04. Estimación del error y cambio de paso

Introducción a la estimación del error
Pares encajados
E. de Ingenierías Industriales
2012-13
Métodos Matemáticos I
Jesús Rojo
04. Estimación del error y cambio de paso
Introducción a la estimación del error
Pares encajados
04. Estimación del error y cambio de paso
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Introducción a la estimación del error
Pares encajados
1 Introducción a la estimación del error
2 Pares encajados
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Introducción a la estimación del error
Hasta ahora: orden = precisión de los métodos
Mayor orden - mayor número de etapas - mayor coste
computacional - Conveniente: no exagerar con el orden
El paso incide decisivamente en el coste computacional
Funcionamiento ideal:
• Paso pequeño cuando la integración resulta difícil
• Paso grande cuando no hay problema
Esencial dotarse de una ’tolerancia’ al error.
Dos formas de adoptar una tolerancia:
1 Error máximo a soportar en cada paso:
’tolerancia en cada paso (TP)’
2
Tolerancia por unidad de intervalo:
’tolerancia unidad (TU)’
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Si admitimos como criterio la opción TP (tolerancia en cada paso),
en el paso de xn a xn + h = xn+1 tendremos que comparar el error
estimado, pongamos est, con el error admitido en este paso (el
mismo independientemente del paso de que se trate y de su
longitud); o sea, miraremos si
est ≤ TP
o no, y actuaremos según sea el caso.
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Si lo que admitimos es el criterio TU (tolerancia unidad),
tendremos un valor E para el error total admitido en la integración
completa en [a, b] y, entonces, la tolerancia unidad será
TU =
E
b−a
y la tolerancia que corresponde al paso de longitud h entre xn y
xn + h = xn+1 será
TU ∗ h ;
ahora miraremos si
est ≤ TU ∗ h
o no, y actuaremos según sea el caso.
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Mecanismo para saber el error que se está cometiendo:
’estimación del error’
(estimación=aproximación)
Error que se estima: el error local (LTE)
Este mecanismo devuelve un valor , est, que es una aproximación al
error que se está cometiendo.
Dos formas (mecanismos) de estimar el error
• Integración simultánea con dos métodos de distinto orden: par
encajado
• Empleo de la extrapolación de Richardson: integración con
un paso h y su mitad h/2
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La idea es usar simultáneamente dos métodos para la integración
de la ecuación. Utilizar dos métodos parece llevar la dirección
contraria de la que pretendemos pero enseguida veremos que no es
así. Esta técnica posee dos ventajas:
• La primera (y esperada) es la estimación del error que se está
cometiendo en cada paso.
• La segunda (algo más sorprendente) es la capacidad de este
sistema de aconsejar, en cada momento, el paso óptimo a
emplear; o sea, el más grande posible sin superar el error
admitido.
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Un par encajado de métodos de Runge-Kutta (en la
bibliografía en lengua inglesa se cita como ’embedded
Runge-Kutta formulae’ o algún nombre similar) se compone de
dos métodos de Runge-Kutta. El primero, el de orden bajo,
tendrá un orden que llamaremos p y un número de etapas que
escribiremos como q. El segundo tendrá orden más alto, p̂, y
requerirá q̂ etapas.
Es esencial que sea p̂ ≥ p + 1 y lo usual es que sea exactamente
p̂ = p + 1. También es esencial que el primero sea de orden
exactamente p (y no p o mayor) y que el término principal del
error de este método no tenga coeficientes nulos. Veremos
enseguida la razón de estos requerimientos.
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Veamos lo que hay que hacer cuando ya se ha calculado la
aproximación yn de y (xn ) para la abscisa xn con paso actual h, y se
desea averiguar la idoneidad de la aproximación yn+1 para la
abscisa xn+1 = xn + h.
Mediante el método de orden p calculamos la aproximación, que
llamaremos yn+1 ; el error local para esta aproximación será
Tn+1 (h) = O(hp+1 ) .
Y mediante el método de orden p̂ calculamos la aproximación, que
llamaremos ŷn+1 ; el error local para esta aproximación será
T̂n+1 (h) = O(hp̂+1 ) .
Naturalmente, es el error local el que es posible estimar.
