TEMA 12. TEORIA DE REDES

TEMA 12. TEORIA DE REDES
1. RED ELECTRICA
Se denomina red eléctrica a un conjunto de dipolos activos (fuentes) y pasivos
(resistencias, inductores, condensadores, receptores, etc) unidos por conductores,
formando circuitos cerrados interconectados.
Si la red está formada por fuentes y dipolos pasivos se denomina red activa y si
solo está formada por dipolos pasivos se denomina red pasiva.
En este tema se van a estudiar algunos métodos generales para el análisis de
redes, planas, lineales y en régimen permanente. Una red es lineal cuando está
constituida por dipolos lineales, es decir, cuando la relación V-I de todos los dipolos de
la red es lineal. La resistencia en cierto rango de temperatura lo es, el condensador
siempre y el inductor con núcleo de aire también, y con núcleo de hierro so no ha
llegado a la saturación se puede considerar lineal.
La corriente alterna senoidal es un caso de régimen permanente y la corriente
continua se puede considerar como una corriente alterna de pulsación nula.
Se utilizará la notación compleja teniendo en cuenta que en c.c.
ZR = R ; Z L = 0 ; ZC = ∞
2. FUENTES DE TENSION Y DE INTENSIDAD
2.1. INDEPENDIENTES
a) Fuentes de tensión
La fuente ideal de tensión es un elemento activo que proporciona una fem que
no depende de la corriente que suministra. Se representa por
La fuente real de tensión no logra mantener constante la diferencia de potencial
entre bornes debido a su resistencia interna, pero la fuente real de tensión es equivalente
a una fuente ideal de tensión con su resistencia interna en serie.
Fuentes de tensión son pilas, baterías, alternadores, dinamos, termopares, etc.
Pero además en teoría de circuitos existen otros casos asimilables a fuentes de tensión y
son cualquier bobina en la que se induce una fem por la ley de Faraday y un par de
terminales con energía eléctrica perteneciente a una red.
b) Fuentes de intensidad
La fuente ideal de intensidad es un elemento activo que genera una corriente
específica y que no depende de la diferencia de potencial entre sus bornes. Se representa
por
La fuente real de intensidad no logra mantener la corriente constante, porque
una parte de la corriente viene shuntada por la resistencia interna de la propia fuente.
Pero se puede sustituir por una fuente de intensidad ideal en paralelo con su resistencia
interna.
Fuentes de intensidad son el pentodo, circuitos transistorizados, etapas de salidas
de amplificadores.
2.2. DEPENDIENTES
Una fuente dependiente produce una tensión o una corriente que depende de la
tensión o de la corriente que aparece en otra rama de la red u otro sitio. Según de quien
sea la dependencia nos podemos encontrar con cuatro tipos:
-
fuente de tensión dependiente de tensión
fuente de tensión dependiente de corriente
fuente de intensidad dependiente de tensión
fuente de intensidad dependiente de corriente
Su representación es
En la práctica, las fuentes dependientes pocas veces se consideran como
componentes físicos reales. Más bien aparecen en diagramas de circuitos como partes o
modelos que operan en forma similar a transistores reales y otros componentes
electrónicos.
2.3. TRANSFORMACIONES ENTRE FUENTES
