∫ ⋅ldB

LEY DE AMPERE
La ley de Gauss de los campos eléctricos implica el flujo de E a través de una
superficie cerrada; establece que este flujo es igual al cociente de la carga
total encerrada dentro de la superficie entre la constante ε0. En cambio la ley
de Gauss de los campos magnéticos no es una relación entre campos magnéticos
y distribuciones de corriente; establece que el flujo de B a través de cualquier
superficie cerrada es siempre 0. Por tanto la ley de Gauss de B no sirve para
hallar el campo magnético generado por una distribución de corriente.
La ley de Ampere no se formula en términos de flujo magnético, sino más bien
en términos de la integral de línea de B alrededor de un trayecto cerrado:
r r
∫ B ⋅ dl
(Bdlcosθ Producto escalar)
A fin de presentar la idea básica de la ley de Ampere, considérese el campo
magnético generado por un conductor recto y largo que transporta una
corriente I:
µ0 I
B=
2πr
Líneas de campo magnético: círculos centrados
en el conductor.
Obtengamos la integral de línea de B alrededor de uno de estos círculos de
radio r:
B
En todos los puntos del círculo B y dl son paralelos,
por tanto:
dl
B
dl
dl
I
dl
B
r r
B ⋅ dl = Bdl
Puesto que r es constante alrededor del círculo, B
también es constante, entonces:
B
r r
−µ I
µ0 I
µ0 I
∫ B ⋅ dl = ∫ Bdl = B ∫ dl = 2πr ∫ dl = 2πr (2πr ) = µ0 I
0
B dl
B
Si el trayecto de integración está en sentido opuesto,
B y dl son antiparalelos y:
dl
I
dl
B
dl
B
r r
B ⋅ dl = Bdl cos(180) = − Bdl
r r
∫ B ⋅ dl = −µ0 I
La integral de línea de B es igual a µ0 multiplicado por la corriente que pasa a
través del área limitada por el trayecto de integración, con signo positivo o
negativo según la dirección de la corriente respecto a la dirección de
integración.
Regla de la mano derecha:
Si los dedos se doblan en la dirección del trayecto de integración, el pulgar
indica la dirección de la corriente positiva.
Trayectos de integración generales (no círculos):
B
dl
φ
r
dθ
r r
B ⋅ dl = Bdl cos ϕ
dl cos ϕ = rdθ dθ es es ángulo
quesubtiende dl
r r
µ0 I
µ0 I
∫ B ⋅ dl = ∫ 2πr (rdθ ) = 2π ∫ dθ =µ0 I
Si la trayectoria no encierra la corriente:
B
dl
φ
r
dθ
r r
µ0 I
µ0 I
∫ B ⋅ dl = ∫ 2πr (rdθ ) = 2π ∫ dθ =0
Para obtener el enunciado general de la ley de Gauss, supongamos que
varios conductores rectos y largos atraviesan la superficie limitada por el
trayecto de integración, por ejemplo 3 conductores con corrientes I1, I2
e I3 como en figura.
El campo magnético total es la suma vectorial de los
campos producidos por los conductores individuales. Por
I1
tanto la integral de línea de B es igual a µ0 por la suma
algebraica de las corrientes encerradas por el trayecto de
integración:
X I
2
I3
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I1 − I 2 + I 3 )
i
Si hay otro conductor afuera del trayecto de integración:
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I1 − I 2 + I 3 )
I1
i
X I
2
I3
I4
La corriente I4 no contribuye a la integral
I
X I
Si las corrientes encerradas por el trayecto de
integración son iguales y en direcciones opuestas, la
integral es cero:
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ∑ I i = µ0 ( I − I ) = 0
i
Si la integral de línea de B es cero, ello NO significa necesariamente que
B=0 a todo lo largo del trayecto, sino sólo que la corriente total a través
de un área limitada por el trayecto es cero.
28.31 La figura muestra, en sección transversal, varios conductores que
transportan corriente a través del plano de la figura. Las magnitudes de las
corrientes son I1=4 A, I2=6 A e I3=2 A, con las direcciones que se indican. Se
muestran 4 trayectos de integración. ¿Cuál es la integral de línea
correspondiente a cada trayecto? (Cada integral implica recorrer el trayecto
en sentido contrario a las manecillas del reloj).
I1
a)
b
I3
X
b)
a
I2
c
d
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 0 = 0
a
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 ) = −µ0 I1
b
c)
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 + I 2 )
d)
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 (− I1 + I 2 + I 3 )
c
d
APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
Campo de un conductor recto y largo que transporta corriente
I
Como trayecto de integración se toma un
círculo de radio r centrado en el conductor en
un plano perpendicular al conductor.
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I
B=
µ0 I
2πr
APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
Campo en el interior de un conductor cilíndrico largo
r<R
R
I
Un conductor cilíndrico de radio R transporta
una corriente I. La corriente se distribuye
uniformemente en toda el área de sección
transversal del conductor. Halle el campo
magnético, en función de la distancia r del eje
del conductor, de puntos situados tanto
adentro (r < R) como afuera (r > R) del
conductor.
