Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula

Ejemplos 1.
Cinemática de una Partícula
1.1.
Diversos Sistemas Coordenadas
1.1A.* La velocidad periférica de los dientes de una hoja de sierra circular (diámetro
250mm) es de 45m/s cuando se apaga el motor y, la velocidad de los dientes decrece
a un ritmo constante, hasta la parada al cabo de 9 segundos. Hallar el instante en que
la aceleración total de los dientes es 40m/s2.
Respuesta: t = 8,55segs
• Aplique una de las ecuaciones cinemáticas para el caso que la aceleración es
constante, para encontrar la aceleración tangencial antes que se apague el motor.
• Aplique el teorema de Pitágoras para encontrar la aceleración normal en el mismo
instante.
• Determine la velocidad en el mismo instante.
• De nuevo aplique una ecuación de cinemática con aceleración constante para
determinar el tiempo cuando la aceleración total es 40m/s2.
1.1B.** Una partícula se está moviendo a lo largo de una trayectoria parabólica dado por
la ecuación y = 2 x en el punto A, la partícula tiene una rapidez de 10m/s y la razón
de variación de la rapidez a lo largo de la trayectoria es 10m/s2. ¿Determine el vector
de aceleración de la partícula en ese punto?
y
4m
A
y=2 x
4m
x
r
Respuesta: a = 10,95 î + 0,47 ĵ m/s
Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
• Del formulario la ecuación para la aceleración en coordenadas intrínsecas es:
r dv
v2
a=
ê t +
ê n
dt
ρ
• Determine la dirección de ê t derivando la función de la trayectoria ( tgα =
tangente a la
trayectoria
Figura 1.i))
y
dy
(ver
dx
dx
α
dy
ê t
ê n
x
Figura 1.i
• Determine la dirección de ên girando ê t 90º.
( )
( )
( )
Ejemplo (de la Figura 1.i):
ê t = cos α î + senα − ĵ ; ê n = senα − î + cos α − ĵ (acuérdese que la componente
normal siempre apunta hacia el centro de curvatura de la trayectoria).
• Determine el radio de curvatura de la trayectoria ρ de la formula del Formulario.
1.1C.* El perno P situado al extremo de una barra telescópica fija se desliza a lo largo de
la trayectoria parabólica fija y2 = 40x (x en mm). La coordenada y de P varía con el
tiempo t (segs), según y = 4t2+6t (mm), cuando y = 30mm, calcule: a) el vector de
velocidad de P; b) el vector de aceleración de P.
y
y 2 = 40 x
P
x
r
r
Respuesta: a) v = 34,1î + 22,7 ĵ mm/s b) a = 37,8 î + 8 ĵ mm/s 2
•
Con las dos ecuaciones dadas en el anunciado se puede determinar la
componente de posición en x en términos de t.
•
Derivando con respecto al tiempo se encuentra la velocidad y aceleración.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
1.1D.* El pasador se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos
de las ranuras A y B. En el instante mostrado A tiene una velocidad de 20cm/s y una
aceleración de 5cm/s2, ambas hacia la derecha, mientras B tiene una velocidad de
70cm/s hacía abajo y una aceleración de 10cm/s2 hacía arriba. Determine el radio de
curvatura de la trayectoria en ese momento.
P
B
A
Respuesta: ρ = 701,57 cm
•
Define la velocidad en coordenadas rectangulares.
•
Encuentre el ángulo de la velocidad, defina el vector unitario ê t y girarlo 90º, como
ejemplo B, para encontrar ê n .
•
Iguale la aceleración en coordenadas rectangulares con la ecuación para las
componentes intrínsecas, expresando ê t y ê n en coordenadas rectangulares.
1.1E.** El brazo OB gira en el sentido horario con velocidad angular constante ωo =
5rad/s. Determine la aceleración angular α de la barra BD que desliza por el collar
pivoteado en C cuando θ = 90°.
B
250mm
θ
C
O
D
600mm
Respuesta: αDB = 6,2rad/s2
•
Se formulan dos ecuaciones para la velocidad de B en términos de coordenadas
polares con ê r y ê θ expresados en î y ĵ . Una ecuación con su polo en O y la
otra en C.
•
Se igualan las ecuaciones para determinar las incógnitas.
•
Se realiza lo mismo con la aceleración.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
1.1F.** El motor ubicado en D desenrolla el cable BCD con una rapidez constante de
0,8m/s. Determinar la velocidad del extremo B de la barra pivoteada AB cuando R =
4m. Desprecie el tamaño de la polea en C.
