Tema 1. Medidas de tendencia central para datos no

Tema 1. Medidas de tendencia central para datos no agrupados
Las medidas de tendencia central se utilizan con bastante frecuencia para resumir
un conjunto de cantidades o datos numéricos a fin de describir los datos
cuantitativos que los forman.
Ejemplos de ello, pueden ser: la edad promedio o la estatura promedio de los
estudiantes de la universidad o el peso promedio de las bolsas de cereal que son
llenadas por una determinada máquina en un proceso de producción o las ventas
de un negocio.
Las medidas de tendencia central son también frecuentemente usadas para
comparar un grupo de datos con otro, por ejemplo: el promedio de ventas obtenido
por un grupo de vendedores de una zona comparado con el promedio de ventas
otro grupo de vendedores de otra zona, el promedio de reclamos de clientes de
una sucursal, comparado con el promedio de reclamos de otra sucursal.
Otras características generales de las medidas de tendencia central son las
siguientes:
• Permiten apreciar qué tanto se parecen lo grupos entre sí.
• Son valores que se calculan para un grupo de datos y que se utiliza para
describirlos de alguna manera
• Normalmente se desea que el valor sea representativo de todos los valores
incluidos en el grupo.
• Es el valor más representativo o típico de un grupo de datos, no es el valor
más pequeño o el más grande, sino un valor que está en algún punto
intermedio del grupo, más exactamente, se acerca a estar al centro de todos
los valores, por ello se les llama medidas de tendencia central.
• Se utilizan como mecanismo para resumir una característica de un grupo de
datos en particular.
• También para comparar un grupo de datos contra otro.
El cálculo de las medidas de tendencia central se hace mediante fórmulas, las
cuales cambian según como se encuentren los datos del grupo con el que se va a
trabajar, esto es si están como Datos no agrupados o como Datos agrupados
(Distribuciones de frecuencias).
Las medidas de tendencia central que se van a tratar en esta unidad son:
Media Aritmética
Media ponderada
Mediana
Moda
Media Geométrica
Media Armónica
2.1.1 Media Aritmética para datos no agrupados
La media aritmética, o promedio aritmético, es la suma de los valores del grupo de
datos dividida entre la cantidad de valores. Su fórmula se puede describir de la
siguiente manera:
O simbólicamente:
Ejemplo: Cálculo de Media Aritmética
2.1.2 Media Ponderada para datos no agrupados
Es una media aritmética en donde a cada uno de los valores le es asignada una
ponderación de acuerdo con la importancia relativa en el grupo. Es obtenido
como sigue: primero, multiplicar cada valor por la ponderación asignada al valor
correspondiente; segundo, sumar estos productos; y tercero, dividir la suma de los
productos entre la suma de las ponderaciones. Las fórmulas para la media
ponderada poblacional y muestra son idénticas:
Ejemplo: Cálculo de Media Ponderada
2.1.3 Mediana para datos no agrupados
Es el valor del elemento central del conjunto.
Para encontrar la mediana, primero arreglar los valores del conjunto de acuerdo a
su magnitud; es decir, arreglar los valores del más pequeño al más grande o del
más grande al más pequeño y después localizar el valor central, es decir, el
número de valores sobre la mediana es el mismo que el número de valores debajo
de la mediana. Si el número de valores en un conjunto de datos no agrupados es
par, no hay mediana verdadera.
El valor de la mediana se supone, por lo tanto, que es igual al valor promedio
entre los dos elementos centrales en el arreglo
La fórmula para obtenerla podría expresarse de la siguiente manera:
Ejemplo: Cálculo de Mediana
2.1.4 Moda para datos no agrupados
También llamada modo o promedio típico de un conjunto de valores; la moda es el
valor el cual ocurre más frecuentemente en el conjunto. Si un valor es
seleccionado al azar del conjunto dado, un valor modal es el valor más probable a
ser seleccionado. Así, la moda es generalmente considerada como el valor más
típico en una serie de datos la cual es llamada, por esa razón, UNIMODAL.
