Transformación conforme Contenidos Importancia del tema

Contenidos
Unidad I: Funciones de variable compleja. Operaciones. Analiticidad, integrales, singularidades, residuos.
Transformación conforme
Funciones de variable real a valores complejos. Funciones de valores complejos de una variable compleja.
Limite, continuidad, diferenciabilidad, derivada, analiticidad, integral compleja. Ecuaciones de Cauchy- Riemann,
funciones armónicas. Integrales de funciones analíticas: Teoremas integrales de Cauchy. Fórmulas integrales de
Cauchy. Series de Taylor y de Laurent. Singularidades aisladas, ceros y polos. El punto infinito. Residuos. Teorema de
los Residuos de Cauchy. Residuo en el infinito. Residuos Logarítmicos. Principio del argumento. Evaluación de
integrales reales. Transformaciones conformes.
Unidad II: Transformada de Laplace. Aplicaciones.
Definición. Funciones de orden exponencial. Condiciones suficientes de existencia. Transformada de Laplace de las
funciones de Heaviside (escalón unitario) y delta de Dirac (impulso). Propiedades: linealidad, transformada de la
derivada, teoremas de traslación, derivada de la transformada. Transformada de un producto. Transformada inversa.
Propiedades. Aplicaciones a la solución de ecuaciones diferenciales lineales. Función de transferencia. Respuesta al
impulso. Estabilidad de sistemas.
Unidad III: Series de Fourier. Transformada de Fourier. Aplicaciones.
Forma compleja de la serie de Fourier. Teorema de Parseval. Espectro de frecuencia discreta. Espectro de potencia.
Serie de Fourier generalizada.
Transformada de Fourier. Definición. Integral de Fourier. Espectro continuo. Propiedades: linealidad, transformada de
la derivada, simetría, de corrimiento con respecto al tiempo, de corrimiento con respecto a la frecuencia.
Convolución. Transformada del producto. Funciones generalizadas (delta de Dirac). Transformada de Fourier de la
delta de Dirac (impulso). Aplicaciones: Respuesta en frecuencia. Energía. Potencia. Convolución en dominio temporal.
Convolución en el dominio frecuencial.
Conocimientos previos para este
tema?
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•
Algebra de números. Complejos.
Funciones de variable compleja.
Funciones analíticas. Condiciones necesarias y
suficientes.
Reglas de derivación
Funciones armónicas y relación con funciones
analíticas.
Ecuación de Laplace.
Importancia del tema
• Las transformaciones conformes se utilizan
con el objetivo de simplificar un problema.
• Son muy útiles para resolver problemas de
física, química, ingeniería y matemáticas en
general, entre otros.
Funciones de variable compleja
Terna : ( f , D, S )
z = x + iy / z ∈ D ⊂ ℂ
•
Aplicaciones de funciones de variable
compleja
Funciones de variable compleja
w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) / w ∈ S ⊂ ℂ
f : D→S
Desde la Interpretación
geométrica: Transformaciones
Funciones analíticas:
Satisfacen ec. de C-R.
Derivadas parciales
continuas
•
Transformaciones
• Dilatación-contracción-Rotación
ω = Az
Transformaciones
• Inversión
ω =1 z
• Traslación
ω=z+B
• Transformación lineal general
ω = Az + B
• Transformación racional lineal
ω=
Az + B
Cz + d
(ad - bc ≠ 0)
Transformaciones
Transformaciones que conservan ángulos
• Definición:
• Transformaciones que conservan ángulos
• Transformaciones que conservan la
orientación
f :D→S
f conserva ángulos si para cualquier z0 ∈ D
dos curvas suaves en D que se intersectan en z0
formando en este punto un ángulo: α las imágenes
de estas curvas se cortan en f ( z0 ) ∈ S formando el
mismo ángulo.
Transformación que conserva ángulo
Transformaciones que conservan la
orientación
• Definición:
f (c2 )
f :D→S
α
zo
α
f ( zo )
f (c1 )
f conserva la orientación si una rotación en
sentido antihorario en D se transforma por f
en una rotación en sentido antihorario en S.
Transformación que conserva
orientación
TRANSFORMACIÓN CONFORME
f :D→S
α
α
• Es una transformación conforme si preserva ángulo
y orientación.
f ( zo )
zo
• Observación:
La conservación de los ángulos y la orientación son
conceptos independientes. Una transformación que
preserva solo la conservación de los ángulos se
denomina isogonal.
Teorema: Transformación conforme
Sea f : D → S
Hipótesis:
f es analítica en D
f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D
Si f(z) es analítica en un dominio D y
f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D
Entonces:
f es conforme en D .
∂u
∂v
 ∂u ∂v
 ∂ x = ∂ y , ∂y = − ∂x

