Funciones: Aspectos básicos

Funciones: Aspectos básicos
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Producto cartesiano
En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro
conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer
elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:
A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
B x A = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4)}
Se puede distinguir que el producto cartesiano A x B no es lo mismo que B x A
Relación binaria, subconjunto del producto cartesiano
Al tener por ejemplo los conjuntos A={,3, 4, 5} y B={1, 2, 3, 4} podemos definir una relación binaria
en A x B, por ejemplo: mayor que, que se puede expresar:
R= { (a,b) e A x B / a > b }
Al escribirla por extensión resulta R={ (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4)}
Donde los pares ordenados que definen la relación binaria son un subconjunto del producto
cartesiano de los conjuntos. Se puede advertir que no todos los pares ordenados de A x B están en
esta relación, eso depende si cumplen la condición o no la cumplen. Por ejemplo, (3,4) no se
encuentra en la relación, pues 3 no es mayor que 4.
Con estos antecedentes básicos, podemos adentrarnos un poco más en la idea de función, la cual
podemos apreciar en distintos formas de representación, ya sea: por diagramas sagitales, tablas,
gráficas o representaciones algebraicas.
Diagramas sagitales.
Son una representación de relaciones matemáticas a través de diagramas de Ven. Estas relaciones
en algunos casos pueden o no, ser funciones.
Nota: Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.
En el siguiente diagrama, tenemos una relación entre “pinceles” y “caritas pintadas”
¿En qué fijarnos para saber si es una función?
1) En la orientación de la flecha. Esto nos indicará el sentido que tiene la relación (salida, llegada).
2) Existencia de imagen. Debemos fijarnos en que ningún elemento del conjunto de salida “este
libre”, de lo contrario, inmediatamente podemos decir que dicha relación NO ES FUNCIÓN.
3) Imagen única. Una vez que corroboremos que cumple la condición anterior, debemos fijarnos
que la imagen sea única. En este caso, desde un pincel, se puede llegar sólo a una carita.
Ejemplos:
1) Nos fijamos la orientación de la flecha
2) en el conjunto de salida ¿quedan elementos libres? NO
Pasamos al paso 3
3) ¿la imagen es única? En este caso el pincel azul, tiene dos
imágenes.
LA RELACIÓN NO ES FUNCIÓN
1) Nos fijamos en la flecha
2) en el conjunto de salida ¿quedan elementos libres? SI
LA RELACIÓN NO ES FUNCIÓN
(no es necesario pasar al paso 3)
1) Nos fijamos en la flecha
2) en el conjunto de salida ¿quedan elementos libres? NO
Pasamos al paso 3
3) ¿la imagen es única? SI
LA RELACIÓN ES UNA FUNCIÓN
Los elementos del conjunto de llegada pueden quedar libres. También desde distintos elementos de
salida, coincidir con el de llegada (como en el último ejemplo).
Representaciones gráficas de funciones
Para analizar si una gráfica es una función o no, es tan fácil como realizar líneas verticales y verificar
si estas tocan a la gráfica en más de un punto. En caso de tocar en más de un punto, de inmediato
sabemos que dicha gráfica no es una función.
Esta gráfica NO ES UNA FUNCIÓN, pues hay lugares
donde al trazar una línea vertical, esta línea toca a la
gráfica en más de un punto.
Esta gráfica SI ES UNA FUNCIÓN, pues al trazar una
línea vertical, siempre esa línea toca a la gráfica
solamente en un punto.
Evaluación de funciones
Consiste simplemente en reemplazar, de acuerdo a lo que la función nos indica. Por ejemplo para
la función f(x) = 3x +5
Si deseamos calcular f(2), debemos reemplazar x=2 en la función, es decir,
f(2) = 3(2) + 5= 6 + 5 = 11
entonces podemos decir que f(2) = 11
2 corresponde a la pre-imagen y 11 a la imagen
Si deseamos calcular f(a+1) debemos reemplazar x= a+1 en la función, es decir
f(a+1) = 3(a+1) +5 = (3a + 3) + 5 = 3a + 8 , entonces f(a+1) = 3a + 8
Dominio y Codominio y Recorrido
Conceptos relacionados a funciones son su dominio, codominio y recorrido. Se utilizan estos tres
conceptos principalmente en ejercicios de diagramas sagitales, puesto que cuando se trata de
ejercicios algebraicos, lo más común es trabajar con dominio y recorrido.
Dominio de la función
Dom f= {a, b, c, d}
(elementos del conjunto de salida)
Codominio de la función
Cod f= {1, 2, 3, 4}
(elementos del conjunto de llegada)
Recorrido de la función
Rec f= { 1, 2 , 3}
(elementos que ocupamos del conjunto de llegada)
A continuación se muestran tanto los dominios como los recorridos de distintos tipos de funciones.
Función Constante
Dom f = IR
Rec f = { 2 }
Para las funciones constantes, el dominio siempre será IR
y su recorrido corresponderá al valor constante que la
función posea.
Función Afín / Lineal
La diferencia entre una y otra es que las funciones
lineales pasan por el origen del sistema cartesiano,
vale decir, el punto (0, 0).
Función lineal f(x) = 3x
Función afín f(x) = x +2
Para ambas funciones SIEMPRE tanto el dominio
como el recorrido de ellas será IR.
(no hay que hacer mayor cálculo)
Función Valor Absoluto
La función valor absoluto, se escribe f(x) = | x | y
representa en palabras sencillas, la distancia de los
números al cero.
Para efectos de dominio, generalmente será IR
(A menos que dentro del valor absoluto se encuentre
otra función, como podría ser una fracción dentro del
valor absoluto)
Si tenemos f(x) = | x | , su recorrido será ሾ0, +∞ሾ
Si tenemos f(x) = | x | + 2 , su recorrido será ሾ2, +∞ሾ
El “número solito” nos indica el valor del recorrido.
Función Parte Entera
Esta función asigna el valor entero menor a los valores
ingresados a la función (en caso de ser decimal). Cuando
el número es entero, el resultado es el mismo número.
f(x)= [x]
f(x)= [2,5] = 2
f(x)= [1,99999] = 1
f(x) = [5] = 5
f(x)= [ - 2, 3] = - 3
f(x)= [3,00001]= 3
El domino de esta función es generalmente IR
El recorrido de esta función es generalmente Z
Generalmente, pues se está considerando la función f(x)= [ x ]
Podrían incluirse otras funciones dentro de esta, situación que haría cambiar tanto dominio como
recorrido.
Función por tramos
Esta función se encuentra definida en forma diferente, dependiendo de los valores del dominio de la
función. En este caso, la función está definida de la siguiente forma:
−1
݂ ሺ‫ ݔ‬ሻ = ൝ ‫ ݔ‬− 1
6−‫ݔ‬
‫ < ݔ ݅ݏ‬−2
‫ ݅ݏ‬− 2 ≤ ‫ < ݔ‬2
‫ ≥ ݔ ݅ݏ‬2
Al realizar la gráfica, esta queda aproximadamente
Para calcular el dominio debemos fijarnos en los valores
para los cuales está definida la función. En este caso
‫ < ݔ‬−2 , −2 ≤ ‫ < ݔ‬2 ‫ ≥ ݔ ݕ‬2 que al juntarlos y
unirlos, obtenemos IR
Para el recorrido, lo más sencillo es mirar la gráfica y
“ver” los valores que toma el eje y.