Análisis Numérico en Fenómenos de Transporte Semestre 2009

Análisis Numérico en Fenómenos de Transporte
Semestre 2009-2
Dr. Bernardo Hernández Morales
Cristalización de K2 CrO4 1
Se combina una corriente de 4500 kg/h de una disolución acuosa de K2 CrO4 (33.3 % en masa
de K2 CrO4 ) con una corriente de recirculación que contiene 36.36 % en masa de K2 CrO4 en agua,
para alimentar a un evaporador. La corriente concentrada que sale del evaporador contiene 49.4 % en
masa de K2 CrO4 y se alimenta a un cristalizador para luego filtrarse. El filtrado consiste de cristales
de K2 CrO4 puro y una disolución acuosa que contiene 36.36 % en masa de K2 CrO4 ; los cristales
representan el 95 % de la masa total del filtrado.Calcula:
• La masa del agua extraída en el evaporador
• La rapidez de producción del K2 CrO4 cristalino
• El cociente (kg de flujo hecho recircular)/(kg de alimentación fresca)
• Las rapideces de alimentación para el evaporador y el cristalizador.
Objetivos de cálculo
• Masa del agua extraida en el evaporador
• Rapidez de producción del K2 CrO4 cristalino
• Cociente (kg de flujo hecho recircular)/(kg de alimentación fresca)
• Rapidez de alimentación al evaporador
• Rapidez de alimentación al cristalizador
Por lo tanto, se tienen 5 incógnitas directas
Alcance
• Dinámica del sistema: edo. cuasi-estable
• No se realizarán cálculos de energía térmica ni mecánica (aún cuando: 1) el sistema NO es
isotérmico y 2) quizás se requieran de, por ejemplo, bombas para transportar a los materiales)
1
R. M. Felder y R. W. Rousseau. Principios Elementales de los Procesos Químicos. 2da. ed. Addison-Wesley,
1991. Pp. 124-125.
1
Diagrama del sistema
A: alimentación fresca (33.3 % K2 CrO4 ) = 4500 kg/h
B: alimentación al evaporador
C: agua extraída en el evaporador (100 % H2 O)
D: alimentación al cristalizador o salida del evaporador (49.4 % K2 CrO4 )
E: salida del cristalizador (95 % de cristales (100 % K2 CrO4 ); 5 % disolución acuosa (36.36 %
K2 CrO4 ))
F: flujo de recirculación (36.36 % K2 CrO4 )
NOTA: Es coincidencia que la composicón de F sea idéntica a la de la disolución acuosa de E
Es importante distinguir entre:
• Alimentación fresca (A)
• Alimentación al evaporador (B)
2
Características y alcance
• Balance macroscópico de materia
• Proceso continuo
• Dos unidades de proceso
• Hay una corriente de recirculación
• Estado cuasi-estable (Amateria = 0)
• Sistema no reaccionante
• Unidad de cuantificación: masa por unidad de tiempo (kg/h)
Estrategia
• Aplicar balances macroscópicos de materia: E + G = S + A
• Los balances se aplicarán por unidad y global, por componente y para la mezcla
• Relaciones auxiliares: 1) definición de fracción masa; 2) sumatoria de fracciones masa para cada
corriente; y 3) % de cristales de K2 CrO4 (puro) en la corriente de salida del cristalizador
• Resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas resultantes
• Obtener los objetivos de cálculo que no se calculan directamente
• Comprobar los resultados
Implementación de la estrategia
1) Identificar a los componentes y compuestos:
1 ≡ K2 CrO4
2 ≡ H2 O
3
2) Escribir las relaciones conocidas y los balances
Definición de fracción masa
gi =
Sumatoria de las fracciones masa
% masa i
100
2
X
gi,k = 1
i=1
donde i es el componente y k es la corriente.
Entonces:
g1,A
g2,A
g2,C
g1,C
g1,D
g2,D
g(crist,E)
g(disoln,E)
g1,(crist,E)
g2,(crist,E)
g1,(disoln,E)
g2,(disoln,E)
g1,F
g2,F
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
33.3/100
1 − g1,A = 0.667
100/100
1 − g2,C = 0
49.4/100
1 − g1,D = 0.506
95/100
1 − g(crist,E) = 0.05
100/100
1 − g1,(crist,E) = 0
36.36/100
1 − g1,(disoln,E) = 0.6364
36.36/100
1 − g2,F = 0.6364
Relación entre cristales y disolución en la corriente de salida del cristalizador
por lo que
W(disoln,E) = g(disoln,E) WE
¡
¢
= g(disoln,E) W(crist,E) + W(disoln,E)
W(disoln,E) =
g(disoln,E) W(crist,E)
(1 − g(disoln,E) )
4
Balances globales
Balance global de K2 CrO4
E1 = S1
g1,A WA = g1,C WC + g1,(crist,E) W(crist,E) + g1,(disoln,E) W(disoln,E)
¸
∙
g(disoln,E) W(crist,E)
= g1,C WC + g1,(crist,E) W(crist,E) + g1,(disoln,E)
(1 − g(disoln,E) )
donde
WA = 4500 kg (mz) h-1
g1,A = 0.333 kg (1)/kg (mz)
g1,C = 0 kg (1)/kg (mz)
g(disoln,E) = 0.3636 kg (disoln)/kg (mz)
despejando y evaluando
W(crist,E) = 1472 kg (cristales) h-1
por lo que
W(disoln,E) =
g(disoln,E) W(crist,E)
(1 − g(disoln,E) )
= 77.5 kg (disoln.) h-1
5
y
WE = W(disoln,E) + W(crist,E) = 1549.5 kg (mz) h-1
Balance global para la mezcla
E=S
WA = WC + WE
por lo que
WC = WA − WE
= 2950.5 kg (mz) h-1
Balances en el cristalizador
Balance de la mezcla en el cristalizador
E=S
WD = WE + WF
por lo que
WD = 1549.5 + WF
Balance de agua en el cristalizador
E2 = S2
6
W2,D = W2,E + W2,F
g2,D WD = g2,(crist,E) W(crist,E) + g2,(disoln,E) W(disoln,E) + g2,F WF
Ecuaciones del sistema
De los dos últimos balances se tiene:
kg (mz) h-1
WD = 1549.5 + WF
0.506WD = 49.321 + 0.6364WF
kg (2) h-1
Resolviendo el sistema de ecuaciones simultáneas lineales:
WD = 7180 kg (mz) h-1
WF = 5630 kg (mz) h-1
Resumen de resultados
5630 kg (mz) h-1
WF
-1
-1
=
-1 = 1.25 kg (mz) h recirculados por kg (mz) h alimentados
WA
4500 kg (mz) h
Balance global en el punto de mezclado de WA y WF
7
(1)
(2)
E=S
WA + WF = WB
WB = 10130 kg (mz) h-1
Además, ya se había calculado:
WC = WA − WE
= 2950.5 kg (mz) h-1
por lo que
W2,C = g2,C WC = 1 kg (1)/kg (mz) × 2950.5 kg (mz) h-1
= 2950.5 kg (1) h-1
También
W(crist,E) = 1472 kg (cristales) h-1
y
WD = 7180 kg (mz) h-1
Comprobación
Balance global en el evaporador
8
E=S
WB = WC + WD
10130 = 2950.5 + 7180
10130 = 10130.5
kg (mz) h-1
kg (mz) h-1
Solución alternativa
Las ecuaciones del sistema pueden armarse como un conjunto de ecuaciones simultáneas lineales
más grande, que incluyera a todas las corrientes. Esto tendría la ventaja de que el modelo matemático
sería más flexible porque podría utilizarse para diversos escenarios.
9