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Como hemos dicho alguna vez, estos errores locales son los
medidos como
Tn+1 (h) = y (xn+1 ) − yn+1
y
T̂n+1 (h) = y (xn+1 ) − ŷn+1 ,
para la solución exacta de la ecuación con la condición inicial
y (xn ) = yn en xn .
Un pequeño artificio nos permite ahora aproximar (lo que llamamos
’estimar’) el error local Tn+1 (h) mediante una simple resta de los
valores calculados de yn+1 e ŷn+1 . Es evidente
Tn+1 (h) = T̂n+1 + ŷn+1 − yn+1 ,
con sólo restar las expresiones anteriores. El orden de Tn+1 (h) es
O(hp+1 ) y el de T̂n+1 (h) es O(hp̂+1 ), mucho más pequeño, luego
una buena aproximación de Tn+1 (h) es
Tn+1 (h) ∼ ŷn+1 − yn+1 ,
y esta es la estimación del error que nos será útil.
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Esta estimación ya nos es de utilidad. Basta ahora hacerse la
pregunta de si
|ŷn+1 − yn+1 | ≤ TP
si nos hemos inclinado por esa modalidad de aceptación del error, o
si
|ŷn+1 − yn+1 | ≤ TU ∗ h
si nos hemos inclinado por la otra.
Pero como hemos anunciado aún hay más, y vamos a ver cómo
esta técnica permite aconsejar el tamaño adecuado del paso. Para
ello denotaremos por
αh
cualquier paso posible (mayor o igual que 0, por supuesto). Los
valores α > 1 darán pasos mayores que h y los valores α > 1
valores menores que h.
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Además, supondremos que el error local se comporta como
|Tn+1 (h)| ∼ K hp+1 ,
aunque desconoceremos el valor de K que depende de la solución
del problema.
Para un paso α h tendremos
|Tn+1 (α h)| ∼ K (α h)p+1 = αp+1 K hp+1 = αp+1 |Tn+1 (h)| ,
lo que significa
|Tn+1 (α h)| ∼ αp+1 |ŷn+1 − yn+1 | .
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El paso adecuado (con el que se comete un error menor que el
tolerado pero lo mayor posible) será α h para
αp+1 |ŷn+1 − yn+1 | = TP ,
en la opción ’tolerancia por paso’, o
αp+1 |ŷn+1 − yn+1 | = TU α h ,
en la opción de la ’tolerancia unidad’.
Lo que nos lleva en el primer paso al α aconsejado
α=
TP
|ŷn+1 − yn+1 |
1/p+1
,
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y en el segundo, al α aconsejado
α=
TU h
|ŷn+1 − yn+1 |
1/p
.
Todo es bastante similar en ambos casos, aunque la fórmula es
diferente. La práctica indica que la segunda opción, la de la
tolerancia unidad, es más exigente o, si se prefiere, más restrictiva.
Particularmente creo que esta segunda toma más en consideración
el que el error que es posible cometer en un paso sea algo que
dependa del tamaño del paso. O sea, que sea posible hablar de un
error tolerado para la integración completa, con independencia del
número y tamaño de pasos que tengamos que emplear.
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Obsérvese además que el manejo de α permite determinar si se
verifica o no la desigualdad
|ŷn+1 − yn+1 | ≤ TP
o la correspondiente a la otra tolerancia. Es inmediato ver que
α≥1
implica que |ŷn+1 − yn+1 | ≤ TP en el primer caso o
|ŷn+1 − yn+1 | ≤ TU ∗ h en el segundo y que el paso h es aceptable
(aunque el aconsejado sea α h), y que
α<1
indica que el paso debe ser rechazado por producir un error
excesivo.
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Dado que el objeto de esta técnica es el ahorro de evaluaciones de
la función f , la marcha de funcionamiento es la siguiente:
Si α < 1, el paso de tamaño h debe ser rechazado, Se toma el paso
aconsejado α h y se realiza el nuevo cálculo de yn+1 sin ponerlo en
duda. Naturalmente que este comportamiento (de no
comprobación de la idoneidad de α h) puede llevar a superar en
algo el error admitido.
