Notas y Ejercicios sobre Elección

Notas y Ejercicios sobre Elección
El enfoque adoptado en el primer capítulo, sobre Preferencias, era que las elecciones de la gente eran
dictadas por sus preferencias. Un enfoque distinto, que es el que analizaremos en este capítulo es que
las elecciones de la gente se derivan de una “estructura de elección”. Según este enfoque, las elecciones
adoptadas por la gente son lo más “primitivo” (no hay nada, en particular, no hay preferencias, que dicten
las elecciones).
Una estructura de elección en un conjunto X es un par (B; C ( )) en el cual:
1. B es un conjunto de subconjuntos de X : cada B 2 B es un subconjunto de X; B
X: A cada
B lo llamaremos un conjunto presupuestal (no tiene porqué tener la estructura de una restricción
presupuestal, el nombre es sólo para …jar ideas). El conjunto B debe ser pensado como la lista de
todos los conjuntos posibles que el consumidor podría llegar a enfrentar en sus problemas de elección.
En general, serán restricciones presupuestales, pero B podría incluir conjuntos más “raros”, como por
ejemplo el que enfrenta un consumidor al que subsidian con 30 ‡autas por mes (en un grá…co con
‡autas y “otros bienes” en los ejes, esto da una restricción presupuestal quebrada).
2. C ( ) es una regla de elección: es una función que le asigna a cada B en B un subconjunto no vacío
de B: Es decir, C (B)
B para todo B 2 B. En principio, C (B) puede tener más de un elemento
(piensen por ejemplo en alguien que tiene una función de utilidad x1 + x2 y los precios de ambos bienes
son iguales: le da lo mismo cualquier canasta que gaste todo el ingreso). C (B) son todas las canastas
que el consumidor “podría” elegir.
Ejemplo 1: Sea X = fx; y; zg y B = ffx; yg ; fx; y; zgg : Una estructura de elección posible es E1 =
(B; C1 ( )) donde C1 (fx; yg) = fxg y C1 (fx; y; zg) = fxg : Otra estructura de elección posible es E2 =
(B; C2 ( )) donde C2 (fx; yg) = fxg y C2 (fx; y; zg) = fx; yg :
Así como dijimos que completitud y transitividad eran propiedades razonables de las preferencias, cuando
se trabaja con estructuras de elección, podemos pensar en qué tipo de propiedades son razonables. Una
propiedad muy utilizada para estructuras de elección es el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
La estructura de elección (B; C ( )) satisface el Axioma Débil de la Preferencia Revelada (ADPR)
si se cumple que:
)
("
#
)
x; y 2 B
x; y 2 B 0
)
) x 2 C (B 0 )
x 2 C (B)
y 2 C (B 0 )
En palabras, el axioma nos dice que si alguna vez observamos que cuando x e y estaban disponibles, la
persona eligió x; deberíamos esperar que en otros problemas, si están x e y disponibles, y se eligió y, también
x debería ser elegido (o aceptable). En particular, imaginemos que C (fx; yg) = fxg, entonces no podemos
tener C (fx; y; zg) = fyg :
Ejercicio 2. Suponga que C (fx; yg) = fxg. Si C cumple el ADPR para algún B tal que fx; yg ; fx; y; zg 2 B
¿cuál de las siguientes es posible? Si alguna es imposible, demostrar: C (fx; y; zg) =: A) fyg ; B) fx; yg ;
C) fzg ; D) fx; zg ;E) fxg :
Otra forma de plantear el ADPR es de…niendo a partir de la estructura de elección una relación de preferencias que llmaremos la relación de preferencia revelada. Dada una estructura de elección E = (B; C ( )) ;
la relación de preferencia revelada E se de…ne mediante
x
E
y , existe B 2 B tal que x; y 2 B y x 2 C (B) :
1
En palabras, x se reveló al menos tan bueno como y de acuerdo a E = (B; C ( )) si alguna vez estaban ambos
disponibles, y el individuo eligió x: A veces también diremos que x se reveló preferido y si para algún B;
x 2 C (B) ; pero y 2
= C (B) (vendría a ser como la preferencia estricta). La relación de preferencia revelada
E
no tiene porqué ser ni completa ni transitiva. En particular, para que sea completa se necesita que exista
algún B tal que x; y 2 B y x 2 C (B) ó y 2 C (B) :
Ejemplo 3. Este ejemplo presenta, para X = fx; y; zg ; dos estructuras de elección que generan relaciones
de preferencia revelada que no son completas.