7m
C
θ
A
R
4m
0,8m/s
B
D
( )
( )
r
Respuesta: v B = 0,45 − î + 0,82 − ĵ
•
Determine la velocidad de B con coordenadas polares (en î y ĵ ) con polo en C.
Incógnita: θ& .
•
Determine la velocidad de B con coordenadas polares, (en î y ĵ ) (o con cuerpos
rígidos) con polo en A. Incógnita: velocidad angular de la barra AB.
1.1G.** La rotación del brazo OA está gobernado por la pieza ranurada. Si ésta tiene una
aceleración de 6m/s2 y una velocidad de 0,6m/s, ambas hacia abajo en el instante en que
θ = 30°, determine la aceleración angular correspondiente.
5cm
A
θ
15cm
0
Repuesta: &θ& = 31 rad / s 2
•
La trayectoria de movimiento del punto A es un círculo alrededor del punto O (ver
Figura 1.ii).
•
Se ve que la velocidad de A tiene dos componentes rectangulares en − î y − ĵ .
La componente vertical tiene que tener la misma magnitud que pieza ranurada.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
•
Sabiendo la dirección de la velocidad de A y la magnitud de una componente
determine la velocidad total.
•
Del mismo modo y usando coordenadas intrínsecas se puede determinar la
aceleración.
•
Formule ecuaciones para la velocidad y aceleración de A desde O para encontrar
la velocidad y aceleración angular de la barra.
r
vA
A
ên
θ
θ
ê t
0
Figura 1.ii
1.1H.*** El brazo ranurado de longitud R está pivoteado en O y lleva en su interior la
corredora C. La posición de C dentro de la ranura se controla mediante una cuerda
que se mantiene tensa y fija en D. El brazo rota en sentido antihorario con velocidad
angular constante ω = 4rad/s. La longitud de la cuerda CBD = R (r = 0 cuando θ = 0).
Determine la magnitud de la aceleración de C cuando θ = 30°. R = 375mm.
B
R
cuerda
r
C
O
θ
D
R
Respuesta: a = 6667,3mm/s2
•
Se aplica la ecuación para la velocidad y aceleración en coordenadas polares con
el polo en O.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
•
Se tiene que definir r en términos de θ para poder derivarlo con respecto al tiempo
usando la regla de la cadena para encontrar r& y &r& . Se puede determinar una
relación entre r y θ desde la Figura 1.iii
R
r
θ
R
Figura1.iii
1.2.
Movimiento Relativo
1.2A.* En la figura la velocidad y aceleración del bote respecto al sistema coordenado fijo
a la tierra es 15m/s y 10m/s2 respectivamente. La longitud de la cuerda de remolque
es de 20m. El ángulo θ es de 30º y aumenta en forma constante a razón de 10rad/s.
Determine la velocidad y aceleración absoluta del esquiador.
Y
45º
X
θ
r
r
Respuesta: v ESQ = 183,8 î + 110,6 ĵ , a ESQ = 992,93( − î ) + 1739,07 ĵ
•
•
Los ejes móviles
r en rel boter están en traslación y, por lo tanto, se aplica las
ecuaciones: v ESQ = v BOTE + v ESQ / BOTE
r
r
r
a ESQ = aBOTE + aESQ / BOTE
r
No se olvide la componente normal de la aceleración relativa a ESQ / BOTE .
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
1.2B.*** La partícula P está moviendo en el sentido antihorario dentro de la ranura elíptica
con una velocidad constante de 200mm/s mientras el bloque A se mueve hacia arriba
con una velocidad vA de 120mm/s y una aceleración aA de 250mm/s2. Si θ = 30º,
hallar la velocidad y aceleración absoluta de P con respecto a los ejes mostrados. La
x2 y2
ecuación para un elipse es: 2 + 2 = 1 donde a = 1m y b = 0,5m
a
b
r
vA
r
aA
P
a
θ
Y
b
A
X
35º
r
Respuesta: a P = 212 î + 108 ĵ mm/s 2
•
Los ejes móviles deben estar en el centro de la elipse trasladándose con el bloque.
•
La velocidad. Se sabe:
r
a. La dirección y magnitud de la velocidad ( v A ) del bloque A.
b. La magnitud de la velocidad (vP/A) de la partícula P con respecto al bloque.
r
r
r
c. Que la velocidad absoluta de la partícula v P = v A + v P / A (ver Figura 1.iv).
y
r
vP
vP/A = 0,2m/s
α
vA = 0,12m/s
35º
x
Figura 1.iv
•
Determine el ángulo α derivando la función de la trayectoria.
