El razonamiento en la geometría

C AP ÍTULO
2
El razonamiento en la geometría
Resumen del contenido
Uno de los principales propósitos de cualquier curso de geometría es el de mejorar la
capacidad de razonamiento lógico de los estudiantes. El Capítulo 2 se concentra en
dos tipos básicos de razonamiento: inductivo y deductivo. Los estudiantes utilizan el
razonamiento inductivo para identificar patrones visuales y numéricos y hacer
predicciones basadas en estos patrones. Luego se les presenta el uso del razonamiento
deductivo para explicar por qué estos patrones son ciertos. Los estudiantes exploran
las relaciones entre las medidas de los ángulos formados por rectas transversales y
paralelas, formulan conjeturas sobre estas relaciones y aprenden a utilizar
argumentos lógicos para explicar por qué estas conjeturas son ciertas.
Razonamiento inductivo
Cada vez que congela su botella de agua, el agua se expande. Usted aprende
rápidamente a no poner demasiada agua en la botella para evitar que salte la tapa o
se rompa la botella. El razonamiento por el cual se llega a conclusiones a partir de la
experiencia es inductivo.
Los matemáticos utilizan el razonamiento inductivo para tratar de predecir qué
puede ser cierto. Por ejemplo, si suma los números impares positivos comenzando
desde el 1, obtiene un patrón.
134
1359
1 3 5 7 16
Las sumas parecen ser cuadrados perfectos: 4 2 2, 9 3 3, 16 4 4. Incluso
si usted “suma” sólo el primer número impar, 1, la suma es un cuadrado: 1 1. Usted
puede concluir que la suma de cualquier cantidad de números impares positivos
consecutivos, comenzando desde el 1, es un cuadrado perfecto.
Pero el razonamiento inductivo no es infalible. Puede pasar que alguna vez que usted
ponga su botella de agua en el congelador, el agua no se expanda. (Quizás el
congelador no funciona, o el agua está saborizada de alguna manera.) Por ende, los
matemáticos no están satisfechos con el razonamiento inductivo. El razonamiento
inductivo sólo lleva a predicciones, o conjeturas. Una conjetura se convierte en hecho
matemático, o teorema, sólo si alguien demuestra que es la conclusión de un
razonamiento deductivo.
Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo, también llamado demostración o prueba, es el razonar a
partir de hechos demostrados, utilizando pasos lógicamente válidos para llegar a una
conclusión. Una demostración puede servir varios propósitos. Los matemáticos a
menudo utilizan la demostración para verificar que una conjetura es verdadera para
todos los casos, no sólo para aquellos examinados, o para convencer a otros. Las
demostraciones a menudo ayudan a responder a la pregunta: ¿Por qué? El uso de la
demostración para explicar el por qué, es una extensión natural para los estudiantes
en este punto del curso y les ayuda a profundizar su comprensión. Este capítulo
resalta este propósito iluminador de la demostración o prueba.
Si usted tomó un curso de geometría, puede haberse encontrado con pruebas
escritas en dos columnas: una columna con afirmaciones y una columna con
justificaciones, donde cada afirmación está justificada con una razón. Sin embargo,
la mayoría de los estudiantes se sienten abrumados por este enfoque. Lo encuentran
difícil de seguir y pierden la idea general. En Discovering Geometry, las pruebas en
dos columnas aparecen en el Capítulo 13 con el estudio de la geometría como un
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(continúa)
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Capítulo 2 • El razonamiento en la geometría (continuación)
sistema matemático, punto en el cual los estudiantes se encuentran en el nivel de
desarrollo adecuado. Por ahora, se anima a los estudiantes a usar argumentos
deductivos informales escritos en forma de párrafos. En el Capítulo 4, se les
mostrarán otras formas de presentar las pruebas.
Estrategias de razonamiento
La parte más difícil del proceso de redactar un argumento deductivo es determinar
la lógica subyacente del argumento y qué información incluir. Comenzando en el
Capítulo 2 y continuando a lo largo de todo el libro, se enseñan estrategias de
razonamiento a los estudiantes, formas de pensar que ayudan a construir un
argumento deductivo. Quizá quiera hablar sobre estas formas de pensar con su
estudiante. En este capítulo se presentan las primeras tres de estas estrategias de
razonamiento y se presenta una estrategia más en cada capítulo subsiguiente como
se indica.
