Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
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Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Matrices para Portafolios Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Departamento de Ingenierı́a Financiera ITESO Marzo de 2013 Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Teorı́a de Portafolios usando algebra matricial I Ejemplo con 3 activos: I Sea Ri con i = A, B, C. los rendimientos sobre el activo i; los cuales siguen una distribución Normal con media µi , varianza σi2 y covarianza cov (Ri , Rj ) = σij I Un portafolio x compuesto por estos tres activos será tal que xA + xB + xC = 1 I El rendimiento del portafolio está dado por Rp,i = xA RA + xB RB + xC RC Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Ejemplo Numérico I En algebra matricial escribimos lo siguiente: Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Gráfica Representativa I Haciendo combinaciones de activos Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Representación Algebraica Matricial I I Los pesos en el portafolio debe sumar 1: Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Los rendimientos en el portafolio I Rendimiento del portafolio: I Rp,x RA = x 0 R = (xA , xB , xC ) RB RC I Rp,x = xA RA + xB RB + xC RC I Rendimiento esperado del portafolio: µA Rp,x = x 0 µ = (xA , xB , xC ) µB µC Rp,x = xA µA + xB µB + xC µC I I Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Fórmula para R y Excel I Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Varianza del Portafolio I La varianza está dada por: I La distribución del portafolio está dado por 2 Rp,x N(µp,x , σp,x ) I Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Fórmula para R y Excel I I Multiplicación de matrices con vectores. Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Covarianza entre los rendimientos de dos Portafolios I Sea dos portafolios con los siguientes pesos: I El rendimiento de los portafolios queda como: Rp,x = x 0 R Rp,y = y 0 R La covarianza quedaP como: P Cov (Rp,x , Rp,y ) = x 0 y = y 0 x I I I I Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Fórmula para R y Excel I Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Derivadas de Funciones Matriciales I Sea A una matriz simétrica de nXn, y x, y vectores de nX1, entoces las derivadas de primer orden quedan como sigue: Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Continuación de Derivadas de funciones matriciales I Sea: A = a b b c ,x = x1 x2 ,y = I Considerando la ecuación 1 y sea: I x 0 y = x1 y1 + x2 y2 I Queda entonces: Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra y1 y2 Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Continuación de Derivadas de funciones matriciales I Haciendo el producto de las siguientes matrices: I x 0 Ax = ax12 + 2bx1 x2 + cx22 I y considerando la ecuación 2 , la derivada queda como: Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo Calculando el portafolio global de mı́mina varianza I I I I Problema: Encontrar el portafolio m = (mA , mB , mC )0 que resuelve el siguiente problema de minimización: P 2 minmA ,mB ,mC σp,m = m0 m sujeto a: m0 1 = 1 I I Solución analı́tica utilizando algebra matricial Solución numérica utilizando el Solver en Excel Mtra. Marı́a Esther Caamaño Sierra Evaluación de Proyectos de Capital de Riesgo
