Teoría de Colas - MSc. Ing. Julio Rito Vargas Avilés

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
UNI-NORTE
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
INGENIERIA INDUSTRIAL E
INGENIERIA DE SISTEMAS
V Unidad: Teoría de Colas
(Líneas de espera)
de Espera:
Teoría de Colas
Maestro
Ing. Julio Rito Vargas Avilés
12/06/2009
Teoría de Colas
Todos nosotros hemos pasado mucho tiempo esperando
en una cola. Estudiaremos algunos modelos matemáticos
para las líneas de esperas. Estos modelos se usarán para
responder preguntas como las siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
Cuánto tiempo está ocioso cada servidor?
Cuál es el número esperado de clientes presentes en la cola?
Cuál es el tiempo previsto que un cliente debe pasar en la cola?
Cuál es la distribución de probabilidad del tiempo de espera de
un cliente?
Cuál es la distribución de probabilidad de la cantidad de clientes
presentes en la cola?
Las colas…
 Las colas son frecuentes en nuestra vida
cotidiana:
 En un banco
 En un restaurante de comidas rápidas
 Al matricular en la universidad
 Los autos en un lava carro.
 En un supermercado.
 En una estación de combustible
 En un estadio deportivo
Las colas…
 En general, a nadie le gusta esperar
 Cuando la paciencia llega a su límite, la
gente se va a otro lugar.
 Sin embargo, un servicio muy rápido
tendría un costo muy elevado
 Es necesario encontrar un balance adecuado
 Esto es la relación positiva de
Beneficio/costo.
Teoría de colas
 Una cola es una línea de espera.
 La teoría de colas es un conjunto de modelos
matemáticos que describen sistemas de líneas
de espera particulares.
 El objetivo es encontrar el estado estable del
sistema y determinar una capacidad de servicio
apropiada
Teoría de colas
 Existen muchos sistemas de colas distintos
 Algunos modelos son muy especiales
 Otros se ajustan a modelos más generales
 Se estudiarán ahora algunos modelos comunes
 Otros se pueden tratar a través de la
simulación
Sistemas de colas: modelo básico
 Un sistema de colas puede dividirse en dos
componentes principales:
 La cola
 La instalación del servicio
 Los clientes o llegadas vienen en forma
individual para recibir el servicio
Sistemas de colas: modelo básico
 Los clientes o llegadas pueden ser:
 Personas
 Automóviles
 Máquinas que requieren reparación
 Documentos
 Entre muchos otros tipos de artículos
Sistemas de colas: modelo básico
 Si cuando el cliente llega no hay nadie en la
cola, pasa de una vez a recibir el servicio
 Si no, se une a la cola
 Es importante señalar que la cola no incluye
a quien está recibiendo el servicio
Sistemas de colas: modelo básico
 Las llegadas van a la instalación del servicio
de acuerdo con la disciplina de la cola
 Generalmente ésta es primero en llegar,
primero en ser servido(FIFO)
 Pero pueden haber otras reglas o colas con
prioridades(LIFO)
Sistemas de colas: modelo básico
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Disciplina
de la cola
Instalación Salidas
del
servicio
Estructuras típicas de sistemas de colas: una
línea, un servidor
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Servidor
Salidas
Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea,
múltiples servidores
Sistema de colas
Servidor
Llegadas
Cola
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas: varias líneas,
múltiples servidores
Sistema de colas
Cola
Llegadas
Cola
Cola
Servidor
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas: una línea,
servidores secuenciales
Sistema de colas
Llegadas
Cola
Servidor
Cola
Servidor
Salidas
Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el
cliente al esperar
 Representa el costo de oportunidad del
tiempo perdido
 Un sistema con un bajo costo de espera es
una fuente importante de competitividad
Costos de un sistema de colas
2. Costo de servicio: Es el costo de
operación del servicio brindado
 Es más fácil de estimar
 El objetivo de un sistema de colas es
encontrar el sistema del costo total
mínimo
Sistemas de colas: Las llegadas
 El tiempo que transcurre entre dos llegadas
sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo
entre llegadas
 El tiempo entre llegadas tiende a ser muy
variable
 El número esperado de llegadas por unidad de
tiempo se llama tasa media de llegadas ()
Sistemas de colas: Las llegadas
 El tiempo esperado entre llegadas es 1/
 Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es
 = 20 clientes por hora
 Entonces el tiempo esperado entre llegadas
es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
k 
 : tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
e
P(k ) 
k!
Ejemplo: pedido de cervezas
 La cantidad de cervezas ordenadas por hora en el restaurante
Dick. Sigue una distribución de Poisson, con un promedio de
30 cervezas por hora.
1. Estime la probabilidad de que se pidan exactamente 60
cervezas entre las 10 y 12 de la noche.
2. Encuentre la de media y desviación estándar de cervezas
pedidas entre las 9 PM y 1 AM.
3. Determine la probabilidad de que el tiempo entre dos
pedidos consecutivos está entre 1 y 3 minutos.
Solución: (1)
 La cantidad de cerveza pedida entre las 10 y las 12 de la
noche, se apega a una distribución de Poisson con parámetro
2(30)=60. (2 son dos horas entre las 10 y las 12) y 30
cervezas que es el promedio por hora. Por lo que la
probabilidad que se pidan 60 cervezas entre las 10 y las 12 es:
P(k ) 
k e  
k!
6060 e 60

