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IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 5, NO. 1, MARCH 2007
Operadores Morfológicos Multiescala y Distancia Geodésica
Aplicados a la Segmentación de Imágenes de
Tomografía Axial Computada
Lic. Pastore J. ([email protected]), Dr. Moler, E., Dra. Ballarin, V. ([email protected])
† Laboratorio de Procesos y Medición de Señales, Facultad de Ingeniería
Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina.
Resumen— Durante los últimos años, diversos tipos de
procedimientos diagnósticos y terapéuticos de tumores y masas
mediastinales se llevan a cabo a través de procedimientos
videotoracoscópicos. La tomografía axial computada (TAC) se
hace indispensable para el diagnóstico de tumores y masas,
sobre todo a la hora de su localización y medición exacta. En este
trabajo se presenta una aplicación a la segmentación de
imágenes de TAC a través de técnicas basadas en principios de
la morfología matemática. Se presenta un método
semiautomático para la segmentación de estructuras basado en
la aplicación de operadores morfológicos multiescala. Además
de realzar y filtrar utilizando estos operadores, el método
captura el interior de una curva simple cerrada utilizando la
distancia geodésica. Dicha curva representa el borde exterior de
las diferentes estructuras del mediastino. El método permite
establecer de manera exacta el borde externo de las estructuras
segmentadas y a partir de éste calcular el área delimitada.
Palabras clave— Distancia geodésica, mediastino, morfología
matemática, segmentación, TAC.
I.
INTRODUCCIÓN
El mediastino es sitio frecuente de tumores y masas de
diversa índole. La localización y la medición exacta del tumor
es quizá el factor más importante para hacer el diagnóstico,
pues las posibilidades se estrechan al precisar el perfil clínico
del enfermo y la localización y medida del tumor [1]. Uno de
los campos de mayor interés dentro del procesamiento digital
de imágenes es la segmentación de una imagen en los
diferentes objetos que la componen. En las imágenes de TAC,
los diferentes tejidos no presentan uniformidad y contienen
variaciones de intensidad. Los métodos convencionales de
segmentación de imágenes están basados en propiedades de
los píxeles tratados de manera individual [2] y por lo tanto
fracasan en la segmentación de las estructuras en las
imágenes de TAC. En este trabajo se aplican técnicas basadas
en morfología matemática [3][4] que permiten resolver el
problema de la segmentación en imágenes de TAC, en donde
los bordes de las diferentes estructuras son borrosos y no
están bien definidos. Se presenta un método que combina
filtros de morfología matemática y cálculo del interior de una
curva simple cerrada a través de la distancia geodésica que
permite segmentar las diferentes estructuras de manera
satisfactoria.
Para un filtrado previo se utilizan operadores morfológicos
multiescala (OMM), herramienta que provee la morfología
matemática. Los OMM utilizados para este trabajo son de
cerradura y apertura por reconstrucción morfológica, con
elementos estructurantes de tamaño creciente. La forma y el
tamaño del elemento estructurante juegan un papel crucial en
cada tipo de procesamiento y son por lo tanto elegidos de
acuerdo a la necesidad y propósito de la aplicación. Estos
permiten filtrar los objetos deseados sin alterar la forma
original y homogeneizar las zonas a detectar sin que éstas
sufran deformaciones [5]-[8], preservando la información de
los bordes de las estructuras filtradas. Ésta resulta ser la
mayor ventaje del uso de los OMM con respecto a la
utilización de otros filtros estándar. Para la captura del
interior de una curva simple cerrada se utilizó la distancia
geodésica [9]. En la referencia [11] ya se utilizó esta distancia
para definir el interior de una curva simple cerrada y de esta
manera extraer el cráneo y las meninges en imágenes de
resonancia magnética de cerebro. En este caso dicha curva
representa el borde exterior de las diferentes estructuras del
mediastino.
Este trabajo está organizado de la siguiente manera: en la
sección siguiente se presentan algunas definiciones
convencionales de morfología matemática y se describe el
método propuesto. En la sección III, se presentan algunos
resultados experimentales prometedores y finalmente en la
sección IV se presentan las conclusiones del trabajo.
II.