Una fuente puede considerarse como de tensión o de intensidad según resulte
mas útil la aplicación de una u otra forma para el análisis de la red. Debido a que una
red puede tener diferentes tipos de fuentes, es necesario saber convertir una en otra. En
la figura se muestra la transformación de una fuente de tensión en una de intensidad y al
contrario
3. DIVISOR DE TENSION
Un conjunto de dipolos pasivos conectados en serie reciben el nombre de divisor
de tensión. Sean n impedancias en serie
al ser recorridas todas por la misma corriente I
i=n
VT = V1 + V2 + ..... + Vi + ..... + Vn = Z1I + Z 2 I + ..... + Zi I + ..... + Z n I =
∑Z I = Z I
i
T
i =1
de donde
Vi
ZI
Z
= i = i
VT Z T I ZT
⇒
Vi =
Zi
VT
ZT
esto es, esta regla nos proporciona la tensión a través de cualquier impedancia en
términos de impedancias y tensiones a través de la combinación en serie.
Dos aplicaciones prácticas son:
a) El potenciómetro. Que es un divisor de tensión puramente resistivo
V2 R 2
=
V1 R 1
⇒
V2 =
R2
V1
R1
R 2 es variable
b) Autotransformador. Que es un divisor de tensión puramente inductivo
V1 = j ω N1φ1
V2 N 2
=
V1 N1
;
V2 = j ω N 2φ2
⇒ V2 =
N2
V1
N1
4. DIVISOR DE CORRIENTE
Es un caso dual al divisor de tensión. Si tenemos varios dipolos pasivos en
paralelo, en todas las ramas existirá la misma tensión.
I T = I1 + I 2 + ... + I i + ... + I n =
1
1
1
1
1
V + V + ... + V + ... + V =
V
Z1
Z2
Zi
Zn
ZT
Ii 1 Zi
=
IT 1 Z T
⇒
Ii =
ZT
I
Zi
Que
proporciona
la
corriente a través de cualquier
impedancia en términos de
impedancias en razón inversa y de
la corriente que entra a la
combinación en paralelo.
El ejemplo más práctico es el shunt para los amperímetros, que consiste en una
resistencia en paralelo con el amperímetro para que por el pase una fracción de la
intensidad total.
Supóngase
que
por
el
amperímetro de resistencia conocida
R amp interesa que pase I n (n dado), por
el shunt pasará
I n −1
IS = I − Iamp = I − =
I
n
n
Se desea conocer la resistencia del shunt R S
IS R
=
I RS
despejando
RS =
IR
IR
n
=
=
R
IS n − 1 I n − 1
n
operando
RS =
1
R amp
n −1
3. METODO DE LAS CORRIENTES DE MALLA
El método de las corrientes de malla o de las mallas independientes, consiste en
aplicar implícitamente la ley de los nudos al escribir las ecuaciones de las mallas.
Supongamos que se trata de determinar las corrientes de la red compleja de la figura, en
la cual se conocen las fem y las resistencias
Basándonos en la
hipótesis, puramente de
cálculo, de que una malla
es recorrida por la misma
intensidad en todas sus
ramas, descompongamos la
red
en
mallas
independientes y a cada
una asignémosles una
corriente
de
malla
I1 , I 2 , I 3 , I 4 , atribuyéndolas
un sentido arbitrario. Se
deben tener en cuenta las
dos corrientes de malla que
recorren una misma rama.
En las expresiones de las caídas de tensión se atribuye el signo + a la caída en el
sentido de la corriente y el – en caso contrario. Aplicando la 2ª regla de Kirchhoff
Malla 1
Malla 2
Malla 3
Malla 4
( R1 + R 2 ) I1 + R 2 I2 = ε1 − ε 3
( R 2 + R 3 ) I2 + R 2 I2 − R 3 I4 = −ε 2
( R 4 + R 5 ) I3 + R 5 I 4 = ε 3 − ε 4
( R 3 + R 5 + R 6 ) I 4 + R 5 I3 − R 3 I 2 = ε 6 − ε 5
que se puede poner en forma matricial
 R1 + R 2

