Lección 10: Operaciones con números decimales

GUÍA
DE
MATEMÁTICAS I
LECCIÓN 10
Lección 10:
Operaciones con números
decimales
Las operaciones con números decimales son casi
idénticas a las operaciones con números naturales.
En esta lección veremos cómo se hacen.
Suma y resta con decimales
Para sumar o restar números decimales debemos fijarnos en
sumar o restar las cifras con el mismo valor posicional, es
decir los números del mismo orden. Para hacer esto, alineamos
los números por el punto decimal, sumamos o restamos como
si fueran enteros y ponemos el punto en el mismo lugar que
está en los sumandos o en el mismo lugar que está en el
sustraendo y en el minuendo.
106
111 1
123.45
+ 87.76
211.21
Por ejemplo, si queremos sumar 123.45 y
87.76, los alineamos por el punto decimal
y los sumamos como si fueran enteros. El
punto decimal queda abajo de los puntos
decimales de los sumandos en
el resultado.
123.45
- 87.76
35.69
Restemos ahora estos mismos números,
es decir, restemos 123.45 menos 87.76.
Alineamos los números por el punto
decimal, los restamos como si fueran
enteros y ponemos el punto decimal en
el resultado abajo del punto decimal
del minuendo y del sustraendo.
LECCIÓN
Haga las siguientes operaciones con números decimales.
a)
d)
777.93
94.70
+ 285.69
63.4
- 28.358
b)
e)
.5
.605
+ 70.1277
7.31
1.44
554.3
- 21.629
c)
f)
.056
1.104
+ .830
.002
-
.509
.059
Multiplicación con decimales
Para multiplicar números decimales multiplicamos como si
fueran números naturales pero, para colocar el punto decimal
en el resultado, contamos las cifras decimales de cada factor
y en el producto ponemos tantos decimales como la suma
de los que tienen los factores. Por ejemplo, si multiplicamos
32.5 por 2.14 vamos a multiplicar como si tuviéramos 325
por 214 y al resultado le ponemos el punto para que queden
tres cifras decimales porque en el primer factor tenemos
una cifra decimal y en el segundo factor tenemos dos cifras
decimales:
32.5
´ 2.14
1 300
3 250
65 0
69.550
una cifra decimal
dos cifras decimales
tres cifras decimales
107
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LECCIÓN 10
En realidad lo que estamos haciendo en esta multiplicación,
cuando la hacemos como si fueran enteros, es multiplicar
por múltiplos de 10. Para considerar a 32.5 como 325 estamos
multiplicando por 10, para considerar a 2.14 como 214 estamos
multiplicando por 100, en total hemos multiplicado por 1000.
Para que el resultado no nos quede multiplicado por 1000,
tenemos que dividirlo entre 1000. Ésa es la razón por la que
pusimos las 3 cifras decimales en el producto.
Haga las siguientes operaciones con números decimales.
a)
176.13
´
10.6
b)
98.34
´ 44.16
c)
d)
.487
11.4
e)
2134
´ 0.0002
f)
´
´
48.7
1.14
100000
´ 0.00001
División con decimales
En esta operación sí vamos a encontrar una diferencia con
lo que hemos hecho hasta ahora porque aquí sí veremos las
situaciones en las que tenemos que partir la unidad. Veremos
sucesivamente diferentes casos.
Para dividir un número decimal entre un número natural,
trabajamos como si los dos fueran enteros y en la “casita”
de la división ponemos el punto decimal arriba del punto del
dividendo.
108
LECCIÓN
Por ejemplo, si queremos dividir 54.72 entre 3, empezamos,
como siempre, por el mayor orden, que aquí son las decenas,
seguimos con las unidades, colocamos el punto decimal en el
cociente y seguimos con los décimos y los centésimos:
Observe que al hacer esta división repartimos las 5 decenas
que tenemos en el dividendo entre 3 y nos sobraron 2 decenas. Éstas las agregamos a las
cuatro unidades que ya teníamos.
Dividimos las 24 unidades entre 3
1 8. 2 4
y no nos sobró nada. Repartimos
3 5 4. 7 2
los 7 décimos que tenemos en el
2 4
dividendo entre 3 y nos sobró un
0 7
décimo. Éste se lo agregamos a
1 2
los 2 centésimos que teníamos.
0
Dividimos los 12 centésimos
entre 3 y no nos sobró nada.