Para hallar el campo magnético adentro del conductor, se toma como
trayecto de integración un círculo de radio r < R.
Para hallar el campo magnético afuera del conductor, se toma como
trayecto de integración un círculo de radio r > R.
r<R
r<R
R
La densidad de corriente J (corriente por unidad
de área) en el conductor es:
I
J= 2
πR
r=R
I
La corriente Ienc encerrada por el trayecto de
integración cuando r < R es:
I enc
2
I
r
= J (πr 2 ) = 2 (πr 2 ) = I 2
R
πR
Por la ley de Ampere:
r r
r2
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I R 2
µ0 I r
B=
2π R 2
µ0 I
B
=
Cuando r=R:
2πR
r>R
R
r=R
La corriente Ienc encerrada por el trayecto de
integración cuando r > R es toda la corriente I que
circula en el conductor.
I
Por la ley de Ampere:
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = B(2πr ) = µ0 I
B
µ0 I
B=
2πr
r=R
r
APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
Campo de un solenoide
Un solenoide es un alambre enrollado en
forma de bobina o un número de espiras
con paso acorde a las necesidades donde
circula una corriente eléctrica.
x x x x x x x
Las líneas de campo cercanas al
centro
del
solenoide
son
aproximadamente paralelas, lo que
indica un campo uniforme. Si el
solenoide es muy largo en
comparación con su diámetro el
campo externo es muy debil.
c
d
x x x x x x
x
b
a
L
b
r r
∫ B ⋅ dl = B ∫ dl = BL
Para aplicar la ley de Ampere se elige
como trayecto de integración el
rectángulo abcd.
El lado ab, de longitud L, es paralelo al
eje del solenoide. Se supone que los
lados bc y ad son muy largos, de modo
que el lado cd está lejos del solenoide,
así que el campo en el lado cd sea tan
pequeño que resulta insignificante.
b
a
r r
∫ B ⋅ dl = 0
B constante y paralelo a dl
a
c
B perpendicular a dl
b
d
r r
∫ B ⋅ dl = 0
B=0
r r
∫ B ⋅ dl = 0
B perpendicular a dl
c
a
d
c
x x x x x x
x
d
b
n= número de espiras por unidad
de longitud
a
L
r r b r r c r r d r r a r r b r r
∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl + ∫ B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl = BL = µ0 I enc
a
I enc = nLI
b
c
d
a
El número de espiras en el tramo L es nL
BL = µ 0 nLI
⇒ B = µ 0 nI = µ 0 I
L
n=
L
N= número total
de espiras
APLICACIONES DE LA LEY DE AMPERE
Campo de un solenoide toroidal
Un solenoide toroidal es un solenoide con las espiras enrolladas en forma de
rosquilla (toroide).
Si el toroide tiene radio R, la longitud del solenoide
es L=2πR, entonces:
B=0
B=0
µ 0 I
B = µ 0 nI = µ 0 I =
L
2πR
N= número total
de espiras
El campo magnético afuera del anillo y en la región central
del anillo es 0.
28.32 Un conductor sólido de radio a está sostenido por discos aislantes sobre
el eje de un tubo conductor de radio interior b y radio exterior c. El
conductor central y el tubo transportan corrientes iguales I en sentidos
opuestos. Las corrientes se distribuyen uniformemente en las secciones
transversales de cada conductor. Deduzca una expresión de la magnitud del
campo magnético
a) en puntos con distancia del centro a < r < b;
b) en puntos con distancia del centro r > c.
a)
c
I
b
r r
∫ B ⋅ dl = B(2πr ) = µ0 I
µ0 I
B=
2πr
I
a
b)
r r
∫ B ⋅ dl = B(2πr ) = µ0 ( I − I )
B=0
28.34 Un solenoide de 15 cm de largo y 2.5 cm de radio tiene un devanado
compacto con 600 espiras de alambre. La corriente en el devanado es de 8 A.
Calcule el campo magnético en un punto cercano al centro del solenoide.
B = µ0 nI = µ0
600
I = (4π 10 −7 Tm / A)
(8 A) = 0.0402T
L
0.15m
28.35 Un solenoide ha sido proyectado para crear un campo magnético de
0.27T en su centro. Tiene un radio de 1.4 cm y una longitud de 40 cm, y el
alambre puede conducir una corriente máxima de 12 A.
a)¿ Cuál es el número mínimo de espiras que debe tener el solenoide?
b) ¿Cuál es la longitud total de alambre que se requiere?
a ) B = µ0 nI ⇒ n =
B
0.270T
7
-1
0
.
00179
10
17900
m
=
=
=
µ 0 I (4π 10 −7 Tm / A)(12 A)
b) = nL = (17900)(0.4m) = 7160
h = 2πr = 2π (0.014m)(7160) = 629.8m