 R2
 0
 0

R2
R2 + R3
0
−R 3
0
0
R 4 + R5
R5
0
  I1   ε1 − ε 3 
  

−R 3
  I 2  =  −ε 2 
  I3   ε 3 − ε 4 
R5
  

R 3 + R 5 + R 6   I 4   ε 6 − ε 5 
Para resolver esta ecuación matricial nos apoyamos en la regla de Cramer, así,
por ejemplo el valor de I1 es
I1 =
ε1 − ε 3
R2
0
0
−ε 2
R 2 + R3
0
−R 3
0
R 4 + R5
R5
ε3 − ε4
−R 3
R5
R3 + R5 + R6
ε6 − ε5
R1 + R 2
R2
0
0
R2
R2 + R3
0
−R 3
0
0
R 4 + R5
R5
0
−R 3
R5
R3 + R5 + R6
y así sucesivamente con los demás I 2 , I 3 y I 4 .
Los signos con los que se deducen I1 , I 2 , I 3 , I 4 se conservan para determinar las
corrientes en las ramas que afectan a dos mallas, y después los signos negativos
significan que el sentido de circulación es el opuesto al supuesto previamente.
Igual que se ha aplicado para corriente continua se aplica para corriente alterna,
sustituyendo las resistencias por las impedancias de cada rama, o sea, ahora se trabaja
en los determinantes con números complejos.
6. METODO DE LAS TENSIONES EN LOS NUDOS
En este método se observan los nudos de la red y se escoge uno como referencia,
para ello se le une a tierra y así su potencial es nulo, después se plantean las ecuaciones
basadas en la primera ley de Kirchhoff de los demás nudos. A cada nudo se le asigna un
potencial, entendiendo que ese potencial es con respecto al nudo de referencia. Estos
potenciales son las incógnitas que dan solución a la red. Para observarlo mejor,
considérese la red de la figura
Nudo 1
V1 − V ′ V1 V1 − V2
+
+
=0
Za
Zd
Zb
Nudo 2
V2 − V1 V2 V2 − V ′′
+ +
=0
Zb
Ze
Zc
Despejando V1 y V2 se obtienen las intensidades de las ramas que contienen a
Z b , Z d y Z e y después las demás.
7. TEOREMA DE SUPERPOSICION
Una red lineal que contenga dos o mas fuentes independientes puede analizarse
para obtener las tensiones y corrientes de las ramas, como la superposición de las
respuestas producidas por las fuentes, actuando cada una sola. Se aplica este principio
debido a la relación lineal entre la corriente y la tensión. Por ello, la superposición no
puede aplicarse directamente al cálculo de la potencia, al depender esta del cuadrado de
la corriente ó de la tensión, con lo cual se pierde la linealidad.
Las fuentes de tensión que se suprimen se reemplazan por conductores sin
resistencia (cortocircuito) y las fuentes de intensidad por circuitos abiertos.
Si se desea conocer las corrientes de la red de la figura
Esta red puede considerarse como la superposición de las redes
Se determinan I1′ , I′2 , I′3 ; I1′′, I′′2 , I′′3 y así
I1 = I1′′ − I1′ ; I 2 = I′2 − I′′2 ; I3 = I′3 + I′′3
En caso de fuentes dependientes la superposición puede usarse solamente
cuando las funciones de control son externas a la red que contiene las fuentes, de modo
que los controles permanecen inalterados mientras las fuentes actúan por separado.
En circuitos de corriente alterna, si las fuentes independientes operan a la misma
frecuencia la aplicación de la superposición es igual que en c.c. cambiando las
resistencias por impedancias complejas. Las fuentes independientes que no estén
involucradas en el proceso pueden anularse, pero las fuentes dependientes se dejan
intactas en el circuito.
Cuando todas las fuentes independientes tienen la misma frecuencia la
aplicación de este teorema es más laboriosa que por otros métodos, pero en cambio,
cuando las fuentes tienen distintas frecuencias y hay condensadores e inductores resulta
muy útil, ya que se analizará un circuito para cada frecuencia y después se procederá a
la superposición de todos. En este caso los fasores se transformará en sinusoide, pues
los fasores al tener distintas ω , no podrán sumarse y las sinusoidales si.
8. TEOREMA DE KENNELLY
Una malla triangular ABC perteneciente a una red, y que solo tiene impedancias
Z AB , Z AC y ZBC , puede sustituirse por una estrella NABC formada por las impedancias
Z A , Z B y Z C , a condición de que
ZA =
Z AB Z AC
Z AB Z BC
Z AC Z BC
; ZB =
; ZC =
Z AB + Z AC + Z BC
Z AB + Z AC + Z BC
Z AB + Z AC + Z BC
La comprobación es fácil. Para que se puede reemplazar el triángulo por la
estrella, es preciso que entre dos de los puntos A, B, C las impedancias sean iguales en
ambos sistemas. Por tanto, aplicando la ley de los nudos y la ley de Ohm al triángulo
obtenemos
VA − VB VA − VC
+
ZAB
ZAC
V −V V −V
I B = I ′′′´− I ′ = B C − A B
ZBC
ZAB
I A = I ′ + I ′′ =
por otro lado
VA − VB = (VA − VN ) + (VN − VB ) = Z A I A − Z B I B
del mismo modo
VA − VC = Z A I A + Z C ( I A + I B )
VB − VC = Z B I B + Z C ( I A + I B )
sustituyendo estos valores en las ecuaciones anteriores

