Algebra Matricial: Solución de AX=B

Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B
Solución de A · X = B
Teorema
Sean A una matriz m × n y B una matriz m × q: Existe una
matriz X tal que A · X = B si y sólo si C (B) ⊆ C (A).
Demostración
Sabemos que si X = [x1 · · · xq ] se tiene que
A · X = A · [x1 · · · xq ] = [A · x1 · · · A · xq ]
Por lo tanto, existe X tal que A · X = B si y sólo si existen sus
columnas xj que cumplen A · xj = bj donde los vectores bj son
las columnas de B. Por otro lado, existen los vectores xj que
cumplen A · xj = bj si y sólo si cada vector columna bj de B
pertenece al espacio columna de A. Pero esto será cierto si y
sólo si C (B) ⊆ C (A).
Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B
Observe que
• Una solución a A · X = B se construirá resolviendo los
sistemas A · xj = bj y posteriormente corformando con
esas soluciones como columnas la matriz X.
• Como todos los sistemas A · xj = bj tienen la misma
matriz de coeficientes, ellos pueden resolverse
simultáneamente reduciendo [A |B ].
• Si uno de estos sistemas es inconsistente, la matriz X
buscada no existe.
• Si en la reducida de [A |B ] queda un pivote a la derecha
A · X = B no tiene solución.
• Si los pivotes en la reducida de [A |B ] quedan en la
izquierda sı́ existe una solución. Una solución puede ser
obtenida encontrando una solución a cada ecuación
A · xj = b j .
• Una estrategia para encontrar una solución en caso de que
los sistemas A · xj = bj tengan infinitas soluciones es hacer
cero las variables libres. Esto equivale a insertar renglones
de ceros en el lado derecho de la reducida en las
posiciones de las variables libres.
Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B
Ejemplo de resolución de A · X = B:
Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B
Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B
Algebra
Matricial:
Solución de
A·X=B
Departamento
de
Matemáticas
A·X=B