 0.05143174
60!
Se puede usar la función de excel. POISSON(60,60,FALSO)=
0.05143174= 5.1%
Solución…(2 y 3)
 Resulta que λ=30 cervezas por hora; t=4 (9PM a 1AM). Por
tanto la media de cervezas ordenas en ese tiempo es 4(30)= 120.
La desviación estándar en ese período es (120)1/2 =10.95
 Sea X el tiempo (en minutos) entre los pedidos sucesivos de
cervezas. El número de promedio de pedidos por minutos es
exponencial con parámetros o razón 30/60 = 0.5 (treinta
cervezas en 60 minutos). Cervezas por minutos. Por lo tanto la
función de densidad de la probabilidad del tiempo que transcurre
entre pedidos de cervezas a(t )  et  0.5e0.5t (dado que la tasa
de llegada para una cola M/M/1). Entonces.
P(1  X  3)   (0.5e
3
1
0.5t
0.5 0.5t 3
)dt 
e
 e1.5  e 0.5  0.38
1
 0.5
Sistemas de colas: Las llegadas
 Además es necesario estimar la distribución
de probabilidad de los tiempos entre
llegadas
 Generalmente se supone una distribución
exponencial
 Esto depende del comportamiento de las
llegadas
Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
 La forma algebraica de la distribución
exponencial es:
P(tiempo de servicio  t )  1  e
 t
 Donde t representa una cantidad expresada en
unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
P(t)
0
Media
Tiempo
Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
 La distribución exponencial supone una mayor
probabilidad para tiempos entre llegadas
pequeños
 En general, se considera que las llegadas son
aleatorias
 La última llegada no influye en la probabilidad
de llegada de la siguiente
Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson
 Es una distribución discreta empleada con
mucha frecuencia para describir el patrón de
las llegadas a un sistema de colas
 Para tasas medias de llegadas pequeñas es
asimétrica y se hace más simétrica y se
aproxima a la binomial para tasas de llegadas
altas
Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson
 Su forma algebraica es:
k 
e
P(k ) 
k!
 Donde:
 P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad
de tiempo
  : tasa media de llegadas
 e = 2,7182818…
Sistemas de colas: Las llegadas Distribución de Poisson
P
0
Llegadas por unidad de tiempo
Sistemas de colas: La cola
 El número de clientes en la cola es el
número de clientes que esperan el servicio
 El número de clientes en el sistema es el
número de clientes que esperan en la cola
más el número de clientes que actualmente
reciben el servicio
Sistemas de colas: La cola
 La capacidad de la cola es el número
máximo de clientes que pueden estar en la
cola
 Generalmente se supone que la cola es
infinita
 Aunque también la cola puede ser finita
Sistemas de colas: La cola
 La disciplina de la cola se refiere al orden en
que se seleccionan los miembros de la cola
para comenzar el servicio
 La más común es (FIFO)PEPS: primero en
llegar, primero en servicio
 Puede darse: selección aleatoria, prioridades,
(LIFO)UEPS, entre otras.
Sistemas de colas: El servicio
 El servicio puede ser brindado por un
servidor o por servidores múltiples
 El tiempo de servicio varía de cliente a
cliente
 El tiempo esperado de servicio depende de
la tasa media de servicio ()
Sistemas de colas: El servicio
 El tiempo esperado de servicio equivale a
1/
 Por ejemplo, si la tasa media de servicio es
de 25 clientes por hora
 Entonces el tiempo esperado de servicio es
1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
Sistemas de colas: El servicio
 Es necesario seleccionar una distribución de
probabilidad para los tiempos de servicio
 Hay dos distribuciones que representarían
puntos extremos:
 La distribución exponencial (=media)
 Tiempos de servicio constantes (=0)
Sistemas de colas: El servicio
 Una distribución intermedia es la distribución
Erlang
 Esta distribución posee un parámetro de forma
k que determina su desviación estándar:
1

