Binomio de Newton y triángulo de Tartaglia / Pascal

Binomio de Newton y triángulo de Tartaglia / Pascal
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Binomio de Newton
El desarrollo de la potencia n-sima del binomio (a+b) es:
n
⎛n⎞
(a + b) n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟a n − k b k
k =0 ⎝ k ⎠
⎛ n ⎞ 2 n − 2 ⎛ n ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ n
⎛n⎞
⎛n⎞
⎛n⎞
⎟⎟a b + ⎜⎜ ⎟⎟ b
⎟⎟ a b + ⎜⎜
(a + b) n = ⎜⎜ ⎟⎟ a n + ⎜⎜ ⎟⎟ a n −1 b + ⎜⎜ ⎟⎟ a n − 2 b 2 + ... + ⎜⎜
⎝n⎠
⎝ n − 1⎠
⎝ n − 2⎠
⎝ 2⎠
⎝1⎠
⎝ 0⎠
Donde los coeficientes son los números combinatorios:
⎛n⎞
n!
⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ k ⎠ k ! (n − k ) !
n ! se lee n factorial y corresponde a la multiplicación de todos los valores enteros desde n a 1:
n ! =n·(n–1)·(n–2)·(n–3)· .... · 4 · 3 · 2 · 1. Ejemplo: 6 ! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720
Ejemplos del binomio de Newton:
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a − b)2 = a2 − 2 a b + b2
(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3 a2 b + 3a b2 − b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4
(a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4a b3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5a b4 + b5
(a − b)5 = a5 − 5a4 b + 10a3 b2 − 10a2 b3 + 5a b4 − b5
Triángulo de Pascal / Tartaglia - Coeficientes binomiales - Números combinatorios
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
6
10
15
21
1
3
4
10
20
35
1
1
5
15
35
1
6
21
1
7
1
28
36
45
4
6
8
9
2
3
5
7
1
56 70 56 28 8
1
84 126 126 84 36 9
1
120 210 252 210 120 45 10
1
Obsérvese que cada valor se obtiene sumando los dos valores que se hallan encima en la fila anterior.
Se observa también una simetría izquierda-derecha en la serie de coeficientes para cada valor de n.
Ello es consecuencia de la siguiente propiedad de simetría de los números combinatorios:
⎛ n⎞ ⎛ n ⎞
⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜
−
k
n
k
⎠
⎝ ⎠ ⎝