La aceleración. Se sabe:
r
a. La dirección y magnitud de la aceleración ( a A ) del bloque A.
b. La magnitud de la velocidad relativa (vP/A) es constante y, por lo tanto, dvP/A/dt = 0.
•
Determine el radio de curvatura de la elipse (ρ) para encontrar la magnitud de la
aceleración normal relativa y girar la dirección de la velocidad relativa 90º para
encontrar la dirección normal.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
1.2C.** El pasador P se mueve a lo largo de una trayectoria curva y es controlado por los
movimientos de los eslabones ranurados A y B. Determine el radio de curvatura (ρ)
del la trayectoria en el instante mostrado. (Ver Animación 1)
B
P
vB = 3m/s
2
aB= 30m/s
1
1
A
vA = 5m/s
2
aA= 20m/s
Respuesta: ρ = 9,3m
•
Formule dos ecuaciones para la velocidad de la partícula, con respecto a A y B.
•
Repita para la aceleración de P.
•
Aplique los conocimientos de las coordenadas intrínsecas para determinar ρ.
1.2D.** La caja C sube al bajar la rueda en A con velocidad constante de 2m/s por una
guía vertical. Cuando la rueda está en B la caja está en el piso. Encuentre la
velocidad de C como función de s. Descarte el tamaño de la polea.
4m
D
B
4m
C
A
s
Respuesta: v C =
vA = 2m/s
− 2 8s + s 2
(s + 4)
•
Encuentre una ecuación para la longitud de la cuerda en términos de la posición
de C y A con respecto al eje DB. Derívela.
•
Encuentre una expresión para la posición de C en términos de s y reemplace.
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
1.2E.** En el instante mostrado en la figura, la partícula P se mueve con una velocidad s&
hacia arriba y una aceleración &s& hacia abajo, ambas con respecto al disco. Determinar la
aceleración de P cuando se encuentra a una distancia b/2 del centro del disco. (Ver
Animación 4)
ω1 = constante
a
D
ω2 = constante
C
ω2
b
P
P
A
Respuesta:,
•
•
•
Sistema fijo en C, sistema móvil en D.
r
r
Se determinen r&o y &r&o con coordenadas polares (movimiento circular) o cuerpos
rígidos.
r r
Se determinan ρ& y &ρ& con polares con el polo en C.
1.2F.** La barra semicircular de radio 10m gira con velocidad angular constante horario
igual a 5 rad/s alrededor del pivote A y está unida mediante un pasador C, a una barra
recta de longitud 12,5m, la cual gira con respecto al rpivote B. Determinar para la
posición mostrada en la figura: a) la velocidad de C ( v c ), b) velocidad angular de la
r
barra BC ( ωBC ), c) la aceleración de C ( a c ) y d) la aceleración angular de la barra
( α BC ).
C
12,5m
10m
30º
B
A
7,5m
Respuesta:
( )
•
( )
r
a) v C = 34,89 î + 26,17 − ĵ , b) ωBC = 3,49rad / s ,
r
c) a C = 145,91 − î + 80,76( − ĵ ) , d) α BC = −5,46rad / s
Se formulan ecuaciones para la velocidad y la aceleración de C con el sistema fijo
y móvil en A (ver Figura 1.v). Quedan como incógnitas; ρ& y &ρ& t .
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Ejemplos 1. Cinemática de una Partícula
r
ρ&
C
&ρr&
t
&ρr&
n
60º
ê n
30º A
ê t
Figura 1.v
•
Se desarrollan ecuaciones para la misma velocidad y aceleración, ahora
considerando el movimiento de C desde el punto B (ver Figura 1.vi).
C
θ
r
aCn
12,5m
10m
r r
v c ,aC t
θ
B
7,5m
Figura 1.vi
1.2G.*** La leva forma una cardiole definida por r = b − c cos θ (b > c) . El brazo OB gira
en sentido contrario al de las agujas del reloj a una velocidad constante de 20rpm, y la
leva gira en sentido opuesto a la velocidad constante de 40rpm, determine la
aceleración del centro del rodillo A cuando el brazo y leva se hallan en posición
relativa, tal que θ = 90º. Las dimensiones de la curva son b = 10cm y c = 5cm.
B
20 rpm
r
A
θ
0
40 rpm
Respuesta: a p = 140cm / s 2
•
Los ejes móviles y fijos coinciden en 0. El sistema móvil gira con la leva.
•
Exprese ρ& y &ρ& en coordenadas polares.
•
Se encuentran r& y &r& derivando la expresión para la cardiole con respecto al
tiempo.
•
Ojo con θ& .
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