media
k
Sistemas de colas: El servicio
 Si k = 1, entonces la distribución Erlang es
igual a la exponencial
 Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es
igual a la distribución degenerada con
tiempos constantes
 La forma de la distribución Erlang varía de
acuerdo con k
Sistemas de colas: El servicio
P(t)
k=∞
k=8
k=2
k=1
0
Media
Tiempo
Sistemas de colas:
Distribución Erlang
Distribución
Constante
Desviación estándar
0
Erlang, k = 1
media
Erlang, k = 2
1 / 2 media
Erlang, k = 4
1/2 media
Erlang, k = 8
1 / 8 media
Erlang, k = 16
1/4 media
Erlang, cualquier k
1 / k media
Sistemas de colas: Etiquetas para
distintos modelos
Notación de Kendall: A/B/c
La notación de Kendall, caracteriza un sistema de línea de espera en el
cual todas las llegadas esperan en una sola cola hasta que está libre
uno de los s servidores paralelos idénticos. Luego el primer cliente
en la cola entre al servicio, y así sucesivamente.
 A: Distribución de tiempos entre llegadas
 B: Distribución de tiempos de servicio
 M: distribución exponencial
 D: distribución degenerada
 Ek: distribución Erlang
 c: Número de servidores
Estado del sistema de colas
 En principio el sistema está en un estado inicial
 Se supone que el sistema de colas llega a una
condición de estado estable (nivel normal de
operación)
 Existen otras condiciones anormales (horas
pico, etc.)
 Lo que interesa es el estado estable
Desempeño del sistema de colas

Para evaluar el desempeño se busca
conocer dos factores principales:
1. El número de clientes que esperan en la
cola
2. El tiempo que los clientes esperan en la
cola y en el sistema
Medidas del desempeño del sistema
de colas
1. Número esperado de clientes en la cola Lq
2. Número esperado de clientes en el sistema
Ls
3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws
5. Número promedio de clientes que atenderá
el servidor W
Medidas del desempeño del sistema de colas:
fórmulas generales
Ws  Wq 
1

Ls  Ws
Lq  Wq

Ls  Lq 

W 
L

Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
 Suponga una estación de gasolina a la cual
llegan en promedio 45 clientes por hora
 Se tiene capacidad para atender en
promedio a 60 clientes por hora
 Se sabe que los clientes esperan en
promedio 3 minutos en la cola
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
 La tasa media de llegadas  es 45 clientes por
hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto
 La tasa media de servicio  es 60 clientes por
hora o 60/60 = 1 cliente por minuto
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejemplo
Wq  3 min
1
1
Ws  Wq   3   4 min

