Precisin Dinmica del Sistema Retroalimentado

Volumen I
6-1
Capítulo VI
6.1 INTRODUCCIÓN
Si la función de transferencia H(s) del lazo de retroalimentación es una constante K,
la señal m(t) es proporcional a la señal de salida.
m(t) = K*c(t)
(6-1)
Fig. 6.1.- Sistema Retroalimentado
y podemos cifrar la precisión de un sistema por el valor del error.
E(s) = R(s) – M(s)
(6-2)
Si nos interesamos en la respuesta el sistema ante una perturbación P(s) y si
suponemos que R(s) = 0 ( r(t) no varía), la precisión se reduce a:
E(s) = -M(s)
El sistema es más preciso si el error E(s) es más pequeño.
(6-3)
Volumen I
6-2
Si la función de transferencia H(s) del lazo de retroalimentación es una
función de la variable s, la señal del error, diferencia entre la señal de entrada R(s) y
la señal de retorno M(s), no representa de manera concreta la diferencia entre la
salida deseada R(s) y la salida real C(s).
Así, esta claro que si por ejemplo:
H(s) =
1
1 + τs
(6-4)
y la salida C(s) presenta una oscilación amortiguada de frecuencia superior a 1/ τ ,
esta oscilación no será trasmitida al comparador sino muy atenuada y no aparecerá
prácticamente en la señal del error E(s).
Parece, entonces, que hay una dificultad para poder caracterizar la precisión
dinámica de un servosistema por medio de la señal observable en la cadena E(t) (lo
que no es el caso de Es(t) = r(t)- c(t), ya que no es observable).
Pero si Es(t) caracteriza la precisión dinámica, ésta en la práctica se cifra, no
por esta función de tiempo sino por un cierto número de magnitudes ligadas a la
forma de la parte transitoria de la respuesta real del sistema ( ω n, ζ …)
Por otra parte, el valor tomado por Es(t) en estado estacionario, es decir,
cuando t tiende al infinito, caracteriza la precisión estática del sistema.
Ya sea que el valor de la función de transferencia H(s) del lazo de
retroalimentación sea una constante o una función de transferencia de la variable s, la
precisión estática puede ser calculada con el valor del error.
Lim E(t) = Lim [r(t) – m(t)] = Lim s (R(s)-M(s))
t→ ∞
s→0
t→ ∞
(6-5)
En efecto, la precisión del sistema está dada por:
Es(t) = r(t) – c(t)
(6-6)
Es(s) = R(s) – C(s)
(6-7)
Volumen I
6-3
Basados en el esquema general representado en la figura 6.1, la ecuación (6-7)
se puede escribir como:
Es(s) = R(s) -
M (s)
H(s)
(6-8)
Por lo tanto
Lim Es(t) = Lim sEs(s) = Lim s( R(s) t→ ∞
s→0
M (s)
)
H(s)
s→0
Como generalmente Lim H(s) = K entonces
s→0
Lim Es(t) = Lim s( R(s) - K-1M(s))
s→0
t→ ∞
(6-9)
y el valor de E(t) en estado estacionario, dado por la ecuación (6-5) es una imagen
fiel del error Es cuando t tiende a infinito.
Veremos que E(t) depende de las entradas del sistema y en la práctica se cifra
la precisión estática de un servosistema por el valor de los errores correspondientes a
ciertas entradas particulares.
Si en el sistema retroalimentado de la figura 1, actúan simultáneamente la
entrada principal y la perturbación, se ha de aplicar el teorema de la superposición
para calcular el error así:
M(s) = H(s) C(s)
C(s) = G1(s) G2(s) E(s) + G2(s) P(s);
(6-10)
E(s) = R(s) - M(s)
Entonces
M(s) = G1(s) G2(s) H(s) E(s) + G2(s) H(s) P(s)
(6-11)
Volumen I
6-4
Luego la ecuación (6-10) queda:
E(s) = R(s) - G(s) E(s) - G2(s) H(s) P(s)
(6-12)
donde : G(s) = G1(s) G2(s) H(s)
De la ecuación (6-12) tenemos finalmente que:
E(s) =
G (s) H(s)
1
R(s) - 2
P(s)
1 + G (s)
1 + G (s)
(6-13)
y el error E(s) es la suma de dos errores:
1.- Error relativo a la entrada principal:
E R (s) =
R (s)
1 + G (s)
2.- Error relativo a la perturbación:
EP (s) =
− G (s) P(s)
1 + G (s) G1 (s)
6.2 DEFINICIÓN DE LOS ERRORES ESTACIONARIOS
Llamamos error estacionario de orden n, el límite Ess n, cuando el tiempo tiende
al infinito del error E(t) relativo a una entrada rn(t) de la forma:
rn(t) =
t n −1
u(t)
(n − 1)!
donde u(t) es un escalón unitario
y la transformada de Laplace de rn(t) es:
(6-14)
Volumen I
6-5
Rn(s) =
1
(6-15)
sn
Así el error estacionario del primer orden, Ess 1, corresponde a una entrada en
escalón unitario: r(t) = u(t), y se llama error de posición.
El error estacionario de segundo orden, Ess 2, (error de velocidad) corresponde a
una entrada en rampa unitaria: r(t) = t u(t).
El error estacionario de tercer orden, Ess 3, (error de aceleración) corresponde a
una entrada parabólica r(t) = t2 u(t).
Según el teorema del valor final:
Lim E(t) = Lim s E(s)
t→ ∞
s→ 0
(6-16)
Vimos anteriormente que:
E(s) = W(s) X(s),
Con
W(s) =
1
1 + G (s)
si X(s) es la entrada principal ó,
(6-17)
W(s) =
− G (s)
1
1 + G (s) G1 (s)
si X(s) es una perturbación.