MATERIALES Y MÉTODOS
A. Definición de imagen en niveles de gris
Una imagen en niveles de gris es una función
× → [0, K N − 1] donde N − 1 es un entero positivo
perteneciente al intervalo natural [1,256]. En adelante f
denotará una imagen en niveles de gris.
f :
B. Operadores Morfológicos
• Erosión morfológica de la imagen f por el elemento
estructurante b:
(1)
ε ( f , b)( s, t ) = min { f ( s + x, t + y ) − b( x, y ) /
( s + x, t + y ) ∈ D f ; ( x, y ) ∈ Db }
• Dilatación morfológica de la imagen f por el elemento
estructurante b:
(2)
δ ( f , b)( s, t ) = max { f ( s − x, t − y ) + b ( x, y ) /
( s − x, t − y ) ∈ D f ; ( x, y ) ∈ Db }
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donde Df y Dd son los dominios de las funciones f y b
respectivamente [3].
• Apertura morfológica multiescala de la imagen f :
γ n−bero ,n −bdil ( f ) = δ n−bdil (ε n−bero ( f ))
d) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular)
(3)
La condición b) no es esencial para muchos propósitos. Una
función d que satisface a), c) y d) se llama una seudométrica.
(4)
Sea X : Z 2 → [ 0,1] una imagen discreta, definimos la
distancia geodésica entre dos puntos p y q de X como el
ínfimo de las longitudes de los lazos que unen p con q en X;
si tales lazos existen [11].
• Cerradura morfológica multiescala de la imagen f :
δ n −bero , n −bdil ( f ) = ε n −bdil (δ n −bero ( f ))
c) d(x, y) = d(y, x) (simetría)
siendo δ y ε las operaciones dilatación y erosión, con
elementos estructurantes n − bdil y n − bero respectivamente,
para imágenes en niveles de gris. Donde:
n − bdil = δ(δK δ(bdil)) .
(5)
14
4244
3
(n −1) − veces
d X ( p , q ) = inf {l (C p , q ) / C p , q es un lazo entre p e q en X }
Si no existe tal lazo, se define dX(p,q) = ∞. (Ver Fig.1)
Se define el interior de una curva simple cerrada Cp ⊂
X que contiene a un punto p [11] como:
Int (C p ) = { x ∈ X / d X ( x, p ) < ∞}
• Apertura por reconstrucción de la imagen [8] f:
γ
rec
bdil , bc
( f ) = γ bc , g ( f )
(11)
(12)
(6)
D. Método propuesto
donde g = ε b ( f ) .
ero
Se reconstruye la imagen f por la función marcador g,
mediante un número infinito de iteraciones recursivas, hasta
la idempotencia de la dilatación de g condicionada a f.
• Cerradura por reconstrucción de la imagen [8] f:
Φ brec , bc ( f ) = Φ bc , g ( f )
dil
(7)
• Paso 1: Filtrado de la imagen mediante operadores
morfológicos multiescala.
• Paso 2: Cálculo de las imágenes “Top-hat”.
• Paso 2: Extracción de contornos.
• Paso 3: Binarización de la imagen obtenida en el paso
anterior.
donde g = δ b ( f ) .
dil
Se reconstruye la imagen f por la función marcador g,
mediante un número infinito de iteraciones recursivas, hasta
la idempotencia de la erosión de g condicionada a f.
• Gradiente morfológico (Gradm) de la imagen f:
Gradm( f , b) = δ b ( f ) − ε b ( f )
(8)
• Transformada “Top-hat” [8] (white-tophat, black-tophat):
rec
T w ( f , b ) = f − γ bc
,g ( f )
(9)
rec
T b ( f , b ) = Φ bc
,g ( f ) − f
(10)
La transformación “Top-hat” es una técnica conocida y muy
utilizada en morfología matemática para resaltar objetos
localmente brillantes (u oscuros) de una imagen en niveles de
gris.
C. Distancia geodésica
Una distancia, definida en un conjunto X, es una función
d:X×X →
tal que para todo x, y, z ∈ X se verifica:
a) d(x, y) ≥ 0
b) d(x, y) = 0 sii
El método propuesto, presenta los siguientes pasos:
x = y (separación)
• Paso 4: Selección por el usuario (a través del ratón
“mouse”) de las estructuras de interés a ser
segmentadas.
• Paso 5: Captura de los interiores de las curvas de
dichas estructuras a través del cálculo de la distancia
geodésica.
• Paso 6: Visualización de las estructuras segmentadas.