Ejemplo 3.A. Para B1 = ffx; zg ; fx; y; zgg y C1 (fx; zg) = C1 (fx; y; zg) = fzg y E1 = (B1 ; C1 ( )) ; tenemos
que la persona nunca eligió x o y; y por lo tanto, no se cumple ni x E1 y ni y E1 x.
Ejemplo 3.B. Para B2 = ffxg ; fx; zgg, sea cual sea C2 , la relación de preferencia revelada nunca podrá
ranquear a x e y.
Ahora sí, otra forma de plantear el ADPR es: La estructura E = (B; C ( )) satisface el ADPR si siempre
que x se revela al menos tan bueno como y; y no se revela preferido a x:
Ejemplo 4. En este ejemplo analizamos las estructuras de elección presentadas en el Ejemplo 1, y veris…camos si satisfacen el axioma débil. Para E1 ; tenemos que x E1 z y que x E1 y: Para violar el ADPR,
tendríamos que tener que z o y se revelen preferidos a x; y eso no se da nunca. En otras palabras, tendríamos
que observar que alguna vez se eligió z y no x (o y, y no x), pero eso no sucede. Por lo tanto, E1 satisface
el ADPR.
La estructura E2 viola el axioma débil. Para ver porqué notamos que como C2 (fx; y; zg) = fx; yg ;
tenemos y E2 x: Pero como C2 (fx; yg) = fxg ; x se reveló preferido a y; lo que contradice el ADPR.
La interpretación de B como las restricciones presupuestales a las que se enfrenta en individuo en una serie
de problemas de elección, y de C (B) como el conjunto (observable) de las canastas elegidas tiene problemas.
El principal, es que en los problemas de elección, el individuo no dice “soy indiferente entre tales y cuales
canastas, pero elijo esta porque sí”. Sencillamente observamos su elección. Así, podría pasar que el conjunto
de alternativas es un cierto X = fw; x; y; zg y B = ffx; yg ; fw; zgg : Suponga que cuando el individuo es
indiferente entre dos alternativas, elige de acuerdo a la tirada de una moneda e imaginemos que en los días
pares debe elegir en fx; yg y en los impares en fw; zg : En este caso podría suceder que si el individuo es
indiferente entre x e y; observemos que en el día 2; elija x; lo que nos llevaría a concluir C (x; y) = x; pero en
el día 4 elija y; lo que nos llevaría a concluir que C (x; y) = y: Esto, por supuesto, es imposible, y va contra
la noción de una función C bien de…nida. En la práctica estos problemas se resuelven de diversas formas.
Una de ellas es decir que C (x; y) = fx; yg :
Ejercicio 5. El inconformista. Como siempre, sea X = fx; y; zg un conjunto de canastas o alternativas,
y sea (B; C ( )) una estructura de elección. En cada uno de tres días consecutivos, vemos al tomador de
decisiones elegir una sola canasta de B1 = fx; yg ; B2 = fy; zg y B3 = fx; y; zg : Como esta persona es una
inconformista, sabemos que si un día elige una canasta, no la elegirá en ningún día futuro.
Parte A. Demuestre que para cualquiera de los tres posibles tripletes de elecciones que haya hecho el
individuo, se viola el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
Parte B. Encuentre tres “restricciones presupuestales” Bi distintas a las de la letra, y una función C; con
las cuales un inconformista igual cumpliría con el Axioma Débil.
2
Parte C. Demuestre su respuesta de la Parte B.
Ejercicio 6. Sea X = R+ :
Parte A. Para B = f[a; b] : a; b 2 R+ ; a < bg y C de…nida mediante
a+b
;b
2
C [a; b] =
determine si la estructura de elección (B; C ( )) satisface el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
Parte B. Para B = f[a; b] : a; b 2 R+ ; a < bg y C de…nida mediante C [a; b] = fbg ; determine si la estructura
de elección (B; C ( )) satisface el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
Parte C. Para B = f[a; b] : a; b 2 R+ ; a < bg y C de…nida mediante C [a; b] = fa; bg ; determine si la estructura de elección (B; C ( )) satisface el Axioma Débil de la Preferencia Revelada.
