Control Fraccionario

CONTROL FRACCIONARIO
GRUPO DE AUTOMÁTICA, ROBÓTICA Y
SISTEMAS DE PRODUCCIÓN (GRASP)
EII - UEX
Blas M. Vinagre
JORNADAS DE INGENIERÍA DE CONTROL
Zaragoza, 4-5 de Mayo de 2005
CONTROL FRACCIONARIO
CONTENIDO
•
•
•
•
•
•
INTRODUCCIÓN
¿POR QUÉ CÁLCULO FRACCIONARIO?
¿QUÉ ES EL CÁLCULO FRACCIONARIO?
APLICACIONES
SISTEMAS FRACCIONARIOS
CONTROL FRACCIONARIO
– FUNDAMENTOS
– APLICACIONES
•
•
•
•
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES FRACCIONARIOS
COLABORACIONES
PUBLICACIONES Y EVENTOS
PARA SABER MÁS
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CONTROL
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CONTROL FRACCIONARIO
INTRODUCCIÓN
• La idea de los operadores fraccionarios es tan antigua
como la de los enteros.
• El interés teórico y práctico de estos operadores está hoy
día bien establecido, y sus aplicaciones en ciencia e
ingeniería pueden considerarse como campos de
investigación emergentes.
• Operadores fraccionarios:
– Transformadas integrales: Transformada de Fourier
Fraccionaria
– Convolución: Convolución Fraccionaria, Splines
Fraccionarios
– Derivada e integral: Cálculo Fraccionario
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INTRODUCCIÓN
• El lecho de Procrustes:
Todos han de ajustarse a la misma cama:
Si es alto, cortar las piernas
Si es bajo, estirarlas.
• La carta robada (The Purloined Letter):
Los mismos métodos han de ser siempre aplicables con
éxito:
Si no se encuentra solución,
No hay solución.
• Un nuevo paradigma:
Una buena oportunidad para revisar los orígenes (fuentes).
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¿POR QUÉ CF?
• MODELADO:
– Dominio temporal: ¿Es g(t) una combinación lineal de
exponenciales complejas? ¿Por qué no una función, sólo
una, siendo las exponenciales complejas (senos, cosenos,
función error, etc..) casos particulares?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF?
• MODELADO:
– Dominio frecuencial: ¿Es H(s) una función racional de s ?
¿Por qué no una función racional de s0.4 para ajustarse a la
pendiente con un solo factor?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF?
• MODELADO:
– Tiempo ponderado: ¿Tienen todos los valores pasados el
mismo peso?
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CONTROL FRACCIONARIO
¿POR QUÉ CF?
• AUTOMÁTICA:
– Acciones básicas de control: ¿por qué no generalizarlas de
manera continua?
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¿POR QUÉ CF?
• AUTOMÁTICA:
– Sistema básico de referencia con propósitos de
especificaciones y diseño: servo de posición.¿Por qué no
utilizar uno diferente y más robusto a cambios en la
ganancia o carga?
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¿POR QUÉ CF?
• PROCESADO DE SEÑAL:
b0
x(t)
+
y(t)
+
-a1
1/sa
b1
+
+
-a2
1/sa
b2
+
+
-aN-1
b N-1
+
+
-aN
1/sa
bN
+
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¿QUÉ ES EL CF?
• La historia del cálculo fraccionario comienza con la
historia del cálculo
– L’Hôpital a Leibnitz (1695): ¿Podría extenderse el
significado de dny/dxn para el caso de n=1/2?
– Leibnitz a L’Hôpital: Ello conduciría a una paradoja,..., de la
cual se podrán extraer consecuencias útiles
• Durante tres siglos se desarrollo como una disciplina
puramente matemática (Euler, Lacroix, Riemann,
Liouville, ...)
• Primera aplicación en Física: Abel (1820): problema
del movimiento tautócrono (integral de Abel)
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¿QUÉ ES EL CF?