4
Veamos otro ejemplo un poco distinto. Si queremos dividir
13.5 entre 4, repartimos 13 entre 4 y nos sobra una unidad
que le agregamos a los décimos que tenemos. Dividimos los
15 décimos entre 4 y nos sobran
3 décimos. Como queremos seguir
con el reparto, partimos los 3
3. 3 7 5
décimos que sobraron en centésimos
1 3. 5
(frecuentemente decimos que
1 5
bajamos el cero) y dividimos esos
3 0
30 centésimos entre 4; nos sobran
2 0
2 centésimos que partimos en
0
milésimos. Quedan 20 milésimos
que repartimos entre 4 y ya no
sobra nada.
No siempre podemos llegar a tener un residuo cero. Por
ejemplo, si dividimos 4 entre 3 toca a uno y sobra una
unidad. Para seguir dividiendo tenemos que partir la unidad
que queda en 10 décimos. Si ahora dividimos estos 10 décimos
entre 3, toca a 3 y sobra un décimo que tenemos que partir
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en 10 centésimos. Volvemos a dividir entre 3, toca a 3 y
sobra un centésimo que tenemos que dividir en milésimos.
Observe que este proceso no se va a acabar nunca, siempre
vamos a tener 10 entre 3 y siempre va a sobrar uno que vamos
a partir en 10.
3
1. 3
4
1 0
1
3
0
1
3 ...
0
1
...
Como este proceso no termina nunca, tenemos que decidir
hasta dónde vamos a continuar la división. Si decidimos
llegar hasta una cifra decimal en el cociente, decimos que
aproximamos la división hasta décimos. Si decidimos llegar
hasta dos cifras decimales, decimos que aproximamos la
división hasta centésimos, etc. Hasta cuántas cifras decimales
se aproxima una operación se decide en general por el uso
que se va a hacer del resultado. Por ejemplo, si el resultado
es dinero casi siempre se usará una aproximación cuando
mucho hasta centésimos (es decir, hasta centavos).
Al dividir 4 entre 3 obtuvimos un número en el que
se repite una cifra decimal hasta el infinito; en ese caso se
repite el tres. En 1.333..., tenemos 3 décimos, 3 centésimos,
3 milésimos, etc. Este número que se repite se llama período
y para indicar su repetición hasta el infinito podemos escribirlo
tres veces y poner puntos suspensivos o bien poner una
pequeña curva sobre él que indica lo mismo: 1.333... = 1.3.
110
LECCIÓN
No siempre tenemos períodos con una sola cifra decimal.
Por ejemplo, si dividimos dos entre siete, tenemos que
partir los dos enteros en décimos; nos quedan 20 décimos.
Al repartir van a tocar dos décimos a cada uno de los 7 y
sobran 6 décimos. En el cociente tenemos que poner un
punto decimal para indicar que el resultado empieza en
décimos y, si queremos podemos poner cero enteros. Para
repartir los 6 décimos que sobran, los tenemos que partir en
centésimos, tenemos así 60 centésimos entre 7, toca a 8 y
sobran 4 centésimos, que son 40 milésimos. Seguimos el
proceso como se ve enseguida. Observe que a partir de un
cierto lugar empiezan a repetirse los residuos y también
empiezan a repetirse las cifras del cociente.
7
0. 2
2 0
6
8
0
4
5
0
5
7
0
1
1
0
3
se repiten
los residuos
4
2
8
5
7
1
4
2 ...
se repiten las cifras del
cociente
0
2
0
6
0
4
0
5
0
1
0
3
0
2
0
6
...
Por más que sigamos haciendo la división, se seguirán
repitiendo los residuos y en el cociente se repetirán las
cifras 285714, este es ahora el período. Podemos escribir
111
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el resultado de esta división repitiendo 3 veces el período y
poniendo puntos suspensivos o podemos poner sobre el período
una curvita para indicar esta repetición hasta el infinito:
2 ÷ 7 = 0.285714285714285714... = 0.285714
Si queremos dividir por un número con más de una cifra se
procede como con los números naturales. Por ejemplo, si
queremos dividir 435.98 por 12 tomamos las dos cifras del
mayor orden del dividendo, que aquí forman 43 decenas, y
vemos que sí se puede dividir ese número entre 12. Como
12 ´ 3 = 36, nos toca a 3 y sobran 43 - 36 = 7 decenas.
Escribimos el 3 sobre el 3 de 43 y el residuo abajo de este
mismo número. Las 7 decenas que sobran se las agregamos
a las 5 unidades del dividendo y dividimos las 75 unidades
entre 12. Nos toca a 6 unidades y sobran 3 porque 12 ´ 6 =
72 y 75 - 72 = 3. Ponemos en el resultado las 6 unidades y el
punto decimal y el residuo bajo el 5 del 75. Las 3 unidades
que sobraron, convertidas a 30 décimos, se las agregamos
a los 9 décimos del dividendo y dividimos los 39 décimos
entre 12, nos toca a 3 y sobran 3 décimos. Agregamos los 3
décimos sobrantes a los 8 centésimos que tenemos y dividimos
los 38 centésimos entre 12. Nos toca a 3 centésimos y sobran
2 centésimos. Si queremos seguir la división partimos esos 2
centésimos sobrantes en 20 milésimos y los dividimos entre
12. Nos toca a 1 y sobran 8 milésimos. Se puede seguir la
división hasta donde queramos; aquí vamos a parar en los
milésimos.
