1 Solucion de escala para el numero de fragmentos Habiamos visto Caso unidimensional ns = ps (1 p)2 = ps (p pc )2 =) ln(ns ) = s ln(p) + ln(p pc )2 =)/ Caso dimension 1 ns / s 5=2 exp( cs) =) ln(ns ) = 25 ln(s) cs =)/ s s Tomando esta "similaridad" como base y suponiendo que la relacion para "altas dimensiones es mas general" hacemos: Proponemos ns = s exp( cs) (1) pero admitimos que c no es necesariamente (p mas general 1= c / jp pc j pc )2 , proponiendo la forma (2) para p ! pc y ademas s grande. Necesitamos que aparezca el modulo pues debe ser real Tomando esto como valido, hacemos : P es la fuerza del cluster percolante (probabilidad de que un nodo pertenezca al cluster percolante) P Recordemos que P + ns s = p donde hemos separado la contribucion del cluster in…nito (si existe). a) P = Ncluster1 s1 =Ld = ncluster1 s1 Atencion : ns j1 = 0 pues hay a lo sumo un cluster in…nito (al menos en 3 dimensiones) y entonces de clusters por nodo es 0: P el numero P b) ns s = Ns s=Ld 1.1 Fuerza del cluster percolante Para calcular el numero de nodos en el cluster 1 escribimos: X X P+ ns s = p =) P = p ns s; exactamente en pc ; P = 0 y entonces 1 P (3) ns (pc ) sc = pc , o sea (pues c = 0) pc = R (p X ss = X s1 ; (4) para que la suma converja necesitamos s x ds : s1 x x 1 j1 1 = si x > 1 converge =) >2 En pc la fuerza del cluster percolante es 0 (recordemos que para Bethe P / pc ) ), Entonces en la vecindad de pc tenemos P i) P + P ns s p = 0 ii) 0 + ns s jpc pc = 0 o sea X X P =p ns s + ns (pc ) s Para p 6= pc =) ns = s Para p = pc =) ns = s Entonces P X = / X s1 exp( cs), con c / jp s exp( cs)s + [1 X s pc 1= s + [p exp( cs)] 2 Integrando R 0por partes , i.e. f (s) = s fg= f g ds + f g y con z = cs da h a) como > 2 f g(1) = s 1 2 1 f g(1) = se va a 0 c c pc ] (6) (7) s , g(s) = 1 0 R (5) pc j Como los terminos dominantes, como ya vimos, en p Z P / s(1 ) [1 exp( cs)] R >2 1 exp(cs) i pc tenemos (8) exp( cs) resulta que se va a 0 R 0 b) g 0 (s) = [1 exp( cs)] R ! e sc c =) P / c s2 1 2 2 2 z 2 exp( z) dz Rz 2 exp( z) dz c = c z exp( z) dz = (3 ; z) exp( cs) ds = Entonces P /c 2 2 (9) pc )1= entonces pero c era en la forma general / (p pc )( P / (p 2)= = (p pc ) (10) con = ( 2) (11) que debe compararse con el comportamiento en la red de Bethe que daba P / (p pc ) 1.2 S Ademas podemos verPcomo se comporta S en el umbral, S = P 2 s ns =pc =) S / s2 ns (las sumas excluyen el cluster in…nito) S Z s2 ns ds Z 3 / c z2 / P s2 ns =p =) S = (12) exp( z)dz (13) Luego S/c 3 [ / jp pc j 3]= (14) De…nimos entonces otro exponente "critico" = (3 debe ser > 0 y )= (15) tambien, entonces 2< <3 (16) Todo sugiere que cada vez que calculamos algo tenemos que de…nir un nuevo exponente critico! Pero... 3 1.3 Momentos de la distribucion Lo que hemos calculado hasta ahora son cosas de la forma X Mk = sk ns (17) s esto es el "k-esimo" momento de la distribucion del numero de fragmentos Operando como siempre X Mk / sk exp( cs) (18) / Zs = c sk 1 exp( cs) ds Z k z k exp( z) dz (19) ( (21) (20) Entonces resulta Mk / c y 1 k / jp pc j 1 k)= De donde vemos que todas estas expresiones solo dependen de 2 exponentes, o de culaesquiera par que tomemos. = 1= ( + ) = 2 + =( + ) Este resultado es aplicable si la suma diverge. P Por ejemplo M1 = sns es la fuerza del cluster percolante, que no diverge. P 1 Entonces calculamos la derivada de M1 = s exp( cs) pero podemos calcular la derivada con respecto de c y obtenemos P 2 @M1 s exp( cs) = M2 / c 3 =) M1 = cte + c 2 @c = 1.4 Problemas con las suposiciones en este calculo a) la ley de escala usada no incluye al caso unidimensional Si uno hace las cuentas no encuentra forma de llevar una forma a la otra. b) P tiene un comportamiento simetrico respecto de pc Pues ns es simetrico respecto de p pues la distancia al punto critico aparece en modulo. P c) Sabemos que ns (p) = t gst ps (1 p)t , o sea un polinomio en p …nito que no diverge (ni sus derivadas ) en pc : Pero la ns = s exp( (p pc )1= s) tendra divergencias en pc si 1= no es entero. 4