Cuando α ≥ 1, el paso debería optimizarse al α h, que es más
grande. Sin embargo, lo que se hace es aprovechar el valor ya
calculado de yn+1 para xn+1 = xn + h y, sólo entonces, proceder a
cambiar el paso a α h antes de dar el siguiente. Se ahorran así
evaluaciones de f aprovechando las ya calculadas, ya que se respeta
el error tolerado.
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Puede ser útil concluir esta sección con algunas recomendaciones
que, sin estar fundamentadas en el caso general, son de uso
bastante extendido en la puesta en práctica de un par encajado.
Hemos dicho que, al obtener α ≥ 1 y aceptar el paso, el valor que
se toma de los ya calculados es yn+1 , el obtenido con el método de
orden más bajo. Es opinión extendida que, en este caso, el valor de
ŷn+1 producirá aún menos error, al estar obtenido con un método
de mayor orden (nótese que el desarrollo teórico indica yn+1 como
el valor a coger). Cuando se procede de la forma explicada el
método se denota por RK p̂(p) y por RKp(p̂) en caso contrario; o
sea, el orden escrito en primer lugar y fuera del paréntesis es, por
convenio, el método con el que ’se avanza’.
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La cantidad ŷn+1 − yn+1 estima el error local, y en la práctica lo
hace bastante bien. No obstante es posible que la estimación se
haga ’por lo bajo’ en algunos problemas.
Siguiendo las indicaciones del especialista en el tema Lawrence
F. Shampine, hay quien considera prudente substituír el valor
de α recomendado por la cantidad 0.9 α.
Otra alternativa muy usada es reemplazar la estimación
ŷn+1 − yn+1 del error por 2(ŷn+1 − yn+1 ), con idéntico propósito.
Pues bien, si en las fórmulas para α hacemos esta substitución y
suponemos que p vale por ejemplo 4, que es uno de los valores
más usuales, estamos multiplicando a α por 0.87 o 0.84 (según el
tipo de tolerancia empleado), lo que es prácticamente lo mismo.
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También parece tras alguna práctica que cambios excesivamente
bruscos en el h usado pueden llevar a errores. Cuando se desea
evitar esto lo que se hace es darse dos valores extremos αmin y
αmax que no deben ser superados. Mientras que la no superación
de αmax , o sea, tomar
α = min(α, αmax )
no presenta más que un pequeño problema de ralentización, el
análogo
α = max(α, αmin )
puede llevar a avanzar con errores mayores de los tolerados.
Cuando se programa de esta manera, se suelen incluir avisos
cuando se llega a usar la limitación del αmin .
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Parecidos problemas parece crear el uso de pasos demasiado
grandes o pequeños, en particular este último aspecto cuando lleva
a la no finalización del proceso de integración con un par encajado.
A veces se establecen también dos limitaciones hmin y hmax ,
proporcionadas al tamaño del intervalo completo de integración, y
se toman entonces
h = min(h, hmax )
o
h = max(h, hmin )
con la misma problemática cuando es necesario usar la limitación
de hmin . No es necesario señalar que es aconsejable también
disponer de avisos cuando se llega al uso de hmin .
Naturalmente que estos aspectos que cabría calificar de ’heurísticos’
o ’experimentales’ dependen enormemente de las dificultades
surgidas en el empleo real de estos métodos, por lo que cada cual
suele aplicarlos de acuerdo con lo que su experiencia le va indicando
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Finalmente, aclaremos la cuestión de que el método de orden bajo
no debe anular, si es posible, los coeficientes que presenta en el
término principal del error. Si hiciese lo contrario, habría ejemplos
en los que las únicas diferenciales elementales no nulas de la
ecuación (de entre f , fx , f fy , fxx , etc.) corresponderían a
coeficientes nulos del término de error para el método citado. Para
un tal ejemplo, el método de orden bajo se comportaría no como de
orden p, sino como de orden p + 1. El valor de ŷn+1 − yn+1 sería
entonces prácticamente nulo y no serviría como estimación del
error.
La única manera de evitar estos ejemplos ’desafortunados’ es
conseguir la no nulidad de los coeficientes del término principal del
error en el caso del método de orden bajo.
El otro, el de orden alto, por el contrario, conviene que optimice o
minimice el error.
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