1
112
2
4
3
3
7
6. 3
5. 9
5
3 9
3
3
8
8
2
1
0
8
LECCIÓN
El mismo procedimiento se sigue si queremos dividir un
número decimal entre cualquier número natural. Para
dividir un número decimal entre otro número decimal el
procedimiento es un poco distinto y lo presentaremos
después de hacer una pequeña observación.
Observe que si dividimos un número entre otro obtenemos lo
mismo que si dividimos el primer número multiplicado por
una potencia de diez entre el segundo número multiplicado
por la misma potencia de diez. Por ejemplo, obtenemos el
mismo resultado si dividimos 2.5 entre 3 que si dividimos
25 = 2.5 ´ 10 entre 30, o que si dividimos 250 entre 300, etc.
3
0. 8 3
2. 5
2 5
1 0
1
0. 8
3 0 2 5
2 5 0
1 0
1
3
300
2 5
2
0
5
1
0
0
0. 8
3
0
0
1
0
0
0
0
0
Veamos ahora cómo se divide un número decimal entre otro,
por ejemplo 67.46 entre 2.3. Antes que nada observamos que
el divisor tiene una cifra decimal. Multiplicamos tanto el
divisor como el dividendo por diez para tener un número
natural como divisor y dividimos como antes. En este ejemplo
tenemos que 2.3 ´ 10 = 23 y que 67.46 ´ 10 = 674.6, así que
la división será 674.6 entre 23:
2.3
6
7. 4
6
2 3
6
2
2
7
1
9. 3
4. 6
4
7 6
7
3
0
1
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LECCIÓN 10
El cociente de estas dos divisiones es el mismo porque en la
segunda división el divisor y el dividendo son los de la primera
división multiplicados por diez.
Si queremos dividir entre un número con más cifras decimales,
multiplicamos el divisor y el dividendo por un uno y tantos
ceros como cifras decimales tenga el divisor para obtener en
el divisor un número natural.
Por ejemplo, para dividir 46.75 entre 5.517 multiplicamos por
1000 los dos números, 5.517 ˘ 1000 = 5517 y 46.75 ˘ 1000 =
46750, y dividimos 46750 entre 5517. Podemos hacer la
división con la cantidad de cifras decimales que queramos;
aquí la hacemos hasta décimos.
8. 4
5 5 1 7 4 6 7 5 0
2 6 1 4 0
4 0 7 2
5. 5 1 7 4 6. 7 5
Haga las siguientes operaciones con números decimales.
a)
76
315
b) 2 5 3
356
d) 1 7 1 8 2 0 . 8 6
114
c) 1 8
e) 2 . 5
49.5
42.5
f) . 5 1 0
LECCIÓN
a) En un comercio se venden sólo cinco productos y tienen
que llenar lo formatos de la declaración de impuestos del
último trimestre. Para ello se necesita sumar por separado
el precio de los productos vendidos y el IVA cobrado.
Calcule el total de cada uno con los siguientes datos:
Producto
A
B
C
D
E
Cantidad vendida
25
13
6
20
36
Precio unitario ($)
95.30
32.10
777.30
81.80
32.80
IVA ($)
14.30
4.80 116.60
12.25
4.90
TOTALES
Por un error, el trimestre anterior se pagaron a Hacienda
$870 de más de IVA. ¿Cuánto hay que pagar este trimestre
para recuperar ese pago extra?
b) El señor Vicente repartió un bote de 45 litros de aceite
en botellas de 1.5 litros. ¿Cuántas botellas llenó?
c) Un equipo de trabajadores que pintan franjas de
señalamiento en una carretera tardan 1.3 horas en
pintar 5 Kms. ¿Cuántos Kms. pintarán en 4.5 horas?
d) Una varilla de 7 m. se corta en 6 partes iguales y en
cada corte se pierden 8 milésimos de metro. ¿De
qué tamaño queda cada parte?
En una oferta de “pague uno y medio y lleve dos”,
Esteban compró dos pantalones y dos camisas.
El precio en etiqueta de cada pantalón era de
$253.80 y el de cada camisa $123.75.
a) ¿Cuánto pagó por cada pantalón?
b) ¿Cuánto pagó por cada camisa?
c) ¿Cuánto pagó en total?
d) ¿Cuánto dinero ahorró en la compra?
115