Paso 1: El filtrado previo permite minimizar el efecto del
ruido sobre las imágenes sin alterar el borde externo de las
regiones que componen la imagen. Para esto se utiliza un
preprocesamiento morfológico. Este preprocesamiento consta
de un filtrado de la imagen original I mediante operadores
morfológicos multiescala que consisten en una iteración de
operaciones de aperturas y cierres morfológicos, con
elementos estructurantes crecientes Ec. (2)-(3). Este proceso
elimina las variaciones de intensidad de las diferentes
regiones que componen la imagen manteniendo la silueta
original de las mismas, esto es, las regiones son
homogeneizadas sin deformar o alterar su borde exterior, lo
que produce menor distorsión en la imagen filtrada (Ico), y
además mantienen las regiones conectadas de la misma que
describen detalles significativos.
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La operación suma de “Top-hat” [10], definida como:
n
∑ (I co − γ irec−bero, i −bdil (I))
i =1
(13)
mejora el contraste y resalta las formas de la imagen.
a)
p
b)
z
dX (p,q)
X
q
Fig.1. Distancia geodésica entre p y q; dX(z,p)= + ∞ .
Paso 2: Se aplica la técnica de gradiente morfológico para
la extracción de bordes a la imagen obtenida en el paso
anterior Ec. (8).
Paso 3: Se crea el umbral de la imagen gradiente tomando
como umbral un valor estimado entre 0,9 y 0,95 del valor
máximo del histograma.
Pasos 4 y 5: El usuario marca los objetos de la imagen a
segmentar. Estas marcas se utilizan como puntos a partir de
los cuales se extrae el interior de la curva simple cerrada que
lo contiene Ec. (12).
Paso 6: En este último paso se muestra una imagen con el
borde exterior de las estructuras segmentadas superpuestas a
la imagen original, a fin de poder apreciar la calidad de la
segmentación obtenida. Conjuntamente se presenta otra
imagen con las diferentes estructuras del mediastino
seleccionadas. (Ver Figura 2).
Los algoritmos se programaron en Matlab® 5.3 Se trabajó
con funciones estándar de este lenguaje y con una librería
específica denominada SDC Morphology Toolbox [12].
Se utilizaron imágenes de mediastino de TAC corte axial, las
cuales fueron obtenidas del banco de imágenes del Instituto
Radiológico Mar del Plata.
III.
c)
d)
Fig.2 a) imagen original b) imagen filtrada a través de OMM y la suma
“Top hat”. c) Borde exterior de las estructuras segmentadas superpuestas a la
imagen original. d) Segmentación final de las diferentes estructuras del
mediastino seleccionadas.
RESULTADOS
A modo de ilustrar los pasos del algoritmo utilizado, en la
Figura 2 se muestran los resultados obtenidos en las
diferentes etapas de la segmentación en una imagen de TAC
axial de mediastino. Primero se presenta la imagen original, a
continuación la imagen filtrada a través de OMM y la suma
“Top hat”. En la imagen c) se observa el borde exterior de
cada estructura segmentada superpuesta a la imagen original.
Finalmente en la imagen d) se muestra la segmentación final
de las diferentes estructuras del mediastino seleccionadas por
el operador en el paso 4.
En la Figura 3 se muestran dos imágenes axiales de
mediastino y sus correspondientes imágenes segmentadas por
el método propuesto basado en los operadores morfológicos
multiescala y distancia geodésica.
Fig.3 Segmentación en imágenes de mediastino de TAC. T2. En la primera
fila se muestran las imágenes originales. En la segunda fila se presentan
superpuestas a las imágenes originales los bordes externos de las diferentes
estructuras segmentadas. En la tercera fila sólo las estructuras seleccionadas
segmentadas.
Como se puede observar en la Figura 3, la segmentación
propuesta es muy satisfactoria para todos los casos, habiendo
probado con un grupo de imágenes de prueba superior a 100.
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IV.
CONCLUSIONES
Este trabajo presenta una segmentación semi-automática de
diferentes estructuras en imágenes de TAC de mediastino. El
método es preciso, eficiente y versátil, permitiendo al usuario
final la posibilidad de seleccionar las estructuras de su
interés.
Diversos tipos de procedimientos diagnósticos y terapéuticos
de tumores y masas mediastinales se llevan a cabo hoy en día
por accesos mínimos con asistencia de cámaras de video. Es
fundamental en estos casos, así como en intervenciones
tradicionales, la exacta localización y medición previa de
dichas estructuras a través de imágenes de TAC. Del éxito de
la segmentación, dependen la posterior cuantificación y
localización de las estructuras anatómicas y cualquier
diagnóstico posterior.
V.
AGRADECIMIENTOS
Los autores quieren expresar su agradecimiento al Dr. Carlos
Capiel (h) perteneciente al Instituto Radiológico Mar del
Plata, por el suministro de las imágenes de TAC que se
utilizaron para este trabajo.
