Unidad 6: Geometría del espacio y medición I. Planos y rectas en el

Unidad 6: Geometría del espacio y medición
I.
Planos y rectas en el espacio
1. Axiomas y postulados de rectas y planos
Conceptos importantes a desarrollar en esta lección:
1. recta: figura de una dimensión que se extiende de manera
infinita en ambas direcciones. La recta se nombra usando dos
puntos con letras mayúsculas o una letra minúscula en un
extremo.
2. plano: Son superficies planas que se extienden indefinidamente
en todas direcciones y no tiene grosor. Los planos se nombran
con una letra mayúscula colocada en un extremo del plano.
3. espacio: conjunto tridimensional no acotado de todos los puntos.
4. axioma: un axioma no es necesariamente una verdad evidente,
sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a
una conclusión.
5. postulado: es una verdad intuitiva que tiene suficiente evidencia
para ser aceptada como tal, se aceptan como verdaderos sin
necesidad de demostración.
Los axiomas, son igualmente afirmaciones indemostrables, pero su
valor de verdad es incondicionado, en el sentido de que poseen un
carácter auto evidente que los hace verdaderos más allá de la
experiencia.
Los postulados mientras tanto son afirmaciones indemostrables (en el
sentido en que es demostrable un teorema) pero cuya verdad no es
incondicionada, ya que depende de su relación con el mundo; un
postulado es verdadero si al compararlo con la realidad coincide con
ésta.
Los términos axioma y postulado suelen utilizarse con frecuencia como
sinónimos. Algunas veces la palabra axioma se usa para referirse a los
principios básicos que deben ser asumidos en cualquier sistema
deductivo, y el término postulado para señalar a los primeros principios
peculiares de un sistema particular, como la geometría de Euclides.
Axiomas fundamentales:
Primer axioma. Existen unas "cosas" que llamamos puntos.
Segundo axioma. Los puntos se agrupan dando lugar a rectas y planos. Las
rectas son conjuntos de puntos ilimitados de una sola dimensión y los planos
tienen dos dimensiones, ilimitadas ambas. En las representaciones que
realizamos tenemos que hacerlos limitados necesariamente.
Tercer axioma. Dos puntos determinan una recta y solamente una a la que
pertenecen. Del mismo modo, el conjunto de los demás puntos de ella se dicen
alineados con los dados.
Cuarto axioma. Un plano queda determinado por tres puntos no alineados. De
este axioma se puede deducir directamente que un plano está también
determinado:
a) Por una recta y un punto exterior a la misma.
b) Por dos rectas que se cortan.
c) Por dos rectas paralelas.
Quinto axioma. Toda recta, dos de cuyos puntos pertenezcan al plano, está
toda ella incluida en él.
De este postulado deducimos que una recta con relación al plano puede
ocupar tres posiciones:
a) Que la recta tenga dos puntos en común con el plano y por lo tanto está
contenida en él.
b) Que la recta tenga un solo punto común con el plano. En este caso, la
recta corta al plano.
c) Que la recta no tenga ningún punto común con el plano. En este caso
decimos que la recta y el plano son paralelos.
Si dos rectas están en el mismo plano se dice que son coplanarias.
Si dos rectas no están en el mismo plano se dice entonces que se cruzan.
Sexto axioma. Axioma de división del espacio.
Todo plano divide al espacio en dos regiones llamadas semiespacios de tal
forma que:
a) Todo punto que no pertenece al plano está en uno solo de los
semiespacios.
b) Dos puntos del mismo semiespacio pueden ser unidos por una línea sin
cortar el plano.
c) Dos puntos de distinto semiespacio no pueden ser unidos por una línea
sin cortar el plano.