Ejercicio 7. Sean X = R+ ; B = f[a; b] : a; b 2 R+ ; a < bg y C de…nida mediante C [a; b] = fbg :
Parte A. Demuestre que para la estructura de elección E = (B; C ( )) la relación de prefrencia revelada
es completa y transitiva.
E
Parte B. Demuestre que E = : Una pista (para este ejercicio, y en general): para demostrar que dos
E
conjuntos son iguales, hay que demostrar que están contenidos entre sí: E
y que
.
3
Relación entre Preferencias y Elección
En el Capítulo 1 el enfoque era que las elecciones de la gente eran dictadas por sus preferencias. En el
Capítulo 2, el se adoptó el enforque que las elecciones de la gente se derivan de una “estructura de elección”.
En este capítulo veremos cuál es la relación entre ambos enfoques. En particular, contestaremos las siguientes
dos preguntas
1. Si un tomador de decisiones tiene una relación de preferencias completa y transitiva ; la regla de
elección “C” que genera cuando se enfrenta a restricciones presupuestales en B, ¿satisfacen el axioma
débil?
2. Si las elecciones de un individuo en el conjunto de restricciones presupuestales B se puede capturar
por una estructura de elección E (B; C ( )) que satisface el axioma débil, ¿existe necesariamente una
relación de preferencias (completa y transitiva) que sea consistente con esas elecciones?
Primera Pregunta
La respuesta a la primera pregunta es corta y sencilla: si. Supongamos que un tomador de decisiones
tiene una relación de preferencias completa y transitiva
en X: Si esta persona enfrenta un conjunto de
alternativas no vacío B X; su comportamiento óptimo consiste en elegir cualquier elemento en
C (B; ) = fx 2 B : x
y para todo y 2 Bg :
(1)
Los elementos de C (B; ) son las mejores alternativas.en B: En principio, C (B; ) podría ser
vacío para algún B; o para alguna relación de preferencias mal comportada. Si B es …nito,
puede pasar. De todas maneras, asumiremos en lo que resta del capítulo que las preferencias y
que C (B; ) siempre es no vacío. Para cualquier B, diremos que la relación de preferencias
estructura de elección E = (B; C ( ; )) :
el conjunto
esto nunca
B son tales
genera la
Antes de responder a la primera pregunta, debemos investigar bajo qué condiciones C (B; ) está bien
de…nido, o lo que es lo mismo, bajo qué condiciones es una regla de elección. El siguiente Ejercicio nos da
un caso particular para el caso en que X es …nito.
Ejercicio 0. Sea X un conjunto …nito. Decimos que una relación binaria
xm 1 ::: x2 x1 implica xm 6= x1 :
Parte A. Para una relación binaria
muestre que
D (B; ) = fx 2 B : no existe y tal que y
es no vacío para todo B si y sólo si
xg
(2)
es acíclica.
Parte B. Encuentre un ejemplo en el cual X no sea …nito,
B:
Parte C. Muestre que si
en X es acíclica si xm
sea acíclica, y D (B; ) sea vacío para algún
es transitiva, entonces es acíclica. Veri…que que en X = f1; 2g la relación
= f(1; 2) ; (2; 1)g
4
es acíclica pero no transitiva.
Parte D. Muestre que si es completa, entonces D (B; ) = C (B; ) para todo B: Note que las Partes A,
B y C muestran que si es completa y transitiva, entonces C (B; ) es no vacío.
Parte E. Encuentre una relación binaria
tal que D (B; ) 6= C (B; ) para algún B:
Ahora la respuesta a la pregunta (1).
Teorema 1: Si
es una relación de preferencias completa y transitiva en X; entonces la estructura de
elección E = (B; C ( ; )) generada por satisface el Axioma Débil.
