y goza de las propiedades de ser monótona, no decreciente y acotada cuando
la varianza del proceso [ l] sea finita. A la derivada, si exisie, de la función F(^ >-que
representamos por f(^.}- se denomina función de densidad espectral.
l^.2.
REPRESENTACIÓN ESPECTRAL DE LA FUNCIÓN DE COVARIANZA
Es importante señalar que todo proceso estocástico estacionario [ 1] la función de
covarianza es una esperanza matemática
[4]
E^(t + h)^(t) = B(h)
donde ^(t) es el proceso conjugado y la función de covarianza B(h) depende de la
____
diferencia de tiempos. Si el proceso fuere real, ^(t) _^(t). Para mayor generalidad
expositiva supondremos el proceso sea de tipo complejo.
Por el teorema de Khinchine, la representación espectral de la función de covarianza
de un proceso estacionario {^(t), t^ T} es semejante a la del proceso
x
B(t) =
,^
elr^d F(^^) .-
^
e;^rf(h,)d^,
e^^rdF(^,) =
B(t) '
_,^
e,^rf^^.)d^.
_n
t E R
t EZ
[S a)
[S b]
^ ^^
ESTAOISTICA ESPAÑOLA
La función de dens^dad espectral es la transformada de Fourier de la función de
covarianza y existirá si y solamente si
^
_^ B (r) r < ^c
[6 a]
^ ^ ac^^^ < ^
[6 b]
que garantiza la existencia de la derivada de la función de distribucián espectral F(^).
Las representaciones espectrales [S] son más generales las fórmulas cuando aparece
d F(^ ), pero los casos prácticos que estudiaremos son cuando F(^. ) tenga función de
densidad espectral f(ti ).
11.3.
REPRESENTACIÓN ESPECTRAL m. c. DE LAS DERIVADAS DE UN PROCESO
ESTOC^STICO [ 1]
E1 operador derivada D, aplicado sabre el proceso [ l^ si es estacionario, tiene por
representación espectral
D^(r) -- lím ^(t + h) - ^(^)
h-•o
h
^ l^m
^
ti-•o
f=.
^
^ e1^`^r+h)
_^
h
- er^^ d ^,
^( )
r^P ^^^d^ (^ )
En consecuencia, aplicando el operador n veces sobre ^(t) tenemos:
.^
^" (t) = D"^(t ) ?
11.$.
(l^,)ne,^^d^ (^)
_x
REPRESENTACIbN ESPECTRAL DE
^o
e l^uu"^ (t - u)du
0
dande ^(t) es un proceso estocástico estacionario.
^>:0
[8]
TEORIA DE LA PREDICC IC1N DE LOS PROCESOS ESTOCASTICOS ESTACIONARIOS
13S
Primeramente deterrninaremos la representación espectra! cuando n= 0. Así, sustituyendo ^(t) por su representacicín espectral [ lj cuando: A= R tenemos:
^
er^(l
-k^d ; (^.) du -
_ ,^
^
^
°^ p ^^.rt d^ (?^)
^, -- (^+i7^)^du
E, i^r
_x
d;(^) =
_x R + i^,
o
x
o
^^;^rd^(t..)
e-^y;(t -- u)du -
_ ^a + t ^^
[ 9)
Derivando con respecto a! parámetro a, n veces, tenemos:
^
e ^^u^^(t - u)du = ^n
e^^rd^ C^)
-
(
[ 10]
+ ^ h)"
No damos más que unas breves nociones para cornprender nuestro arU`c ulo, prescindiendo de un rigor matemático excesivo.
11.5.
UTRAS REPRESENTACIONES ESPECTRALES
Representaciones espectrales de
r
e-^^^^ (k
x
i_
t-- ^ u^i ^^ d u^
^ =I
.la^
e r^t(t'^,}kd ; (^)
^
I^ I (a^ + i ^ >
a;>:o
«; > : o
fórmula deducida en nuestra tesis, pág. 169.
11.6.
FUNCIÓN DE DENSIDAD ESPECTRAL
Esta función de densidad f(^.) representa la contribución a la varianza del proceso en
el intervalo infinitesirnal ^., ^. + d^. y en el campo de la frecuencia A, la varianza
infinitesimal en el _punto ^. es
^(h) • d^,
ESTADISTICA ESPATriUI_A
I 36
Luego, en todo el campo de ^.(--^, +sc) si el proceso es de tipo discreto ( t E Z) o en
el eje real ^ E R sí el proceso es de tipo continuo.
La función de densidad espectral es la transformada de 1~ourier de la función de
covarianta y es igual a:
1
P-;^r g(t)dt
^ER
[ 12 a]
ti E(- n,-^- n)
[ 12 b)
2n ,J_ x,
1
x
g(n )e -;^,M
M=-^J
debiendo cumplirse las condiciones indicadas en el núrnero 2 de este apénd ice (fórmulas
6 a y 6 b) que garantizan la existencia de función de densidad espectral.
Si se trata de ia [ 11 aJ t E R y nos encontramos ante la pr+esencia de la función de
densidad espectral c^ue corresponde a un proceso esto^cástico de parámetro t y^. E R.
En el caso [ 1 l b] se trata de un proceso de tipo discreto y n E Z.
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úel ruso). Prentice-Hall, New Jersey, 1962.
SUMMARY
The theory of prediction may be studied either in the domain uf time by
constructing mathematical model or by spectral analysis in ihe frequency
domain.
Mathematical madeis are either deterrninistic or stochastic.
Both have
been extensively studied but the stochastic moclel invulve difficult mathematical techniques.
The election of a rnodel is very subjetive «in the domain of time» and it
is enough complicated but in domain af frequency when density spectral
function is known, then it is very easy encounter the linear form of the
prediction.
The subject is treated with a rigour and is divided into two parts when
the process stochastic is a discret parameter or a continous one.
The author studies the theory prediction of stochastics stationary processes «in the frequency dornain» when the spectral density function of
type rational is known.
He has developed xhe general and important form
of the spectral characteristics of extrapolation and their properties are
described in form of determinants.
A large number of exemples have been derived on a riguruus mather^natical basis.
The econometrics models as moving adverage, autorregresive processes,
or Markov type, have the spectral density function anci if we know f«rm of
the spectral density the prediction of the future may be based upon the
knowledge of the past and the prediction wíll be optimal.
ESTA[)ISTIC A ESNAÑOl..A
lt is very difficult the prediction of the future when the processes
st^chastics are of parameter continous. In these cases the formulas are
very difficult, ihe best linear prediction are derives or combinated with
integrals af the process, which is studied.
Key w^ords: Spectral analysis, stochastic processes, extrapolation or forecasting, Hilbert space.
AMS, 1970. Sub^ect classification: 62M20.