Método de despeje - Aprende Matemáticas

Profr. Efraín Soto Apolinar.
Método de despeje
Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para
resolverla.
Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 1
x2 + 1 = 50
• Como se trata de una ecuación incompleta, que carece del término lineal, (b = 0) podemos
resolverla fácilmente con un despeje:
x2 + 1
x2
x2
= 50
= 50 − 1
= 49
• Ahora observa que tenemos una ecuación equivalente a la inicial.
• Esta ecuación en palabras nos está diciendo: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y
obtuve 49. ¿Qué número pensé?»
• Obviamente, pudo haber pensado el número 7.
• Pero también es posible que haya pensado el número −7, porque: (−7)2 = 49.
• Entonces, las soluciones de la ecuación son: x = 7, y x = −7.
• Verificación:
x2 + 1 = 50
x2 + 1 = 50
⇒
⇒
(7)2 + 1 = 50
(−7)2 + 1 = 50
Encuentra la(s) solución(es) de la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 2
4 x2 = 100
• En este caso, de nuevo, no aparece de nuevo el término lineal.
• Para simplificar la ecuación dividimos ambos lados de la igualdad entre 4, y obtenemos:
x2 = 25
• Ahora traducimos a palabras la ecuación: «Pensé un número, lo multipliqué por sí mismo y
obtuve 25. ¿Qué número pensé?»
• Pues bien pudo pensar el número 5, como pudo pensar el número −5.
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• Como siempre aparecen dos casos, uno positivo y otro negativo, vamos a hacer el despeje
de la siguiente forma:
x2
= 25
√
x = ± 25
x = ±5
• Y entenderemos por el símbolo ± que hay dos soluciones, el primero cuando consideramos
el signo + y el segundo cuando consideramos el signo −.
• Ahora verificamos que la solución sea correcta:
4 x2 = 100
⇒
⇒
4 x2 = 100
4 (5)2 = 100
4 (−5)2 = 100
Ahora solamente vamos a hacer el despeje cuando encontremos una ecuación cuadrática sin término lineal.
Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 3
3 x2 + 3 = 30
• De nuevo, se trata de una ecuación cuadrática incompleta.
• Vamos a despejar la incógnita: x
3 x2 + 3
3x
2
x2
= 30
= 30 − 3 = 27
27
=9
=
3
• Ahora sabemos que pensó alguno de los dos números, x = ±3.
• Porque al hacer el despeje:
x2
= 9
√
x = ± 9
x = ±3
• Verificación:
3 x2 + 3 = 30
3 x2 + 3 = 30
⇒
⇒
3 (3)2 + 3 = 30
3 (−3)2 + 3 = 30
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Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:
x2 +
Ejemplo 4
3
=1
4
• Empezamos haciendo el despeje de la literal:
3
1
= 1− =
4
4
r
1
x = ±
4
x2
• Ahora aplicamos las leyes de los exponentes y de los radicales:
r
√
1/2
1
1
(1)1/2
1
= ± 1/2 = ± √
x = ±
=±
4
4
(4)
4
1
x = ±
2
• Y las soluciones son: x =
1
1
,yx=− .
2
2
• Verificación:
3
x + =1
4
⇒
3
=1
4
⇒
2
x2 +
2
1
3
+ =1
2
4
2
1
3
−
+ =1
2
4
Encuentra la solución de la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 5
x2 + 5 = 12
• Despejando la literal x obtenemos:
x2 + 5
= 12
x = 12 − 5 = 7
√
x = ± 7
2
• Lo cual nos indica que las soluciones de la ecuación son x =
√
Observa que:
√
√
− 7 6 = −7
√
7, y x = − 7.
• Verificación:
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x2 + 5 = 12
⇒
x2 + 5 = 12
⇒
√
( 7)2 + 5 = 12
√
(− 7)2 + 5 = 12
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 6
x2 + 12 = 5
• Hacemos el despeje:
x2 + 12
x
2
x2
= 5
= 5 − 12 = −7
= −7
• Ahora vamos a traducir lo que esta última igualdad nos dice en palabras: «Pensé un número,
lo multipliqué por sí mismo y obtuve −7».
• Pero al multiplicar un número positivo por sí mismo obtenemos un numero positivo,
• Por otra parte, cuando multiplicamos un número negativo por sí mismo, también obtenemos
un resultado positivo.
• Lo que esto nos indica es que no hay algún número real que al multiplicarse por sí mismo
nos dé como resultado un número negativo.
• Al terminar el despeje obtenemos:
x2
x
= −7
√
= ± −7
• Debido a esto, se han inventado los números imaginarios.
Definición
1
Número imaginario
El número i es la unidad imaginaria que tiene la siguiente propiedad:
√
i 2 = −1
⇒
i = −1
Un número imaginario es un múltiplo de la unidad imaginaria.
Entonces, la solución del último ejemplo puede escribirse de la siguiente manera:
√
x = ± −7
q
= ± (−1)(7)
√ √
= ± −1 7
√
= ±i 7
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Observa que estamos aplicando las
leyes de los exponentes y de los
radicales.
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Profr. Efraín Soto Apolinar.
Con la propiedad de que i2 = −1.
Otra forma de definir al número imaginario i es la siguiente:
El número imaginario i la solución positiva de la siguiente ecuación cuadrática:
Comentario
x2 + 1 = 0
Porque si despejamos la incógnita, obtenemos:
x2 + 1
= 0
x = −1
√
x = ± −1
2
La solución positiva es: x =
√
−1, que es precisamente como definimos al número i.
Nosotros podemos sumar un número imaginario con un número real. El resultado es un número
complejo.
Número complejo
Es un número que tiene una parte real y una parte imaginaria:
Definición
2
z = a+ib
donde z es un número complejo, a, b ∈ R, y el número i es la unidad imaginaria.
Por ejemplo, el número 3 + 2 i es un número complejo. En este número complejo, 3 es la parte
real y 2 es la parte imaginaria.
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática:
Ejemplo 7
( x − 5)2 + 3 = 1
• En este caso, la ecuación puede expresarse de la forma ??, pero no se trata de una ecuación
incompleta.
• Sin embargo, dado que ya está factorizada en forma de un binomio al cuadrado una parte
de la ecuación, es más fácil resolverla a través de un despeje.
( x − 5)2 + 3 = 1
( x − 5)2 = 1 − 3 = −2
√
x − 5 = ± −2
√
x = 5 ± −2
= 5±
q
(−1)(2)
√ √
x = 5 ± −1 2
√
x = 5±i 2
x
• Las soluciones de la ecuación son: x1 = 5 + i
√
2, y x2 = 5 − i
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√
2.
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Entonces, si encuentras una ecuación cuadrática completa que puedes factorizar fácilmente, te
conviene, mejor, factorizarla y después hacer un despeje.
Este es el método que vamos a estudiar en la siguiente sección.
Créditos
Albert
Einstein
Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más.
Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más
que el autor.
Autor: Efraín Soto Apolinar.
Edición: Efraín Soto Apolinar.
Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar.
Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar.
Productor general: Efraín Soto Apolinar.
Año de edición: 2010
Año de publicación: Pendiente.
Última revisión: 22 de agosto de 2010.
Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México. 2010.
Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean
divulgados entre otros profesores y sus alumnos.
Este material es de distribución gratuita.
Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico:
[email protected]
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