(6-18)
Podemos escribir entonces que:
Ess n = Lim
s→ 0
W (s)
s n −1
, si este limite existe
6.3 ERRORES ESTACIONARIOS RELATIVOS A LA ENTRADA
PRINCIPAL
Volumen I
6-6
La función de transferencia en lazo abierto de un sistema retroalimentado
puede escribirse en forma general como:
GH(s) =
K 1 + a 1s + ... + a r s r
s α 1 + b1s + ... + b n s r
(6-19)
Entonces cuando s → 0
GH(s) =
K
,
sα
Sistemas con función de transferencia GH(s) Sistemas Tipo 0
Si la función de transferencia en lazo abierto no posee polos en el origen ( α =
0), verificamos facilmente que:
W (s)
1
1
= Lim
=
s
1 + GH(s) 1 + K
s→ 0
(n =1) s → 0
Ess 1 = Lim s
W (s)
Ess n = Lim
(n >1) s → 0
s n −1
=∞
n ∈{2, 3, 4,….}
(6-20)
Sistemas con función de transferencia GH(s) Tipo 1 ó mayor
Si la función de transferencia en lazo abierto posee un polo, o α polos, en el
origen (sistema tipo α ), encontramos entonces:
Ess n = Lim
s→0
1
s n −1
1
1 sα
1
1
= Lim
= Lim n −1
K
1 + LimGH(s)
K s n −1
s
α
s
s→0
s→0
s→0
Volumen I
6-7
Y luego tenemos:
1.- Si n – 1 < α :
Ess n = 0
2.- Si n – 1 = α :
Ess α +1=
3.- Si n – 1 > α :
Ess n = ∞
n ∈{1,2,3….}
1
K
Notaremos que, de una manera general, la precisión estática depende del orden
del polo en el origen de la función de transferencia en lazo abierto y que es
proporcional a la ganancia K del lazo abierto; la precisión es mejor en la medida en
que K es más grande.
Podemos entonces dar la siguiente tabla:
Tabla 6.1: Errores en estado estacionario para distintos tipos de sistemas
ERROR ESTACIONARIO ESS N
Polos en origen de GH(s)
0
Ess 1
1/(1+K) *
Ess 2
Ess 3
∞
∞
1/K **
∞
1
0
2
0
0
1/K ***
3
0
0
0
•
Error de posición; donde K es la constante de posición Kp = Lim GH(s)
s→0
•
Error de velocidad; donde K es la constante de velocidad Kv =Lim sGH(s)
s→0
•
Error de aceleración; donde K es la constante de aceleración Ka=Lim s2GH(s)
s→0
6.4
ERRORES ESTACIONARIOS RELATIVOS A UNA
PERTURBACIÓN
Para una entrada de perturbación la transformada de Laplace del error tiene
como expresión:
Volumen I
6-8
E(s) =
GH(s)
1
P(s) = W(s) P(s)
1 + GH(s) G1 (s)
(6-21)
Dependiendo del número de polos de GH(s) en el origen tendremos diferentes
situaciones:
Sistemas con función de transferencia GH(s) Tipo 0
Si GH(s) no tiene polos en el origen ( α = 0), cuando s → 0, GH(s) ≅ K y G1(s)
≅ K1
En estas condiciones, cuando s → 0:
W(s) =
−K 1
1 + K K1
(6-22)
Entonces:
Ess n = Lim
W (s)
s
n −1
=
s→0
−K 1
1
Lim s( n )
1 + K K1
s
s→0
(6-23)
Con lo cual tendremos :
Ess n =
−K 1
t n −1
Lim
1 + K K1
(n − 1)!
t→ ∞
Entonces puede ocurrir :
1.- Si n = 1: Ess 1 =
−K 1
1 + K K1
(6-24)
Volumen I
6-9
−K 1
t n −1
Lim
=∞
2.- Si n > 1: Ess n =
1 + K K1
(n − 1)!
t→ ∞
Sistemas con función de transferencia GH(s) Tipo 1 ó mayor
Si GH(s) posee un polo de orden α en el origen:
W(s) =
− GH(s)
1
1 + GH(s) G1 (s)
GH(s)
=1
1 + GH(s)
s→0
y Lim
(6-25)
G1(s) puede poseer un polo en el origen de orden β (con β ≤ α ) :
G1(s) ≅
K1
sβ
cuando s → 0
En estas condiciones, cuando s → 0, tenemos:
W(s) ≅
− sβ
K1
Y entonces:
Ess n = Lim
s→0
− sβ 1
K1 s n −1
(6-26)
Tendremos pues, para:
1.- Si n < β + 1 :
Ess n = 0
2.- Si n = β + 1 :
Ess n = -
3.- Si n > β + 1 :
Ess n → ∞
1
K1
Volumen I
6-10
Constatamos que no es el número α de polos en el origen o la ganancia K de la
función de transferencia GH(s) los que intervienen en las expresiones de los errores
estacionarios, sino el número β de polos en el origen y la ganancia K1 de la función
de transferencia G1(s), es decir, de los elementos situados antes del punto de
aplicación de la perturbación . Los errores son más pequeños si la ganancia K1 es
grande.
Podemos resumir los resultados anteriores en la tabla siguiente:
Tabla 6.2 : Errores en estado estacionario relativo a una perturbación
para distintos tipos de sistema
Errores Estacionarios : Eon
Polos en origen de G1(s) :
β
0
Ess 1
Ess 2
Ess 3
L/K1
-∞
-∞
1
0
L/K1
-∞
2
0
0
L/K1
3
0
0
0
Con
L=-
K
si GH(s) es de tipo 0 y L = -1 si GH(s) es de tipo superior a 0
1+ K