 derivadas parciales continuas

∂u
∂v
 f '( z ) =
+i
∂x
∂x

• Para demostrar el teorema :
1) Obtener el ángulo de inclinación de la recta dirigida
tangente en el punto zo para un curva suave y de su
imagen en f(zo).
• 2) Determinar el ángulo que forman dos curvas suaves
en un punto zo y el que forman sus imágenes en f(zo).
Demostración
Considero zo que pertenece a D:
z0 = z (t0 )
• Sea
• C: arco suave
Representación paramétrica:
C : z = z (t )
ω (t0 ) = f ( z (t0 ))
a≤t≤b
Por hipótesis: f es analítica en zo y f '( z0 ) ≠ 0
Sea f(z) definida en todos los puntos de C.
Representación paramétrica de la imagen de C
bajo ω = f ( z )
Γ : ω = f ( z (t ))
a ≤ t0 ≤ b
a≤t ≤b
Entonces:
w '(t0 ) = f '( z (t0 )).z '(t0 )
∂u
∂v
 ∂u ∂ v
Hipótesis:
 ∂ x = ∂y , ∂ y = − ∂ x
arg(ω '(t0 )) = arg( f '( z (t0 ))) + arg( z '(t0 ))
φ0 =
ψ0
ψ 0 = arg( f '( z (t0 ))
+
θ0
Ángulo de rotación
f es analítica en D :

 derivadas parciales continuas

∂u
∂v
 f '( z ) =
+i
∂x
∂x

f '( z ) ≠ 0 ∀z ∈ D
• Para demostrar el teorema :
1) Obtener el ángulo de inclinación de la recta dirigida
tangente en el punto zo para un curva suave y de su
imagen en f(zo).
• 2) Determinar el ángulo que forman dos curvas suaves
en un punto zo y el que forman sus imágenes en f(zo).
Ángulo entre dos curvas
Ejemplo :
Determinar si f ( z ) = e z es conforme en ℂ
φ1 =
φ2 =
ψ0
ψ0
θ1
+
+
Analizar si ω=z 2 es conforme en z=0
θ2
φ2 -φ1 = θ 2 − θ1 = α
Ejemplo
• Analizar si w=z2 es conforme en z=0
Solución:
En z=0 existe un punto crítico. No es conforme
en z=0
conforme Implica 1 a 1
• Una transformación conforme en zo tiene una
inversa local allí:
z = f −1 ( w )
0
∂u
∂ (u , v) ∂x
J=
=
∂ ( x, y ) ∂v
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
0
Jacobiano de la transformación
Condiciones suficientes para la
existencia de la inversa
• Continuidad de u,v y de sus derivadas
parciales.
• Jacobiano distinto de cero.
x = x (u , v )
y = y (u , v )
z= f
−1
(w)
df
−1
(w)
1
=
df ( z )
dw
dz
• Por ser analítica en zo:
∂u
∂ (u , v) ∂x
J=
=
∂ ( x, y ) ∂v
∂x
• Por ser
∂u
∂y ∂u ∂v ∂u ∂v
2
=
−
= f '( z )
∂v
∂x ∂y ∂y ∂x
∂y
f '( z0 ) ≠ 0
Conclusiones
• La transformación conforme transforma una
región del dominio D, en otra región diferente
en S, es decir, a cada punto
• z = x + iy del plano complejo z.
• le asocia un único punto
• w=f(z) = u(x, y)+iv(x, y) del plano complejo
w.
• y viceversa.
Aplicaciones de Transformación
conforme:
Φ ( x, y ) armónica en D
Ψ ( x, y ) ármonica conjugada de Φ ( x, y ) en D.
f ( z ) = Φ ( x, y ) + iΨ ( x, y ) analítica en D.
Toda función armónica de (x, y) se transforma en otra función armónica de (u,v)
bajo una transformación conforme.
• -Muchos problemas de la ciencia y de la
ingeniería se modelizan mediante la ecuación de
Laplace:
•
∂ 2 Φ ( x, y ) ∂ 2 Φ ( x, y )
2
∇ Φ ( x, y ) =
+
=0
∂x 2
∂y 2
Aplicaciones de Transformación conforme
•
•
•
•
- Dinámica de los fluidos:
Bajo hipótesis:
-Flujo bidimensional (x,y).
-Flujo estacionario o uniforme (no depende de
t).
• -Componentes de la velocidad derivan de un
potencial:
∂Φ ( x, y )
∂Φ ( x, y )
Vx =
, Vy =
∂x
∂y
• -Flujo incompresible: es decir la densidad del
constante. (Cantidad de fluido constante).
• -Fluido no viscoso: no tiene viscosidad o
fricción interna.
Potencial complejo:
• Potencial complejo:
Ω ( z ) = Φ ( x, y ) + i Ψ ( x, y )
d Ω( z ) ∂Φ ( x, y ) ∂Ψ ( x, y )
=
+i
= Vx − iVy
dz
dx
∂x
Líneas equipotenciales y líneas de flujo
Ω ( z ) = Φ ( x, y ) + i Ψ ( x, y )
• • Dinámica de los fluidos: Flujo alrededor de
obstáculos.
• -Aplicaciones a la electrostática: Potencial de
electrostático complejo.
• -Aplicaciones a lo que se denoniminada: flujo
de calor.