1
Ls  Ws  0.75  4  3 clientes
Lq  Wq  0.75  3  2.25 clientes
Medidas del desempeño del sistema
de colas: ejercicio
 Suponga un restaurante de comidas rápidas al
cual llegan en promedio 100 clientes por hora
 Se tiene capacidad para atender en promedio a
150 clientes por hora
 Se sabe que los clientes esperan en promedio 2
minutos en la cola
 Calcule las medidas de desempeño del sistema
Probabilidades como medidas del
desempeño
 Beneficios:
 Permiten evaluar escenarios
 Permite establecer metas
 Notación:
 Pn : probabilidad de tener n clientes en el
sistema
 P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t horas
Factor de utilización del sistema
 Dada la tasa media de llegadas  y la tasa media
de servicio , se define el factor de utilización
del sistema .
 Generalmente se requiere que  < 1
 Su fórmula, con un servidor y con s servidores,
respectivamente, es:





s
Factor de utilización del sistema ejemplo
 Con base en los datos del ejemplo anterior,
 = 0.75,  = 1
 El factor de utilización del sistema si se
mantuviera un servidor es
 = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
 Con dos servidores (s = 2):
 = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
Modelos de una cola y un servidor
 M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales
 M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de tiempos de
servicio
 M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de
servicio
 M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de
servicio
Modelo M/M/1
Ls 


Lq 
 (   )
2

Lq

Wq 

 (   ) 
1
Ws 
 
Pn  (1   ) 
P(Ws  t )  e
n
  (1  ) t
P( Ls  n)  
n 1
P(Wq  t )  e
t  0,   1
  (1  ) t
Modelo M/M/1: ejemplo 1
 Un lavacarro puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media
de llegadas es de 9 autos por hora
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo
M/M/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la
probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la
probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema
Modelo M/M/1: ejemplo 1
9
  9,   12,    0.75
12
Ls 


 3 clientes
2
Lq 
 2.25 clientes
 (   )
1
Ws 
 0.33 hrs  20 min
 

Wq 
 0.25 hrs  15 min
 (   )
P0  (1   )  0  0.25
P( Ls  3)   31  0.32
P(Ws  30 / 60)  e   (1  )t  0.22
P(Wq  30 / 60)  e   (1  )t  0.17
Modelo M/M/1 ejemplo 2
 Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con
un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda
del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por
cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y
los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas
siguientes:
1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?
2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola
del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo
atendido no está en la cola esperando)
3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en
el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio
4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?
Solución:
 De acuerdo con las premisas estamos trabajando con sistema
de colas M/M/1 para lo cual λ=10 automóviles por hora y
μ=15 automóviles por hora. Por lo tanto   10  2
1.
2 1
por lo tanto  0  1    1   ,
3 3
tercio del tiempo.
2. Determinar Lq
2

1 
15 3
el cajero estará ocioso un
2
 2


3

 
2
1
3
3. Estimamos W, pero necesitamos obtener L.
L 

1
W 
L




2
3
2
1
3
 2 client es
2
1

horas
10
5

4
3
clientes.
Solución:
4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio
de μ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en (1)
el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada
hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10
clientes.
Modelo M/M/1: Ejemplo 3
 Suponga que todos los dueños de automóvil acuden a la gasolinera cuando sus
tanques están a la mitad. En el momento actual llega un promedio de 7.5
clientes por hora a una gasolinera que tiene una sola bomba. Se requiere un
promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiempos
entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.
1.
Calcule L y W para los tiempos actuales.
2.
Suponga que hay un déficit de gasolina y que hay compras de pánico. Para
modelar este fenómeno, suponga que todos los dueños de automóviles
compran ahora gasolina cuando sus tanques tienen ¾ de combustible. Como
cada dueño pone ahora menos gasolina en el tanque cada vez que acude a la
gasolinera, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3
minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L yW las compras de pánico?
Solución:
 Tenemos un sistema M/M/1 con λ= 7.5 automóviles por
hora y μ=15 (60/4) automóviles por hora. Por lo tanto
7.5
tiempo que la bomba pasa ocupada.