VI.
[1]
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REFERENCIAS
C. Ibarra Perez, J. Kelly García y M. Fernandez Corzo, “ Guía
diagnóstico-terapéutica: Tumores y masas del mediastino”, Rev. Inst.
Nal. Enf. Resp. Mex, .Vol. 14, no. 3, pp.172-177, 2001.
[2] R. Gonzalez and R. Woods, Digital Image Processing, Editorial
Adison –Wesley, 1992.
[3] J. Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol I, London
Ed. Academic Press, 1982.
[4] J. Serra, Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol. II,
London Editorial Academic Press, 1988.
[5] S. Mukhopadhyay and B.Chanda, “Multiscale Morphological
Segmentation of Gray-Scale Images”, IEEE Trans.on Image
Processing, vol.12, no.5, pp.533-549, 2003.
[6] P. T. Jackway and M. Deriche, “Scale-Space Properties of the
Multiscale Morphological Dilation-Erosion”, IEEE Trans.on Pattern
Analysis and Machine Intelligence, vol. 18, no.1, pp.38-51, 1996.
[7] A. Hanbury and J. Serra, “Morphological operators on the unit circle”,
IEEE Transactions on Image Processing, vol. 10, no. 2, pp.1842-1850.
2001
[8] L. Vincent, “ Morphological Greyscale Reconstruction in Image
Analysis: Applications and Efficient Algorithms”, IEEE Trans.on
Image Processing, vol.2, no.2, pp.176-201, 1993.
[9] C. Lantuéjoul and F. Maisonneuve. “Geodesic methods in Quantitative
Image Analysis”, IEEE Trans. on Pattern Recognition, vol. 2, pp.177187, 1984.
[10] F. Zana and J.C. Klein, “Segmentation of Vessel-Like Patterns using
Mathematical Morphology and Curvature Evaluation”, IEEE Trans.on
Image Processing, vol.10, no.7, pp.1010-1019, 2001.
[11] J. Pastore, E. Moler and V. Ballarin, “Segmentation of brain magnetic
resonance images through morphological operators and geodesic
distance”, Digital Signal Processing, Vol. , 15, pp. 153-160, 2005.
[12] SDC Morphology Toolbox for MATLAB 5. User’s Guide. SDC
Information Systems, 2001.
VII.
BIOGRAFÍAS
Juan Ignacio Pastore, nació en la ciudad de
Balcarce, Argentina. Obtuvo sus títulos de Profesor
Universitario en Matemática y Licenciado en
Matemática en la Facultad de Ciencias Exactas de
la Universidad Nacional de Mar del Plata, en los
años 2001 y 2002, respectivamente.
Desde 1998 trabaja en el Laboratorio de Procesos y
Mediciones de Señales, del Departamento de
Electrónica. Es alumno del Doctorado en Ingenieria
orientación Electrónica y prepara su tesis es en
Morfología Matemática aplicada a Imágenes
Biomédicas.
Emilce Moler, nació en la ciudad de La Plata,
Argentina. Obtuvo su título de Profesora
Universitaria en Matemática en la Facultad de
Ciencias Exactas de la Universidad Nacional de
Mar del Plata en 1983 y su título de Doctora en
Ciencias en la Universidad Nacional de Tucumán,
en 2003.
Desde 1987 es Profesora del Área de Informática
Aplicada del Departamento de Matemática de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional
de Mar del Plata. Desde 1990 es miembro del
Laboratorio de Procesos y Mediciones de Señales, del Departamento de
Electrónica, donde realiza distintas actividades de investigación, como
dirección de proyectos y becarios. Su tema principal de interés es
segmentación y representación de Imágenes Biomédicas.
Virginia Ballarin, nació en la ciudad de Mar del
Plata. Obtuvo su título de Ingeniera Electrónica en
1984 en la Facultad de Ingenieria de la Universidad
Nacional de Mar del Plata y su título de Magister
Scientae en Filosofía de la Ciencia en la Facultad
de Humanidades de la misma universidad en 1998.
Obtuvo su título de Doctora en Ciencias Biológicas
orientación Bioingeniería en la Universidad
Nacional de Tucumán, en 2003. Es Profesora
Asociada del Departamento de Electrónica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Mar del Plata.
Actualmente está a cargo del Proyecto de Procesamiento Digital de Imágenes
del Laboratorio de Procesos y Medición de Señales. Sus temas de
investigación incluyen Procesamiento de Imágenes Biomédicas, Análisis de
Texturas y Morfología Matemática.