Prueba: Debemos demostrar que siempre que x se revele al menos tan bueno como y; usando E =
(B; C ( ; )) ; tendremos que si y 2 C (B 0 ; ) y x 2 B 0 ; se cumplirá que x 2 C (B 0 ; ) : Recalcando, debemos
mostrar que
)
("
#
)
x; y 2 B
x; y 2 B 0
0
)
) x 2 C (B ; )
x 2 C (B; )
y 2 C (B 0 ; )
Supongamos entonces que x; y 2 B y que x 2 C (B; ) : Por de…nición de C (B; ) eso quiere decir que
x y: Supongamos ahora que x; y 2 B 0 y que y 2 C (B 0 ; ) : Por de…nición de C (B 0 ; ) eso quiere decir que
y z para todo z 2 B 0 : Tenemos entonces que x y z para todo z 2 B 0 : Como es transitiva, tenemos
x z para todo z 2 B 0 ; y por tanto x 2 C (B 0 ; ) ; como queríamos demostrar.
Segunda Pregunta
La respuesta a la segunda pregunta es más sutil. Comenzaremos con una de…nición. Dada una estructura
de elección E = (B; C ( )) ; diremos que la relación de preferencias (completa y transitiva) racionaliza a
C ( ) relativo a B (o racionaliza a E) si
C (B) = C (B; ) para todo B 2 B.
En palabras,
racionaliza a C si las elecciones óptimas generadas por ; y capturadas por C ( ; ), son
las mismas que C: Si racionaliza a C; podemos pensar que el comportamiento de un agente que elige de
acuerdo a C es como si estuviera dictado por la relación de preferencias :
En la de…nición de racionalización está la frase “relativo a B” porque en la de…nición de C aparece el B
para el cual está de…nido.
Ejercicio 2. Sea X = fx; y; zg y suponga que = f(x; y) ; (y; z) ; (x; z) ; (x; x) ; (y; y) ; (z; z)g : De un ejemplo
de una función C y dos conjuntos de restricciones B1 y B2 con B1 B2 tales que racionaliza a C relativo
a B1 pero no a B2 :
También, puede suceder que haya más de una relación de preferencias que racionalice a una C dada.
Ejercicio 3. Encuentre un ejemplo de una estructura de elección E que pueda ser racionalizada por más de
una relación de preferencias, y diga cuáles son las preferencias que la racionalizan. (Pista: si B incluye como
restricciones presupuestales a todos los pares de X; entonces existe a lo sumo una relación de preferencias
que racionaliza a E).
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El próximo ejemplo demuestra que la respuesta a la segunda pregunta (si una estructura E satisface el
ADPR, ¿siempre puede ser racionalizada por una relación de preferencias ?) es no.
Ejemplo 4. Sean X = fx; y; zg y B = ffx; yg ; fy; zg ; fx; zgg ; C (fx; yg) = fxg ; C (fy; zg) = fyg y
C (fx; zg) = fzg : La estructura de elección E = (B; C ( )) satisface el axioma débil pues no hay en B
conjuntos distintos B y B 0 tales que ambos contengan a dos elementos v y w, y eso es una condición
necesaria para violar el ADPR. A pesar de eso, no existe una relación de preferencias que racionalice a E:
Supongamos que hubiera una que racionalizara a C: Si así fuera, tendríamos
lo que es imposible para una relación
C (fx; yg)
= fxg ) x
y
C (fy; zg)
= fyg ) y
z
C (fx; zg)
= fzg ) z
x
transitiva.
Notamos que cuantas más restricciones presupuestales hay en B, más restringe el axioma débil la forma
que puede tomar C; pues con más restricciones, hay más posibilidades para que el comportamiento de C sea
contradictorio. En el ejemplo anterior, fx; y; zg no es un elemento de B, y resulta que eso es muy importante.
Ya lo veremos más adelante en estas mismas notas. Por ahora basta el adelanto que si B tiene su…cientes
subconjuntos de X; y la estructura E = (B; C ( )) satisface el axioma débil, entonces existe una relación de
preferencias que racionaliza a E:
Ahora estamos prontos para establecer las condiciones bajo las cuales la respuesta a la segunda pregunta
es a…rmativa.
Teorema 5: Si E = (B; C ( )) es una estructura de elección tal que
(i) Se satisface el axioma débil
(ii) B incluye todos los suconjuntos de X de hasta tres elementos
entonces existe una única relación de preferencias (completa y transitiva)
B. Es decir, C (B) = C (B; ) para todo B 2 B:
que reacionaliza C ( ).relativo a
Prueba: La relación de preferencias que pide a gritos ser la candidata a racionalizar E es la relación
de preferencia revelada E : De hecho, demostraremos que E es completa y transitiva, y que además
racionaliza a E: Finalmente, demostraremos unicidad.