 0.50
15
L

0.50

1
1   1  0.50
(cantidad de clientes promedio presente en
el sistema de colas
L
1
W 
 0.13 horas (Tiempo previsto que un cliente pasa en el
 7.5
sistema de cola). Por tanto bajo estas circunstancia todo está
bajo control.
Solución.
λ=2(7.5)= 15 automóviles por hora(esto se infiere por que
cada dueño llenará su tanque dos veces) . Ahora   3.60333  18
Automóviles por hora.   1518  56 Entonces.
L

5/ 6

5
1  1 5 / 6
W
automóviles
L 5 1
  hora  20 min
 15 3
Modelo M/M/1: ejercicio
 A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que
son atendidos entre sus 5 cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3
minutos
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo
M/M/1
 Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la
probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la
probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola
Modelo M/G/1
 
Lq 
2(1   )
2
Ls  Lq  
Ws  Wq 
1
Wq 
2
Lq


P0  1  
Pw  
 1
2
Modelo M/G/1: ejemplo
 Un lava carro puede atender un auto cada 5
min. y la tasa media de llegadas es de 9
autos/hora,  = 2 min.
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio.
Modelo M/G/1: ejemplo
Ls  Lq    1.31  .75  2.06 clientes
2 2   2
Lq 
 1.31clientes
2(1   )
Ws  Wq 
Wq 
Lq

1

 0.228 hrs  13.7 min
 0.145 hrs  8.7 min
P0  1    0.25
Pw    0.75
Modelo M/G/1: ejercicio
 A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son
atendidos entre sus 5 cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
Suponga 
= 5 min
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la
probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio
Modelo M/D/1
Ls  Ws
Ws  Wq 
Lq 
1

 1

2
2(1   )
Lq
Wq 

Modelo M/D/1: ejemplo
 Un lava carro puede atender un auto cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/D/1
λ= 9 carros/hora.
μ= 12 carros/hora.
Modelo M/D/1: ejemplo
Ls  Ws  9(0.208)  1.87 clientes

2
2
0.75
Lq 

 1.125 clientes
2(1   ) 2(1  0.75)
1
1
Ws  Wq   0.125   0.208 hrs  12.5 min

12
Lq 1.125
Wq 

 0.125 hrs  7.5 min

9
Modelo M/D/1: ejercicio
 A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos.
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/D/1
Modelo M/Ek/1
 (k  1)
Lq 
2k (1   )
2
Ls  Ws
Ws  Wq 
1

 1
Wq 
Lq

Modelo M/Ek/1: ejemplo
 Un lavacar puede atender un auto cada 5
min.
 La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora. Suponga  = 3.5 min (aprox.)
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/Ek/1
Modelo M/Ek/1: ejemplo
Ls  Ws  2.437 clientes
 (k  1)
Lq 
 1.6875 clientes
2k (1   )
1
Ws  Wq   0.2708 hrs  16.25 min

Lq
Wq 
 0.1875 hrs  11.25 min

2
Modelo M/Ek/1: ejercicio
 A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/Ek/1
Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el
cuadro ejemplo lavacarro
Modelo
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
Ls
Ws
Lq
Wq
Modelos de varios servidores
 M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de
servicio exponenciales
 M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y
una distribución degenerada de tiempos de servicio
 M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales
y una distribución Erlang de tiempos de servicio
M/M/s, una línea de espera
P0 
1
  s 


  
s!  s    n 0 n!
 
