Tema 38.- Campo magnético
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mpo m agnético TTema ema 99..- C Caampo magnético §9.1.- Fuerzas magnéticas entre conductores I Experiencia de Oersted (1820) • Desviación de la brújula • Fuerza entre conductores I I §9.2.- Definición del campo magnético Fórmula de Lorentz: F = qv × B F • B es la intensidad del campo magnético o inducción magnética. • Tomamos la fórmula de Lorentz como definición de B. Módulo: Unidades: [ B] = q B v B F [F ] N = T (tesla) [ q ][v ] C ⋅ m/s §9.3.- Líneas de inducción. Flujo magnético v v⊥ Dirección: La del movimiento de una carga positiva que no se desvía en el campo magnético. F F = B= qv sen θ qv⊥ v B θ q F v B v v B • Las líneas de inducción son cerrada. • El campo magnético no tiene fuentes escalares. • B equivale a una densidad de flujo. Flujo: dΦ B = BidS = B dS cosθ = BdSn Obsérvese: ∫ B idS = 0 (solenoidal) ∫ B i dl ≠ 0 (rotacional) dS ∇iB = 0 B S C Campo magnético 9—1/5 Unidades S.I. c.g.s. Equivalencia: B Wb/m2 (weber/m2) G (gauss) 4 1 T = 10 G Campo magnético terrestre Campo débil Campo fuerte Campo muy fuerte Φ Wb (weber) Mx (maxwell) 1 Wb = 108 Mx 60 μT 0.1 mT 0.1 T 10 T = 0.6 G =1G = 1 kG = 100 kG §9.4.- Movimiento de una carga en un campo magnético 9.4.a. Campo uniforme × × × × × × × ×B × qv × B = ma = m (ω × v ) = −m ( v × ω) ∴ qB = −mω → ω = − q B m • Aceleradores de partícula (ciclotrón). • frecuencia ciclotrónica (ω), con ω = v / R v mv • radio ciclotrónico: R = = ω qB • Anderson (1932), descubrimiento del positrón en los rayos cósmicos. q × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × F× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × ω× × v× × × v⊥ v B En tres dimensiones, cuando v no es perpendicular a B: movimiento helicoidal. 9.4.b. Campo no uniforme En general, un movimiento helicoidal en el que el radio de la helicoide disminuye donde B sea más intenso. 9.4.c. Espectrómetro de masas ⎧⎪ q 1 ⎪⎪qV = mv 2 → v 2 = 2 V ⎪⎪ 2 m ⎨ 2 ⎪⎪ ⎛ q ⎟⎞ 2 2 mv 2 ⎜ → v = ⎜ ⎟⎟ B r ⎪⎪r = ⎜⎝ m ⎠ qB ⎪⎩ ∴ q 2V = 2 2 m Br Campo magnético → 2V ⎛⎜ m ⎟⎞ r2 = ⎜ ⎟ B ⎜⎝ q ⎟⎠ fuente de iones + acelerador detector 16 - × × × × × × × × B × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × O 17O 18O × × × × × × × × × × × × × × × 9—2/5 9.4.d. Medida de e/m (Thompson, 1987) acelerador + × × × × × × × × × a - ++ E D α Los electrones no se desvían bajo la acción de los campos eléctrico y magnético combinados perpendiculares para una cierta velocidad: qE = qv0 B → v0 = B L Solo campo eléctrico: ⎧ x = v0t ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1q 2 ⎪ = y Et ⎪ ⎪ 2m ⎩ dy tg α x=a = dx qE D = 2 a= mv0 L x= a → E B q D mv02 D m E 2 = = m L qEa L qEa B 2 → y= → 1 qE 2 x 2 mv02 q ED = m B 2 La 9.4.e. Ciclotrón (Lawrence, 1932) ωc = 10 kV, ωc × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × Campo magnético × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × q B m R= mvmáx qB → vmáx = q BR m 1 2 1 q2 2 2 Ek = mvmáx = m 2 B R = qVeq 2 2 m 1q 2 2 Veq = B R 2m B = 2 T, R = 0.5 m, q / m = 4.8×107 C/kg (deuterones) Veq = 18×106 V = 18 MV → Ek = 18 MeV 9—3/5 §9.5.- Fuerza sobre un elemento de corriente × × × × × × × B × × × × × × × × ×dF × × × × × × × × dl × × × × × × dF = I (dl × B) × × × × × × × ×v × × dq = n ( Sdl ) q × × × × × dF = n ( Sdl ) q ( v × B) = nqvS (dl × B) = I (dl × B) = S dl ( j× B) = dV ( j× B) 9.5.a. Fuerza sobre un conductor F = ∫ dF = I ∫ dl × B C j = nqv = ρ v dF = d q ( v × B ) dF = ( j× B ) dV y I = nqvS × × × B × × × × × × × × × × × × C × ×F× × × × × × × × × × × ×l × × × × ×I × × × × × × × × × × × 9.5.b. Fuerza sobre un conductor rectilíneo en un campo uniforme F = ∫ dF = I C (∫ dl)×B = I (l ×B) C I 9.5.c. Fuerza sobre un circuito cerrado (espira) F F = ∫ dF = ∫ I dl × B = I ∫ dl × B ≠ 0 (en general) C C Si B = cte. F = I B dl C (∫ dl)×B = 0 C §9.6.- Trabajo realizado al mover un elemento de corriente F = I (l × B ) đW = F ids = I dsi(l × B) = I (ds × l )iB = IBidS ∴ đW = IBidS = I dΦ Campo magnético (válido en general) I × × × × × × × × × × × × × ×B × × × × × × × × × × × × × × × × × ×l × × × × ds × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × F× × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × 9—4/5 §9.7.- Efecto Hall Cinta de conductor (conducción por electrones): z b no I Fn v+ B Fn v- En = E h Fn = +( v− × B) = −( v + × B) (−e) + En conductor metálico Fn = −e( v− × B) y si metálico I EHall = ∫ En idh = −∫ − x a =∫ − + ∴ + − ( v+ × B)idh = ( v+ × B)ih = ( v+ × B)ih EHall = hi( v + × B) = hvB §9.8.- Fuerza y momento sobre una espira I B = cte. → I b I a F = I (a × B) → F = IaB S B ∑F = 0 M = F b sen θ = ( IaB )b sen θ = I (ab) B sen θ = ISB sen θ I • Momento sobre la espira: M = I S × B (válido en general). F m θ b • Momento magnético: m = I S S • Momento dinámico: M = m × B • La espira trata de alinear m con B, para que M = 0; entonces, el flujo Φ a través de la espira es máximo. θ B bsenθ F m B I §9.9.- Expresión del trabajo y de la energía: θ θ θ θ0 θ0 θ0 W = ∫ M i dθ = −∫ M dθ = −∫ mB sen θ dθ W = mB (cos θ − cos θ0 ) W = −ΔEp → ΔEp = −mB (cos θ − cos θ0 ) Si tomamos Ep (θ0 = 90º ) = 0 Ep = −mB cos θ = −miB Campo magnético M m θ I B M 9—5/5
