Tema 6: Un modelo b[sico de equilibrio general din[mico

Tema 6: Un modelo básico de equilibrio general dinámico
José L. Torres
Universidad de Málaga
Hora 34 (1 diciembre 2009)
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 34 (1 diciembre 2009)
1 / 12
Tema 6: Un modelo básico de equilibrio general dinámico
Estructura del tema:
1
Los consumidores
2
Las empresas
3
Equilibrio del modelo
4
El modelo con impuestos
5
Ampliaciones al modelo básico
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 34 (1 diciembre 2009)
2 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Problema Plani…cador Centralizado:
∞
max
∑ βt
(C t ,It ,O t ) t =0
γ log Ct + (1
γ) log(Nt H
Lt )
(1)
sujeto a:
Ct + It = At Ktα L1t
α
(2)
Lagrangiano:
∞
max
(C t ,K t ,O t )
L=
∑ βt
t =0
[γ log Ct + (1 γ) log(1 Lt )]
λt Ct + Kt +1 (1 δ)Kt At Ktα L1t
α
(3)
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 34 (1 diciembre 2009)
3 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Condiciones de primer orden:
∂L
1
=γ
∂C
Ct
∂L
=
∂L
1
1
γ
+ λt (1
Lt
∂L
= βt λt (αKtα
∂K
∂L
= Ct + Kt +1
∂λ
José L. Torres (Universidad de Málaga)
λt = 0
1 1 α
Lt
(1
(4)
α)At Ktα Lt
+1
δ ) Kt
βt
δ)
α
1
λt
At Ktα L1t
Tema 6: Equilibrio general dinámico
=0
1
α
(5)
=0
=0
Hora 34 (1 diciembre 2009)
(6)
(7)
4 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Sustituyendo obtenemos:
1
Ct
γ
γ
1
Lt
= (1
Ct
= β αAt Ktα
Ct 1
José L. Torres (Universidad de Málaga)
α)At Ktα Lt
1 1 α
Lt
+1
Tema 6: Equilibrio general dinámico
α
(8)
δ
(9)
Hora 34 (1 diciembre 2009)
5 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
SOLUCIÓN: Dos ecuaciones en diferencias:
Ct = β αAt Ktα
Kt + 1 = ( 1
1 1 α
Lt
+1
δ)Kt + At Ktα L1t
δ Ct
α
1
(10)
Ct
(11)
más una ecuación estática que nos relaciona la oferta de trabajo con
el salario real:
1
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Ct
γ
γ
1
Lt
= (1
α)At Ktα Lt
Tema 6: Equilibrio general dinámico
α
Hora 34 (1 diciembre 2009)
(12)
6 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Por tanto ahora la solución del problema consiste en encontrar
fCt , It , Kt , Lt , Yt gt∞=0 , tal que se cumplan las condiciones que de…nen el
equilibrio. La estructura de la economía viene por tanto de…nida por el
siguiente sistema de cinco ecuaciones:
(1
γ)
γ
Ct
1
Lt
= (1
Ct +1
= β αAt Ktα
Ct
α)At Ktα Lt
1 1 α
Lt
Yt = At Ktα L1t
Kt + 1 = ( 1
+1
α
δ
α
δ)Kt + It
Tema 6: Equilibrio general dinámico
(14)
(15)
(16)
Ct + It = Yt
José L. Torres (Universidad de Málaga)
(13)
(17)
Hora 34 (1 diciembre 2009)
7 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Para calcular el estado estacionario, en primer lugar, eliminamos los
subíndices de tiempo de las variables. Esto signi…ca, por ejemplo, que
tendríamos ... = Ct 1 = Ct = Ct +1 = ... = C . Por tanto, el modelo
podemos de…nirlo como:
(1
γ) C
= (1
γ
1 L
1 = β R +1
α
α)AK L
α
(19)
δ
α 1 α
José L. Torres (Universidad de Málaga)
(18)
Y = AK L
(20)
I = δK
(21)
C +I = Y
(22)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 34 (1 diciembre 2009)
8 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
De la ecuación (19) obtenemos directamente que el tipo de interés
real de equilibrio viene dado por:
R=
José L. Torres (Universidad de Málaga)
1
+δ
β
1
Tema 6: Equilibrio general dinámico
(23)
Hora 34 (1 diciembre 2009)
9 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
Lo primero que hacemos es poner todas las variables en función del
nivel de producción de equilibrio. La expresión (19) la podemos
escribir como:
1=β α
Y
+1
K
δ
Resolviendo para K resulta:
K =
José L. Torres (Universidad de Málaga)
1
αβ
Y
β + βδ
Tema 6: Equilibrio general dinámico
(24)
Hora 34 (1 diciembre 2009)
10 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
En segundo lugar, usando (21) y dada (24) la inversión en equilibrio
vendría dada por:
I =
1
αβδ
Y
β + βδ
(25)
En tercer lugar, usando las expresiones (22) y (25) otenemos que el
consumo en equilibrio sería:
C =
José L. Torres (Universidad de Málaga)
1
β + (1 α) βδ
Y
1 β + βδ
Tema 6: Equilibrio general dinámico
(26)
Hora 34 (1 diciembre 2009)
11 / 12
6.3. Equilibrio del modelo (Dictador benevolente)
A continuación, usando la expresión (18) obtenemos que:
L=
(1
γ ) (1
γ (1
β + (1
α)(1 β + βδ)
α) βδ) + γ(1 α) (1
β + βδ)
(27)
Finalmente, sustituyendo (24) y (27) en (20) llegamos al valor de
equililibrio para el nivel de producción de la economía:
α
Y
1 α
αβ
= A
1 β + βδ
γ(1 α)(1 β + βδ)
1+
(1 γ) (1 β + (1 α) βδ)
1
1 α
(28)
(29)
Una vez obtenido el estado estacionario de la economía, ya podemos
proceder a transformar en estacionarias las variables de la economía y
calcular la desviación de cada una de ellas respecto a su estado
estacionario.
José L. Torres (Universidad de Málaga)
Tema 6: Equilibrio general dinámico
Hora 34 (1 diciembre 2009)
12 / 12