Lq 
P
2 0
( s  1)!( s   )
s
Ws  Wq 
Pn 
n
s! s
ns
s 1
s
1

P0 , si n  k
n

Ls  Lq 

Pn 

n
n!
Wq 
P0 , si n  k
1 s  s 
 P0
Pw   
s!  s   
Lq

M/M/s, una línea de espera
Si s  2
Lq 

3
4
Si s  3
Lq 

2
4
(3   )(6  4    )
2
Análisis económico de líneas de
espera
Costos
Costo total
Costo del servicio
Costo de espera
Tasa óptima
de servicio
Tasa de servicio
Práctica 1, con WQSB
 Un almacén tiene 2 cajeras que atienden a razón de 1.5 minutos
por cliente siguiendo una distribución exponencial. Los clientes
llegan a este almacén siguiendo una distribución Poisson a razón
de 30 por hora. Con esta información calcular: A)La
probabilidad de que el sistema esté lleno, B) La intensidad de
trafico.
Datos:
 Numero de servidores = 2
 =30 [cl/hr]
 =1/1.5 [cl/min]= 40 [cl/hr]
 El problema será del tipo M/M/2/FIFO//
Solución:
Procedimiento
 Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de Colas
(QA).
 Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del
que se conocen todos los datos. Este se llamará Cajeras,
eligiendo como unidad de tiempo a horas:
Solución…
 En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como
se muestra:
Solución…
 En la hoja de cálculo se introducirá los datos conocidos como se
muestra:
Los valores de M, representan que es un valor infinito
Solución…
 Al presionar el icono
resultados:
se verá la ventana de los
Solución…
 Al presionar el icono
resultados:
se verá la ventana de los
Solución…
En Español
Para el Sistema: M/M/ de dos servidores
Promedio de cliente llegados por Hora λ=
Promedio de Servicio por servidor por Hora =
Tasas de llegadas eficaces al sistema global por hora =
Tasas de servicio eficaz del sistema global por hora =
Tasa de ocupación del sistema
Número promedio de clientes en el sistema (L) =
Número promedio de clientes en la cola(Lq) =
Número promedio de clientes en la cola para un sistema ocupado(Lb) =
de Fórmula
30
40
30
30
37.50%
0.8727
0.1227
0.6
Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (W) =
0.0291 Horas
Tiempo promedio que un clienta pasa en la cola(Wq) =
0.0041 Horas
Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola para un sistema ocupado (Wb) =
Probabilidad que todos los servidores estén ociosos (Po) =
0.0200 Horas
45.45%
Probabilidad de un cliente espere al llegar al sistema(Pw) o sistema está ocupado(Pb) =
Número promedio de clientes que no serán atendidos por el sistema por Hora =
Costo total del servidor ocupado por Hora =
Costo total del servidor ocioso por Hora =
Costo total clientes esperando por hora
Costo total de clientes que inician servicio por Hora =
Cosot total de clientes being balked per Hora =
Total queue space cost per Hora =
Costo total del sistema por Hora =
20.45%
0
$0
$0
$0
$0
$0
$0
$0
Solución…
 Adicionalmente podemos realizar los siguientes análisis:
 Observar las probabilidades estimadas de que existan de 0
hasta 200 clientes en la cola:
Solución…
 También podemos realizar una simulación del sistema:
 Si presionamos
veremos la siguiente ventana:
 En el que usaremos:
 La semilla de aleatoriedad por defecto
 Una disciplina de cola de tipo FIFO (PEPS)
 Un tiempo de simulación de cola de 24 horas (1 día).
 El momento que iniciará la recolección de datos
será a las cero horas.
 La capacidad de la cola es infinita (M).
 El máximo de número de recolecciones de datos será infinito (M).
Solución…
• Si presionamos OK, se llevará adelante la simulación y veremos
los siguientes resultados de la actuación de la cola durante 24 horas:
Solución…
• Las probabilidades estimadas para n clientes:
Solución…
• Otro de los análisis del que podemos disponer es el de Análisis de
sensibilidad.
•Si presionamos
podremos observar la siguiente
ventana:
Solución…
• Si realizamos un análisis de sensibilidad, seleccionando como
parámetro de análisis a la tasa de llegadas , haciendo que esta
cambie de 30 a 100 [cl/hr], con un paso de 10 [cl/hr], utilizando el
modelo de aproximación G/G/s, podremos ver de que manera
reacciona el sistema:
•Podemos observar claramente de que la utilización del sistema va en
incremento en una proporción de 10 [cl/hr], y cuando ésta llega a los
70 [cl/hr], se da una utilización del 87.5% (Máxima utilización posible),
pero si seguimos incrementando hasta llegar a los 80 [cl/hr], el sistema
se vuelve inestable, es decir el número de servidores es insuficiente.
Solución…
También podemos ver el gráfico del análisis de sensibilidad de un
parámetro determinado en función del parámetro analizado:
Si presionamos en: Show Sensitivity Analysis - Graph
•Se abrirá la siguiente ventana:
En la que seleccionaremos como
variable independiente para el
gráfico a L (Número promedio de
clientes en el sistema), en función
de nuestro parámetro analizado ():
Solución…
En el que se puede ver un crecimiento exponencial.
Así sucesivamente se pueden ir analizando cada uno de los
parámetros, dependiendo que necesidades se tiene.
Solución…
• Otro análisis disponible es el de Análisis de Capacidad:
Como éste análisis se realiza a partir de costos, se asumirán los
siguientes costos
Costo de servidor ocupado por hora = 5 $
Costo de servidor ocioso por hora = 1 $
Costo por cliente en espera = 0.5 $
Costo por cliente servido por hora = 3 $
Costo por cliente no atendido = 1 $
Costo unitario por capacidad de cola = 3 $
Solución…
Si presionamos
siguiente ventana:
podremos observar la
En el que variaremos el número de servidores de 2 a 8, con un paso
de 1, y en el que la capacidad de la cola es Infinita, seleccionando la
formula G/G/s de aproximación.
Solución…
c) Si presionamos en OK, la ventana de resultados será la siguiente:
Práctica 2, con WQSB
 Una cadena de supermercados es abastecida por un almacén central. La mercadería que







