Estad´ıstica Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 3

Estadı́stica
Tema 3: Cálculo de Probabilidades
Unidad 3: Momentos de Variables Aleatorias
Área de Estadı́stica e Investigación Operativa
Licesio J. Rodrı́guez-Aragón
Noviembre 2010
Contenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Definición de Momentos
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Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Esperanza Matemática
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Esperanza Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Varianza y Desviación
Varianza . . . . . . . .
Desviación Tı́pica . .
Propiedades . . . . . .
Tı́pica
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...................................................... 8
...................................................... 9
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Asimetrı́a y Apuntamiento
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Asimetrı́a y Apuntamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Covarianza y Correlación Lineal
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Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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Contenidos
Definición de Momentos.
Esperanza Matemática.
Varianza y Desviación Tı́pica.
Covarianza y Coeficiente de Correlación Lineal.
Podemos construir medidas caracterı́sticas de la distribución de una Variable Aleatoria de
forma equivalente a cómo se hizo en la Unidad 2, del Tema 1, para distribuciones de
frecuencias.
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Tema 3, Unidad 3 – 2 / 15
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Definición de Momentos
Momentos
La definición general de un Momento respecto del punto v y de orden r de la variable aleatoria X:
 P
P
r
r

i (xi − v) f (xi ) =
i (xi − v) pi si X es discreta
Mr (v) =
 R∞
r
si X es contı́nua
−∞ (x − v) f (x)dx
Destacar la importancia de ciertos Momentos:
Momentos Respecto al Origen, v = 0.
Momentos Centrales, v = µ.
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Tema 3, Unidad 3 – 4 / 15
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Esperanza Matemática
Esperanza Matemática
La Esperanza Matemática, µ, de una variable aleatoria X es el Momento respecto al Origen de
orden 1 y se conoce como media o valor esperado de X:
X
µ = E(X) =
xi f (xi ), en el caso discreto.
i
µ = E(X) =
Z
∞
xf (x)dx, en el caso contı́nuo.
−∞
Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad, según el caso.
Algunas propiedades de la Esperanza:
Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b
entonces,
E(Y ) = E(aX + b) = aE(X) + b = aµ + b.
El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de una variable aleatoria X, es
la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones:
E(g(X) ± h(X)) = E(g(X)) ± E(h(X))
La esperanza del producto de dos variables aleatorias independientes, X e Y , es el producto de
las esperanzas:
E(XY ) = E(X) · E(Y ).
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Tema 3, Unidad 3 – 6 / 15
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Varianza y Desviación Tı́pica
Varianza
La Varianza, σ 2 , de una variable aleatoria X con distribución de probabilidades f (x) y media µ, es el
Momento Central de orden 2:
X
σ 2 = Var(X) = E[(X − µ)2 ] =
(xi − µ)2 f (xi ),
i
en el caso discreto.
2
2
σ = Var(X) = E[(X − µ) ] =
Z
∞
−∞
(x − µ)2 f (x)dx,
en el caso contı́nuo.
Siendo f (x) la función de probabilidad o de densidad.
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Tema 3, Unidad 3 – 8 / 15
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Desviación Tı́pica
Se denomina Desviación Tı́pica de X, a la raı́z cuadrada positiva de la varianza,
√
p
σ = Var(X) = σ 2 .
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Tema 3, Unidad 3 – 9 / 15
Propiedades
Algunas propiedades de la Varianza:
La varianza de una variable aleatoria X puede expresarse
Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) − E(X)2 = E(X 2 ) − µ2 .
Si a y b son constantes y X una variable aleatoria con media µ y formamos Y = aX + b
entonces,
Var(Y ) = Var(aX + b) = a2 Var(X) = a2 σ 2 .
Casos particulares de lo anterior son:
Var(b) = 0
Var(X + b) = Var(X)
Var(aX) = a2 Var(X)
Var(aX + b) = a2 Var(X)
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Tema 3, Unidad 3 – 10 / 15
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Asimetrı́a y Apuntamiento
Asimetrı́a y Apuntamiento
Asimetrı́a:
γ1 =
µ3
,
σ3
siendo µ3 el momento centrado de orden 3.
Apuntamiento:
γ2 =
µ4
− 3,
σ4
siendo µ4 el momento centrado de orden 4.
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Tema 3, Unidad 3 – 12 / 15
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Covarianza y Correlación Lineal
Covarianza
Sean X e Y dos variables aleatorias, con distribución de probabilidades conjunta f (x, y), la
Covarianza entre X e Y se define del siguiente modo:
Cov(X, Y ) = σXY = E[(X − µX )(Y − µY )].
Siendo esta expresión:
Cov(XY ) = σXY =
XX
(xi − µX )(yj − µY )f (xi , yj ),
i
j
en el caso discreto.
Cov(XY ) = σXY =
Z
∞
−∞
Z
∞
−∞
(x − µX )(y − µY )f (x, y)dxdy,
en el caso contı́nuo.
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Tema 3, Unidad 3 – 14 / 15
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Propiedades
Algunas propiedades de la Covarianza:
La Covarianza puede expresarse:
σXY = E(XY ) − E(X) · E(Y ) = E(XY ) − µX · µY .
Si X e Y son independientes, entonces σXY = 0, ya que en ese caso E(XY ) = E(X) · E(Y ).
El Coeficiente de Correlación Lineal de Pearson se define como,
ρ=
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σXY
.
σX · σY
Tema 3, Unidad 3 – 15 / 15
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