Un conjunto pequeño de datos en el que no se repiten valores medidos carece de
moda. Cuando dos valores no adyacentes son casi iguales en cuanto a
frecuencias máximas asociadas con ellos, la distribución se llama BIMODAL,
aquéllas con varias modas se llaman multimodales.
Ejemplo: Cálculo de Moda
2.1.5 Media geométrica para datos no agrupados
La media geométrica G, de un conjunto de valores es la raíz n-ésima del producto
de los valores de dicho conjunto: Si hay dos valores, la raíz cuadrada del producto
de estos dos; si son tres, es la raíz cúbica del producto de los tres valores.
La fórmula general es:
Usando logaritmos la fórmula queda:
Donde G es el antilogaritmo de este resultado
Ejemplo: Cálculo de Media Geométrica
2.1.6 Media Armónica para datos no agrupados
Para su cálculo, primero se debe determinar la media aritmética de los recíprocos
de los valores individuales, para después obtener el recíproco de esa media
aritmética. Lo anterior en fórmula queda:
Ejemplo: Cálculo de Media Armónica
2.1.7 Cuartiles, Deciles y Percentiles para
datos no agrupados
Está claro que para localizar cuál es el valor que se encuentra al centro de un
grupo de datos utilizamos la mediana y que ésta es el valor que divide al grupo de
datos en mitades. Pues bien, para ciertos fines puede ser de mucha utilidad saber
qué valor se encuentra al primer cuarto del grupo de datos, o al tercer cuarto del
grupo de datos.
De esta forma:
• los cuartiles dividen a la distribución en cuartos
• los deciles en décimos, y
• los percentiles en 100 partes
Los cuales se obtienen con fórmulas que modifican la de la mediana como en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo: Cálculo Cuartíles, Deciles y Percentiles
Actividad Preliminar 1: (Recuerda que estas actividades son opcionales y será tu
asesor quien defina aquellos que serán evaluados en tu curso. Sin embargo te
recomiendo que las realices para verificar efectivamente el nivel de aprendizaje
logrado)
No
Problema
El dueño de un negocio de venta de aparatos electrodomésticos tiene diez vendedores en el área
metropolitana. En una determinada semana, el dueño seleccionó una muestra de cinco sucursales y
encontró que el número de lavadoras automáticas vendidas en cada sucursal fue:
1
Sucursal
A
B
C
D
E
Número de
lavadoras
vendidas
5
3
6
5
1
Calcular:
a) La media
b) La mediana
c) La moda
d) La media geométrica
e) La media armónica
Reuniendo los datos anteriores y los siguientes para formar una población, suponga que el dueño del
negocio obtuvo los datos de ventas de las demás circulares, siendo estos:
2
Sucursal
F
G
H
I
J
Número de
lavadoras
vendidas
4
7
5
4
0
Calcular:
a) La media
b) La mediana
c) La moda
d) La media geométrica
e) La media armónica
Una muestra de 20 empleados de cierto centro comercial, obtuvo como salario quincenal, los
siguientes datos:
3
4
340, 240, 330, 240, 325, 240, 240, 305, 240, 300, 240, 290, 240, 280, 240, 280, 255, 265, 255, 265,
Calcula:
a) Media,
b) Mediana, c) Moda
En las exportaciones de cierto artículo, el porcentaje de impuestos que debe pagar su productor
depende el país al que se desea introducir el producto. La tabla siguiente muestra estos porcentajes y
las ventas obtenidas en el último trimestre. Determina el promedio global de lo que se paga por
impuestos:
País
Porcentaje de
Impuestos
Ventas
EUA
4.2%
30, 000, 000.00
China
5.5%
20, 000, 000.00
Chile
7.4%
5,000, 000.00
India
10.1%
3, 000, 000.00
Con los datos del problema 3, determinar los valores en:
5
a) Tercer cuartil
b) Noveno decil
c) 84º percentil