• Definiciones (Riemann – Liouville):
– Otras definiciones: Weyl (Potencial), Caputo
(Condiciones iniciales interpretables).
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CONTROL FRACCIONARIO
¿QUÉ ES EL CF?
• Ecuaciones diferenciales de orden
fraccionario (EDOF):
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¿QUÉ ES EL CF?
• Función de Mittag-Leffler:
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¿QUÉ ES EL CF?
• Ecuaciones diferenciales de orden
fraccionario (EDOF). Solución numérica:
– Definición de Gründwald – Letnikov:
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APLICACIONES
• Modelado de sistemas físicos: capacidad de modelar
fenómenos de memoria:
– Difusión, viscoelasticidad, movimiento browniano anómalo,
dinámica no newtoniana, sistemas de parámetros
distribuidos.
– Electroquímica, ciencia de materiales, mecánica y
estructuras, termodinámica, electromagnetismo, reología,
etc.
• Ingeniería:
– Procesado de señal (e imágenes).
– Control automático.
– Robótica
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APLICACIONES
• Control automático:
– Control robusto, óptimo, adaptativo.
– Amortiguación activa en vehículos.
• Robótica:
– Caracterización y control de brazos robóticos.
– Generación y seguimiento de trayectorias.
– Evitación de obstáculos.
• Procesado de señal:
– Filtrado y estimación.
– Ajuste de curvas e identificación de sistemas.
– Detección de bordes y suavizado.
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SISTEMAS FRACCIONARIOS
Modelos
α
Y ( s ) am sα m + am −1sα m−1 + .... + a0 s 0
F (s) =
=
W ( s ) bn s β n + bn −1s β n−1 + .... + b0 s β 0
(
y (t ) = g (x (
x' (t ) = f x ( fr ) (t ), u (t )
fr )
, u (t ),
)
)
Dα x = Ax + Bu
y = Cx + Du
x&1 (t ) = x2 (t )
a
a
a
x&2 (t ) = m w((t2)+α m − β n ) + m −1 w((t2)+α m−1 − β n ) + 0 w((t2)+α 3 − β n )
bn
bn
bn
−
bn −1 (2+ β n−1 − β n ) b0 (2+ β 0 − β n )
x1
− x1( t )
bn ( t )
bn
y = x1 (t )
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SISTEMAS FRACCIONARIOS
Estabilidad: Superficies de Riemann
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CONTROL FRACCIONARIO
Trabajos pioneros
•
•
•
•
•
Bode (1945): Amplificadores realimentados: Función de transferencia
ideal en lazo abierto: estabilidad relativa independiente de la ganancia
⇒ integrador fraccionario.
Tustin (1958): control de posición: margen de fase constante sobre un
intervalo de frecuencias ⇒ aproximación de la función ideal de
Bode – integrador fraccionario.
Manabe (1961): Integrador fraccionario en control – definición de
parámetros característicos en lazo cerrado.
Carlson y Halijak (1961): Control de servo con integrador fraccionario –
Método para implantación analógica.
Oustaloup y col. (1981): Control CRONE (Control Robusto de Orden
No Entero): Diseño sistemático de controladores fraccionarios
explotando su robustez.