llega a este almacén es descargada en turnos nocturnos. Los camiones que descargan
llegan en forma aleatoria siguiendo una distribución Poisson a razón de dos camiones por
hora. En promedio 3 trabajadores descargan 3 camiones por hora siguiendo una
distribución exponencial. Si el número de trabajadores del equipo es incrementado, la
razón de servicio se incrementa en la misma proporción. Cada trabajador recibe 5$ por
hora durante el turno nocturno de 8 horas. El costo de tener el chofer esperando ser
servido, se estima en 20 $ por hora. Se desea determinar el tamaño del equipo que
minimiza el costo total.
Datos:
Numero de servidores = 2
=2 [cl/hr]
1= 3 [cl/hr], 2= 4 [cl/hr], 3= 5 [cl/hr]…………
El problema será del tipo M/M/1/FIFO//
CS = 5 [$/hr]
CE = 20 [$/hr]
Problema 3
 Cierta computadora tarda exactamente 1.5 horas en atender un
servicio requerido. Si los trabajos llegan según una Poisson a razón
de un trabajo cada 120 minutos, se desea saber:
 ¿Qué tanto debe esperar en promedio un trabajo para recibir atención?
 ¿Será necesario la compra de otra computadora?
 Si la distribución del tiempo de servicio fuera Erlang con una media de 1.5 y
con un parámetro k = 5, ¿Cuánto debería esperar un trabajo para ser
atendido? ¿Cuál sería la probabilidad de ser atendido?





Datos:
Numero de servidores = 1
=1/120 [tr/min] = 0.5 [tr/hr]
= 1/1.5 [tr/hr] = 0.667 [tr/hr]
El problema será del tipo M/M/1/FIFO//
Solución…
Procedimiento
Se iniciará un nuevo problema en el modulo Análisis de
Colas (QA).
Se elegirá Sistema Simple M/M, por que es un modelo del
que se conocen todos los datos. Este se llamará
Computadora, eligiendo como unidad de tiempo a horas:
Solución…
En la hoja de cálculo se introducirán los datos conocidos
como se muestra:
Solución…
 Al presionar el icono
resultados:
se verá la ventana de los