Econometrı́a de series de tiempo aplicada a macroeconomı́a y finanzas Series de Tiempo no Estacionarias Carlos Capistrán Carmona ITAM Tendencias Una tendencia es un movimiento persistente de largo plazo de una variable a través del tiempo. Una serie de tiempo fluctua alrededor de su tendencia. Existen dos clases de tendencias: I I Una tendencia determinı́stica es una función no aleatoria del tiempo. Por ejemplo, puede ser lineal en el tiempo. Si la inflación se incrementara 0.1 de punto porcentual cada trimestre, podrı́amos escribir esta tendencia como 0.1t, t medido en trimestres. Una tendecia estocástica es aleatoria y cambia con el tiempo. Por ejemplo, una tendencia estocástica en la inflación podrı́a presentar incrementos por un periodo largo de tiempo, seguido por un periodo largo de reducciones. Hay que tener cuidado al definir la tendecia. Si medimos la temperatura entre las 6:00 am y las 12:00 pm, podemos pensar que el proceso que genera la temperatura durante el dı́a tiene una tendencia creciente. Caminata aleatoria o “Random Walk” El modelo más simple de una variable con una tendencia estocástica es una caminata aleatoria. Una serie de tiempo yt sigue una caminata aleatoria si el cambio en yt es i.i.d., esto es, si: yt = yt − 1 + ε t ε t es i.i.d. En general, es común referirse a una serie como caminanta aleatoria si sigue un modelo como el anterior pero con E [ε t | yt−1 , yt−2 , ...] = 0 La idea básica atrás de una caminata aleatoria es que el valor de una serie mañana es el valor de hoy más un cambio impredecible (la trayectoria de yt sigue “pasos” aleatorios). E [yt | yt−1 , yt−2 , ...] = yt−1 . Si yt sigue una caminata aleatoria, el mejor pronóstico del valor de mañana es el valor de hoy. Si la serie tiene una tendecia a moverse, esta se conoce como caminata aleatoria con tendencia (o “Random walk with drift”): yt = α 0 + yt − 1 + ε t Una caminata aleatoria no es estacionaria Si yt sigue una caminata aleatoria, entonces no es estacionaria. La varianza de una caminata aleatoria aumenta con el tiempo, por lo que la distribución de yt cambia con el tiempo: yt = yt−1 + ε t , var (yt ) = var (yt−1 ) + var (ε t ) , var (yt ) 6= var (yt−1 ) Otra forma de verlo es pensando que yt empieza en cero, es decir, y0 = 0. Entonces, y1 = ε 1 , y2 = ε 1 + ε 2 , de tal forma que yt = ε 1 + ε 2 + ... + ε t . Y por lo tanto, var (yt ) = var (ε 1 + ε 2 + ... + ε t ) = tσε2 . A pesar de que las autocorrelaciones poblacionales de una caminata aleatoria no están definidas, las autocorrelaciones muestrales tienden a ser cercanas a 1. Tendencias estocásticas, modelos autorregresivos y raı́ces unitarias La caminata aleatoria es un caso especial de un AR(1) con α1 = 1. Es decir, si α1 = 1, entonces yt tiene una tendencia estocástica y no es estacionaria. En cambio, si |α1 | < 1, entonces yt es estacionaria. Para el caso de un AR(p), la condición que se debe cumplir para que sea estacionario es que las soluciones a la ecuación 1 − α1 z − α2 z2 − ... − αp zp = 0 tienen que ser mayores a 1 en valor absoluto (i.e., las raı́ces del polinomio tienen que estar fuera del cı́rculo unitario). En el caso de un AR(1), la raı́z es z = α11 , por lo que la raı́z es mayor a uno en valor absoluto si |α1 | < 1. Si el AR(p) tiene una raı́z que es igual a 1, entonces la serie tiene una raı́z unitaria y tiene una tendencia estocástica. Problemas ocasionados por tendencias estocásticas Si el regresor tiene una raı́z unitaria, el estimador de MCO de su coeficiente y su estadı́stico t de MCO, pueden tener distribuciones distintas a la normal, incluso en muestras grandes. Esto genera por lo menos tres problemas especı́ficos: 1 2 3 El estimador del coeficiente del autorregresivo en un AR(1) está sesgado hacia 0 si su verdadero valor es 1. Los estadı́sticos t de los regresores con tendencias estocásticas pueden tener una distribución diferente a la normal, incluso en muestras grandes. Dos series que son independientes podrı́an, con alta probabilidad, parecer estar relacionadas si ambas tienen tendencias estocásticas (regresión espuria). Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos De manera informal, podemos detectar tendencias en series de tiempo utilizando la gráfica de la serie contra el tiempo y el correlograma. En particular, si la serie tiene una tendencia estocástica, la primera autocorrelación es cercana a 1, por lo tanto, una primera autocorrelación pequeña y una gráfica contra el tiempo que no muestra una tendencia sugieren que la serie no tiene una tendecia. Un procedimiento más formal consiste en llevar a cabo una prueba de raı́z unitaria. Una prueba muy usada, y una de las más confiables, es la prueba de Dickey-Fuller (1979). Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1) Sea Xt un proceso AR(1): Xt = ρXt−1 + ε t Xt − Xt−1 = ρXt−1 − Xt−1 + ε t ∆Xt = (ρ − 1)Xt−1 + ε t ∆Xt = aXt−1 + ε t . Si ρ = 1,entonces Xt sigue una caminata aleatoria (es no estacionaria), por lo tanto: H0 : a = 0 (i.e. raı́z unitaria) Ha : a < 0 (i.e. serie estacionaria). donde la hipótesis alternativa corresponde a estacionariedad. Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller para el AR(1) Existen tres formas de realizar la prueba: ∆Xt = aXt−1 + ε t ∆Xt = m + aXt−1 + ε t , (i.e., con constante) ∆Xt = m + αt + aXt−1 + ε t , (i.e., con constante y tendencia). estas son distintas dependiendo de qué proceso estocástico se asuma para la hipótesis alternativa. La prueba esta basada en â o en tâ . Si el valor de tâ es muy grande, entonces rechazamos la hipótesis nula de raiz unitaria. El estadistico asociado a â, tâ , es conocido como “Estadı́stico Dickey-Fuller”, el cual posee una distribución diferente a una t, y por lo tanto posee diferentes valores crı́ticos. El valor crı́tico correspondiente a la prueba con un constante, y un nivel de significancia de 5% es −2.86, mientras que el correspondiente a una normal serı́a −1.64. Pruebas de raı́z unitaria en procesos autorregresivos La prueba de Dickey-Fuller Aumentada La prueba se puede aumentar para aplicarla a procesos AR(p), la regresion de la ADF es: ∆Xt = (m+)aXt−1 (+ β 0 t) + β 1 ∆Xt−1 + ... + β k ∆Xt−k + ε t H0 : a = 0 (i.e. raı́z unitaria) H1 : a < 0 (i.e. serie estacionaria). Se realiza la prueba de esta manera, por que en la DF, ε t podrı́a no ser ruido blanco, lo que afectarı́a la distribución de b a. Se utiliza algun criterio de información, como BIC o AIC, para seleccionar los k rezagos. La Prueba de Dickey-Fuller Aumentada usa las mismas tablas que la Prueba de Dickey-Fuller. Cambios estructurales Son otro tipo de no-estacionaridad que surge cuando la función de regresion poblacional cambia durante la muestra. Pueden surgir por cambios discretos en los coeficientes de la regresión o por una evolución gradual de estos. Cambios estructurales Problemas causados por cambios estructurales Si existe un cambio estructural en la muestra y estimamos una regresión utilizando MCO, los estimadores usando toda la muestra estimarán una regresión promedio (van a combinar los dos periodos), lo que afectará negativamente la inferencia y los pronósticos. La magnitud del problema depende de donde ocurra el cambio (en qué parte de la muestra). Cambios estructurales ¿Cómo se modelan los cambios estructurales? La manera más sencilla de modelar los cambios estructurales es por medio de variables dicotómicas (i.e. variables dummy). Supongamos un caso con la siguiente forma poblacional: yt = α0 + ut en la cual exista un cambio estructural en el parametro α0 en el tiempo τ. Definimos la variable dicotómica: 0, t = 0.....