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Acciones básicas de control
Acción integral
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Acción derivativa
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Control robusto (I) – Estabilidad relativa
Plano complejo
Dominio de la frecuencia
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Dominio del tiempo
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Control robusto (II) - CRONE
Primera generación:
Controlador: IF
Tercera generación:
Orden complejo
Segunda generación: Lazo abierto: IF
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Control robusto (III) – Amortiguación activa
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID – Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID - Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID - Optimización
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID – Optimización (Barbosa,
Machado, 2003)
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID – Autosintonía
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Controladores PID – Autosintonía
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CONTROL
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Control adaptativo – MRAC
Sintonía de (γ,α) para respuesta
óptima (rango de velocidades
y amplitudes en consigna)
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Modelo de referencia
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Control Iterativo con aprendizaje
Control deslizante: Fraccionario en:
• Superficie de deslizamiento
• Estructura de control
• Pseudosliding
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Generación y seguimiento de
trayectorias (I)
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CONTROL
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Generación y seguimiento de
trayectorias (II)
Del potencial de Coulomb al potencial Fraccional
Modificación gradual de
la distribución
Modificación gradual del
orden de la integral
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Generación y seguimiento de
trayectorias (III)
Potenciales, mapas y rutas
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CONTROL FRACCIONARIO
Generación y seguimiento de
trayectorias (IV)
Filtros de Davidson-Cole --- Otros modelos
fraccionales
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CONTROL FRACCIONARIO
CONTROL FRACCIONARIO
Generación y seguimiento de
trayectorias (V)
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CONTROL
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CONTROL FRACCIONARIO
APLICACIONES
Otras aplicaciones: Sistemas no
lineales
Redes neuronales celulares fraccionarias:
• Aplicación a procesado de imágenes
Circuitos caóticos de orden fraccionario
•CNNs
•Duffing
•Chua
Oscilador de Van der Pol
(Ver: P. Arena, R. Caponeto, L. Fortuna, D. Porto,
Nonlinear Noninteger Order Circuits and SystemsAn Introduction. World Scientific 2000)
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CONTROL FRACCIONARIO
APLICACIONES
Otras aplicaciones: Sistemas no
lineales
Oscilador de Van der Pol
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
α
d
α
dt
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α
∆
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Consideraciones generales
•
Etapa final para aplicaciones: obtener una forma realizable eficiente de
los operadores fraccionales:
– Buena aproximación en su comportamiento temporal y frecuencial
– Baja complejidad
•
•
Problema de la implantación ⇒ ventaja del modelado: memoria.
Dos opciones:
– Implantación analógica: redes
– Implantación digital: algoritmos (ecuaciones en diferencias)
•
Implantación digital ≠ evaluación o aproximación numérica:
– Periodo de muestreo
– Limitación de memoria
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
CIRCUITO
DISPOSITIVO
ORDENADOR
⇓
DISCRETIZACION
APROXIMACIÓN
NUMÉRICA
IMPLANTACIÓN
DISCRETA
(DIGITAL)
IMPLANTACIÓN
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CONTROL FRACCIONARIO
IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (I)
•
Continuas:
– Evaluación de funciones
– Interpolación de funciones
– Ajuste de curvas
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IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (II)
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CONTROL
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IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
f (t ) − f (t − ∆t )
d
f (t ) ≈
dt
∆t
∆t: h: paso ⇒aproximación numética
∆t: T: periodo de muestreo ⇒
implantación discreta
1 − z −1
G( z) =
∆t
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APROXIMACIÓN NUMÉRICA
– INTEGRACIÓN NUMÉRICA
– SIMULACIÓN DINÁMICA
• COSTE COMPUTACIONAL
(TIEMPO+RECURSOS)
• CONVERGENCIA DEL
ALGORITMO
Función generatriz
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⇓
PASO
MÉTODO
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IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
IMPLANTACIÓN DIGITAL
–APLICACIONES INGENIERILES EN TR
–FILTROS DIGITALES: Mapa polo-cero:
FM+estable; Banda de frecuencias; Tiempo de
computación; Requerimientos de memoria
⇓
Función generatriz ⇒ Mapping planos S - Z
Expansión: PSE⇒ FIR FILTERS; CFE ⇒ FIR FILTERS
Orden del filtro (complejidad) ⇒ Ancho de banda y rizado
Periodo de muestreo ⇒ Frecuencia central
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IMPLANTACIÓN DE OPERADORES
Aproximaciones (III)
•
Filtros IIR: funciones racionales
Discretas:
– Indirectas: equivalentes
discretos de
aproximaciones continuas
– Directas: equivalentes
discretos de operadores
fraccionarios.
