Ejemplo de derivación bajo el signo de integral Calcular la

Ejemplo de derivación bajo el signo de integral
Calcular la integral
π
2
Z
ln sen2 (x) + a2 cos2 (x) dx a 6= 0
0
Para esto definimos la función f (x, y) = ln (sen2 (x) + y 2 cos2 (x)) la cual es derivable y continua
y defino
π
2
Z
g(y) =
ln sen2 (x) + y 2 cos2 (x) dx
0
Vamos a trabajar sobre esta g(y) usando derivación bajo integral, tenemos entonces que
∂
g (y) =
∂y
0
π
2
Z
2
2
2
ln sen (x) + y cos (x) dx =
π
2
Z
0
0
∂
ln sen2 (x) + y 2 cos2 (x) dx
∂y
π
2
Z π
Z π
2
2 cos2 (x)y 2 − cos2 (x)
2y cos2 (y)
2y
cos2 (x)(y 2 − 1)
2y
=
dx
=
dx
=
dx
2
2
2
y 2 − 1 0 sen2 (x) + y 2 cos2 (x)
y 2 − 1 0 sen2 (x) + y 2 cos2 (x)
0 sen (x) + y cos (x)
Z π
Z π
2 sen2 (x) + cos2 (x)y 2 − cos2 (x) − sen2 (x)
2
2y
2y
1
dx = 2
dx
= 2
1−
y −1 0
sen2 (x) + y 2 cos2 (x)
y −1 0
sen2 (x) + y 2 cos2 (x)
!
Z π
2
2y
1
π
= 2
−
dx
2
2
2
y −1 2
0 sen (x) + y cos (x)
Z
Esta última integral la trabajamos aparte de la siguiente forma haciendo en cambio de variable
u = tan(x) por lo que se tiene
Z
0
π
2
1
dx =
2
sen (x) + y 2 cos2 (x)
Z
π
2
cos2 (x)
0
sen2 (x)
cos2 (x)
1
= arctan
y
∞
Z
1
+ y2
dx =
0
1
du
= 2
2
2
u +y
y
Z
∞
0
u ∞
π
|0 =
y
2y
Por lo tanto
2y
y2 − 1
π
−
2
Z
0
π
2
1
dx
sen2 (x) + y 2 cos2 (x)
!
2y
= 2
y −1
π
π
−
2 2y
Tenemos entonces
g 0 (y) =
π
⇒ g(y) = π ln(y + 1) + C
y+1
1
=
π
y+1
1
2
u
y
+1
Ahora por un lado
π
2
Z
g(y) =
ln sen2 (x) + y 2 cos2 (x) dx ⇒ g(1) = 0
0
Por otro lado
g(1) = π ln(2) + C
Por lo tanto
π ln(2) + C = 0 ⇒ C = −π ln(2)
de esta manera
g(y) = π ln(y + 1) − π ln(2) ⇒ g(y) = π ln
y+1
2
Y regresando a nuestra integral
Z π
2
y+1
2
2
2
ln sen (x) + y cos (x) dx = π ln
2
0
Por lo tanto
Z
π
2
2
2
2
ln sen (x) + a cos (x) dx = π ln
0
2
a+1
2