(a) E es completa: para todo x; y 2 X; x E y ó y E x: Por (ii), para cualquier x e y tenemos que
fx; yg 2 B, por lo que se debe cumplir que: o x 2 C (fx; yg) ; en cuyo caso x E y; o y 2 C (fx; yg) ; en cuyo
caso y E x.
(b) E es transitiva: para todo x; y; z 2 X; x E y e y E z implican x E z: Asumamos x E y e y E z;
y analicemos qué sucede con el conjunto fx; y; zg 2 B. Alcanzará con probar que x 2 C (fx; y; zg) ; ya que
eso implica x E z: Como C (fx; y; zg) es no vacío, debemos tener que o x o y o z pertenecen a C (fx; y; zg) :
Si x pertenece, no hay nada que probar. Supongamos entonces que y 2 C (fx; y; zg) : En ese caso, como
x E y; y E satisface el ADPR, debemos tener x 2 C (fx; y; zg) : Si z 2 C (fx; y; zg) ; y E z y el axioma
débil implican que y 2 C (fx; y; zg) ; usando otra vez x E y y el axioma débil obtenemos x 2 C (fx; y; zg) ;
como queríamos demostrar.
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(c) E racionaliza a E : para todo B 2 B, C (B) = C B; E (la relación de preferencia revelada generada
por C racionaliza a C). Para demostrar C (B) = C B; E debemos establecer que: (1) C (B) C B; E
y que (2) C B; E
C (B) :
(1) Para cualquier x 2 C (B) ; tenemos que x E y para todo y 2 B (por de…nición de E ). Por lo tanto,
x 2 C B; E :
(2) Para cualquier x 2 C B; E ; tenemos que x E y para todo y 2 B. Eso quiere decir que para cada y
existe un By 2 B, tal que x; y 2 By y x 2 C (By ) : Por el axioma débil, para cualquier y 2 C (B) ; como x se
reveló al menos tan bueno como y; debemos tener x 2 C (B) ; como queríamos demostrar.
(d) si y R racionalizan a E; entonces = R: Otra vez, demostraremos (1)
R y (2) R
.
(1) Supongamos que (x; y) 2 : Como racionaliza a E; quiere decir que existe algún B 2 B con x; y 2 B
tal que x 2 C (B) : Como R también racionaliza a E; debemos tener xRy (si no, no se hubiera elegido x en
B).
(2) es igual a (1) y se omite.
La de…nición y teorema que siguen dan una caracterización completa de las estructuras de elección que
pueden ser racionalizadas por una relación de preferencias : Dada la relación de preferencia revelada E
asociada a una estructura de elección E = (B; C ( )), de…nimos la relación E
I , la relación de preferencia
revelada indirecta, mediante
x
E
I
y , 9x1 ; x2 ; :::; xn tales que x
E
x1
E
:::
E
xn
E
y:
Es decir, decimos que x se reveló indirectamente al menos tan bueno como y; si x se reveló al menos
tan bueno como x1 ; x1 al menos tan bueno como x2 ; ..., xn al menos tan bueno como y: Decimos que una
estrucutra de elección E = (B; C ( )) satisface el Axioma Fuerte de la Preferencia Revelada (AFPR)
si para todo x; y 2 X y B 2 B,
9
y 2 C (B) >
=
) x 2 C (B)
x E
y
I
>
;
x2B
El axioma fuerte nos dice que si x se reveló indirectamente al menos tan bueno como y; y se elige y en B;
entonces se debería elegir x también en B:
Ejercicio 6. Demostrar que si una estructura E satisface el axioma fuerte, entonces satisface el axioma
débil.
Ejercicio 7. Demostrar que para cualquier E; E
I es la más chica de las relaciones de preferencias transitivas
y que contienen a E : En general, mostrar que para cualquier relación binaria R X X; la relación Rt
de…nida mediante
xRt y , 9x1 ; x2 ; :::; xn tales que xRx1 R:::Rxn Ry:
es la más chica de las relaciones de preferencias transitivas y que contienen a R: En este ejercicio, y en
general, un conjunto (recordar que las relaciones de preferencias son conjuntos) es el más chico en una cierta
clase (en este caso, en la clase de preferencias transitivas y que contienen a R) si está contenido en cualquier
otro conjunto de la clase. Pista: se puede mostrar que hay al menos una relación transitiva que contiene a
R; y luego veri…car que Rt es la intersección de todas las relaciones transitivas que contienen a R:
Teorema 8 (Richter). Una estructura de elección E = (B; C ( )) satisface el axioma fuerte si y sólo si
existe una relación de preferencias que la racionaliza.