 Z
Z
Z
Z 
Z 
I A 1 − A − A − C  = I B  C − B 
 ZAB ZAC ZAC 
 ZAC ZAB 

 Z
Z
Z
Z 
Z 
I B 1 − B − C − B  = I A  C − A 
 ZBC ZBC ZAB 
 ZBC ZAB 
como la equivalencia debe ser para cualquier par de valores ( I A , I B ) , solo se verificarán
simultáneamente las dos ecuaciones si los coeficientes de I A y de I B son nulos, es decir
1−
ZA
Z
Z
− A − C =0
ZAB ZAC ZAC
ZC
Z
− B =0
ZAC ZAB
1−
Z
ZB
Z
− C − B =0
ZBC ZBC ZAB
ZC
Z
− A =0
ZBC ZAB
y de estas expresiones deducimos las expuestas al principio.
Evidentemente también el recíproco, de estas mismas expresiones se deduce
Z AB =
ZA ZB + ZA ZC + ZBZC
Z Z + ZA ZC + ZBZC
Z Z + Z A ZC + Z BZC
; Z AC = A B
; Z BC = A B
ZC
ZB
ZA
9. TEOREMAS DE THEVENIN Y NORTON
TEOREMA DE THEVENIN
Una red lineal activa con terminales de salida A y B es equivalente a un fuente
de tensión ε TH y a una impedancia Z TH en serie, tal que
ε TH = VA − VB (en circuito abierto)
Z TH = Z AB (impedancia equivalente entre A y B cuando se anulan todas las fuentes)
La fuentes de tensión se anulan poniéndolas en cortocircuito, es decir
sustituyéndolas por un conductor sin resistencia, y las fuentes de intensidad se anulan
poniéndolas en circuito abierto.
TEOREMA DE NORTON
Una red lineal activa con terminales de salida A y B es equivalente a una fuente de
intensidad I N y a una impedancia Z N en paralelo, tal que
IN =
VA − VB
(en circuito abierto)
ZN
Z N = Z AB (igual que en el caso anterior)
I N coincide con la corriente de cortocircuito entre A y B.
10. TEOREMA DE LA MAXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA
En ocasiones se desea obtener la máxima transferencia de potencia en una red
activa a una resistencia de carga externa. El teorema de la máxima transferencia de
potencia expresa que esto ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia
de Thévenin de la red activa
la potencia absorbida por la resistencia de carga R es
2
P=I R=
2
ε TH
R
( R + R TH )
2
=
2

ε TH
4R TH
R −R 
1 −  TH

  R TH + R 
Puede verse que P alcanza su valor máximo
2
ε TH
4R
2



cuando R = R TH
*
En corriente alterna también se cumple este teorema cuando Z = Z TH
así las
partes resistivas son iguales y las reactancias de signos opuestos.