Filtros FIR: polinomios
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OTROS FRACCIONARIOS
Bloqueadores de orden fraccionario (FROH)
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INVESTIGACIÓN EN LA UEX
•
Líneas:
– Teoría de control: generalización de métodos y estrategias,
estabilidad, estructuras de implantación.
– Control de sistemas y procesos: procesos industriales,
servomecanismos.
– Robótica móvil: robots móviles y coches: planificación y
seguimiento de trayectorias, control de velocidad.
•
Proyectos:
–
Control fraccionario de procesos industriales (Junta de
Extremadura, 2PR02A024, 2002-2005).
– Diseño e implantación de controladores fraccionarios para el
control lateral y longitudinal de vehículos autónomos, CICYT,
DPI2002-04064-C05-03).
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COLABORACIONES
• Laboratorio de Automática y Producción (LAP),
Universidad de Burdeos I (Equipo CRONE), Francia.
A. Oustaloup.
• Instituto de Ingeniería de Oporto, Portugal. J. A.
Tenreiro Machado.
• Universidad Técnica de Kosice, República Eslovaca.
Igor Podlubny.
• Centro de Sistemas Inteligentes y Autoorganizados,
Universidad Estatal de Utah, USA. YangQuan Chen.
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PUBLICACIONES Y EVENTOS
•
•
•
•
•
•
Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear
Dynamics, Vol. 29, Nos. 1-4 July 2002. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).
Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal
Processing, Vol. 83, No. 11 Nov. 2003. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro
Machado (Eds.).
Monográfico: Cálculo Fraccionario, Real Academia de Ciencias Exactas,
Físicas y Naturales, Vol. 98, No. 1 2004. Darío Maravall Casesnoves (Ed.)
Special Issue of Fractional Order Calculus and Its Applications, Nonlinear
Dynamics, 2004. J. A. Tenreiro Machado (Ed.).
Special Issue - Fractional Signal Processing and Applications, Signal
Processing, 2005. M. D. Ortigueira, J. A. Tenreiro Machado (Eds.).
Fractional Derivatives and their Applications. Tome 1: Mathematical tools,
Geometrical and Physical Aspects; Tome 2: Econophysics, mechanics,
material modelling, thermal systems, electronics, electrical systems; Tome
3: Systems analysis, implementation and simulation, systems
identification and control.
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CONTROL
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PUBLICACIONES Y EVENTOS
•
•
•
•
•
Tutorial Workshop on Fractional Calculus Applications in Automatic
Control and Robotics (41st IEEE Conference on Decision and Control, Las
Vegas, Diciembre 2002). Blas M. Vinagre, YangQuan Chen (Org.)
First Symposium on Fractional Derivatives and their Application (ASME
International 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and Noise,
Chicago, Septiembre 2003). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A. Tenreiro
Machado (Org.).
First IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Bordeaux,
France, Julio 2004
Second Symposium on Fractional Derivatives and their Applications
(ASME International 19th Biennial Conference on Mechanical Vibration and
Noise, Long Beach, Septiembre 2005). O. P. Agrawal, J. Sabatier, J. A.
Tenreiro Machado (Org.).
Second IFAC Worshop on Fractional Derivatives and Applications, Porto,
Portugal, Julio 2006.
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PARA SABER MÁS
Visitar la página
http://mechatronics.ec
e.usu.edu/foc/cdc02
_tw2_ln.pdf
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CODA
Tiempo ponderado
For the pattern is new in every moment
And every moment is a new and shocking
Valuation of all we have been,...
(T. S. Eliot, East Coker, I, vv. 85-87)
(Consultar también: Platón, Timeo, 7, 38-39: el
tiempo y su medida)
Proyecciones, sombras en los muros
Tal ciencia sería una mecánica de transformación,
y nuestra mecánica de traslación sería un caso
particular de ella, una simplificación, una
proyección sobre el plano de la pura cantidad.
(H. Bergson, La evolución creadora)
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