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Algunas veces, el axioma débil de la preferencia revelada se separa en dos partes, siguiendo la presentación
de Amartya Sen, quien recibió el Premio Nobel de Economía en 1998. Se dice que la regla de elección C:
satisface el Axioma de Sen si x 2 C (B) siempre que x 2 B A y x 2 C (A) : En palabras de Sen, si
el club campeón mundial de cricket es paquistaní, ese club también es el campeón de cricket de Pakistán.
satisface el Axioma de Sen si x 2 C (B) siempre que A B; y 2 C (B) y x; y 2 C (A) : En palabras
de Sen, si el club campeón mundial de cricket es paquistaní, entonces todos los campeones paquistaníes son
campeones mundiales.
Ejercicio 9. Para cada una de las siguientes a…rmaciones, indique si son verdaderas o falsas, demostrando
su a…rmación si es verdadera, o un contraejemplo si es falsa.
Parte A. Para cualquier relación binaria
de Sen.
; la regla de elección D ( ; ) de…nida en (2) satisface el Axioma
Parte B. Para cualquier relación binaria
de Sen.
; la regla de elección C ( ; ) de…nida en (1) satisface el Axioma
Parte C. Para cualquier relación binaria ; la regla de elección D ( ; ) de…nida en (2) satisface el Axioma
de Sen. En caso que esta a…rmación sea falsa, encuentre una relación acíclica
tal que D ( ; ) viole el
Axioma de Sen.
Parte D. Para cualquier relación binaria
de Sen.
; la regla de elección C ( ; ) de…nida en (1) satisface el Axioma
Parte E. Para cualquier relación binaria transitiva
el Axioma de Sen.
; la regla de elección C ( ; ) de…nida en (1) satisface
Ejercicio 10. Suponga que E (B; C ( )) es una estructura de elección en la cual C es generada por una
relación de preferencias que se puede representar por una función de utilidad u que mapea el espacio X
(que contiene a todos los B 2 B) a R: ¿Se puede asegurar que C satisface el Axioma Débil?
La demostración de este teorema no es muy extensa ni difícil, pero requiere algo de trabajo. En ella se
utiliza el Lema de Zorn.
El Lema de Zorn. Dado un conjunto X cualquiera y una relación binaria R
X X que es re‡exiva,
transitiva y antisimétrica (xRy e yRx implican x = y), llamamos a R un orden parcial, y decimos que X está
parcialmente ordentado por R: El ejemplo más obvio de un orden parcial es el en R2 : Una cosa importante
para notar es que un orden parcial R no tiene porqué ser completo. Una cadena C en X es un subconjunto
C de X tal que para todo x; y 2 X; tenemos xRy o yRx: Es decir, C en X es una cadena si R, restringido
a C es completo. Una cota superior para un conjunto C X es un x 2 X tal que xRy para todo y 2 C:
Lema 10. Lema de Zorn. Sea R un orden parcial en X: Si toda cadena C en X tiene una cota superior,
entonces existe un xm 2 X tal que xm Rx para todo x 2 X: El elemento xm se llama un elemento maximal.
El Ejemplo 4 mostraba una estructura de elección E que no podía ser racionalizada por ninguna relación
de preferencias. Dado el Teorema 8, sabemos que E debe violar el axioma fuerte. De hecho, vemos que
8
como x E y e y E z; tenemos que x E
I z: El axioma fuerte nos dice entonces que como z 2 C (fx; zg) ;
deberíamos tener x 2 C (fx; zg) ; lo cual no se cumple.
Ejercicio 11. Sea X = f1; 2; 3; 4g y sea R = f(1; 2) ; (2; 3) ; (3; 4)g. Si
es transitiva y R
pares (x; y) que no están en R; que tienen que estar necesariamente en :
9
; liste tres