τ − 1 D= 1, t = τ.........T Podemos entonces correr la regresión: yt = α0 + γ0 D + ut E [ yt E [ yt | | D = 0] = α0 D = 1] = α0 + γ0 Cambios estructurales ¿Cómo se modelan los cambios estructurales? Si la forma poblacional fuera, yt = α0 + α1 xt + ut , y exisitiera un cambio estructural en la misma fecha que afectara tanto al parámetro α0 cómo al parámetro α1 ,la variable dicotómica se utiliza de la siguiente manera: yt = α0 + γ0 D + α1 xt + γ1 Dxt + ut E [ yt E [ yt | | D = 0 ] = α 0 + α 1 xt D = 1] = (α0 + γ0 ) + (α1 + γ1 ) xt Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales Si la fecha de cambio es conocida, se pueden utilizar variables dummies para probar si existe el cambio estructural. Por ejemplo, sea el modelo poblacional: yt = α0 + α1 yt−1 + α2 xt + ut ut ∼ iid(0, σ2 ) con fecha de cambio estructural conocida, τ. Formamos la variable dicotómica: 0, t < τ D= 1, t > τ Incorporando la dummy a la forma poblacional anterior: yt = α0 + γ0 Dt (τ ) + α1 yt−1 + γ1 Dt (τ )yt−1 + α2 xt + γ2 Dt (τ )xt + u H0 : γ0 = γ1 = γ2 = 0 → No existe cambio estructural en τ H1 : γi 6= 0 i = 1, 2, ó, 3 → Si existe cambio estructural en τ Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales A la prueba descrita anteriormente se le conoce como Prueba de Chow. Los supuestos para poder realizar la prueba de Chow son: I I La fecha de cambio es conocida de manera exógena. La varianza de los errores no cambia, en caso de existir cambios en la varianza, no será posible detectar los cambios buscados. Un punto importante de la prueba de Chow es que es flexible como para poder buscar cambios estructurales en cualquier subconjunto de los coeficientes de la regresion, es decir, se puede probar la existencia de cambios estructurales únicamente en α0 , ó en α0 , α1 , ó en α0 , α1 , α2 , etc. Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida En estos casos, suponemos que el cambio estructural ocurrió entre una fecha τ0 y τ1 (τ0 podrı́a ser el inicio de la muestra y τ1 podrı́a ser el final de la muestra). Se calcula la prueba de Chow para cada una de las observaciones entre τ0 y τ1 . Una vez que se tienen los n estadı́sticos F que se derivan de las n pruebas de Chow, se realiza la prueba conocida como QLR: QLR = máx [F(τ0 ), F(τo + 1), ....., F(τ1 )] Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida El estadı́stico QLR selecciona la F más grande. La fecha correspondiente al estadı́stico F más grande, es la fecha de cambio estimada. Dado que el estadı́stico QLR es el máximo de muchos estadı́sticos F, su distribución no es la de una F individual. Se necesita una distribucion que depende del número de restricciones en las pruebas conjuntas y de τ0 /T y τ1 /T. Las tablas con la distribución del estadı́stico QLR se pueden encontrar en Andrews, D.W.K (2003) Econométrica. Cambios estructurales Pruebas para detectar cambios estructurales cuando la fecha del cambio no es conocida Debido a que la distribución asintótica asume que τ0 y τ1 no están en los extremos, lo que se hace para tener buenas estimaciones es no utilizar el principio ni el final de la muestra. Ası́ si se fija un triming de 15%, τ0 = 0.15T y τ1 = 0.75T, y por lo tanto sólo se utilizarı́a el 70% de la muestra. Bibliografı́a Enders, Walter. 2010. Applied Econometric Time Series. 3a ed. New Jersey:Wiley. Hamilton, James D. 1994. Times Series Analysis. Princeton University Press. Hansen, B.E. 2001. The New Econometrics of Structural Change: Dating Breaks in US Labor Productivity. The Journal of Economic Perspectives, 15(4), 117-128. Stock, James H. y Mark W. Watson. 2007. 2n edition. Introduction to Econometrics. Pearson, Addison Wesley.