●
●
●
●
●
●
Dibuja un diagrama rotulado y marca lo que sabes.
Representa una situación algebraicamente.
Aplica conjeturas y definiciones previas.
Divide un problema en partes. (Capítulo 3)
Agrega una recta auxiliar. (Capítulo 4)
Piensa de atrás para adelante. (Capítulo 5)
Problema resumen
Dibuja dos rectas transversales. ¿Qué notas acerca de los ángulos opuestos por el
vértice? ¿Puedes explicar cualquier patrón que veas?
Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:
●
●
●
●
●
●
¿Qué significa el término ángulos opuestos por el vértice?
¿Qué pares de ángulos son ángulos opuestos por el vértice?
¿Qué conjetura puedes expresar acerca de las medidas de los ángulos opuestos
por el vértice?
La conjetura que haces, ¿aplica a todos los pares de rectas transversales que has
probado, o puedes hallar un contraejemplo?
¿Piensas que tu conjetura es válida para todos los pares de rectas transversales?
¿Cómo demostrarías que es verdadera para todos los pares?
Ejemplos de respuestas
Cuando dos rectas se intersecan, forman cuatro ángulos diferentes. Dos ángulos no
adyacentes formados por las rectas transversales son ángulos opuestos por el vértice.
Dos rectas transversales forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Los
ángulos de cada par tienen medidas iguales. Explicar el por qué puede implicar
hablar acerca de las líneas rectas y los diferentes pares de ángulos adyacentes, o de la
rotación alrededor del vértice. Puede redactar un argumento deductivo para probar
que la conjetura de ángulos opuestos por el vértice sigue lógicamente a la conjetura
de pares lineales, tal como se ve en la página 124.
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Capítulo 2 • Ejercicios de repaso
Nombre
Período
Fecha
1. (Lección 2.1) Usa la regla dada para generar los próximos cinco términos
de la secuencia.
n(n 3) , . . .
2, 5, 9, 14, . . . , 2
2. (Lecciones 2.2, 2.3, 2.4) Halla la regla para el número de círculos en la
figura número n y úsala para hallar el número de círculos en la figura
número 20. ¿Estás usando razonamiento inductivo o deductivo para
contestar esta pregunta?
Número de figura
1
2
3
4
...
Número de círculos
1
6
11
16
...
n
...
20
...
3. (Lecciones 2.5, 2.6) Halla la medida de cada ángulo con letra. ¿La recta l
es paralela a la m? Explica tu razonamiento.
55
l
a
m
b c
126
4. (Lección 2.6) Las rectas l y m son paralelas entre sí. Halla x.
m
l
40 3x
4x
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SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL C APÍTULO 2
1. 20, 27, 35, 44, 54
Los primeros cuatro términos provienen de sustituir a
n por 1, 2, 3 y 4 en la regla dada. Sustituye n por 5, 6,
7, 8 y 9 para hallar los siguientes cinco términos. Ver
al final de la página.
2. 5n 4 (ó 5(n 1) 1, que es equivalente); 96;
razonamiento inductivo
Primero busca la diferencia entre los términos. En
este caso sumamos cinco a cada término para llegar
al término siguiente.
Número de figura
1
2
3
4
...
Número de circulos
1
6
11
16
...
5
5
5
Como la diferencia entre los términos consecutivos es
siempre cinco, la regla es 5n “algo”. Supongamos
que c sea el “algo” desconocido, entonces la regla es
5n c. Para hallar c, reemplaza la n en la regla por un
número del término. Por ejemplo intenta n 3 y que
la expresión sea igual a 11, el número de círculos en la
tercera figura.
3. a 55° según la conjetura de los ángulos opuestos
por el vértice.
b 126° según la conjetura de los ángulos opuestos
por el vértice.
c = 54º según la conjetura del par linear.
Si las rectas l y m fueran paralelas, entonces c sería
igual a 55° según la conjetura de los ángulos correspondientes. Sin embargo, c 54° como se indicó
anteriormente, entonces l y m no son paralelas.
4. 40 3x 4x 180 Conjetura de los ángulos correspondientes y conjetura del par
linear.
40 7x 180 Combina términos similares.
7x 140 Resta 40 de ambos lados.
x 20 Divide ambos lados entre 7.
5(3) c 11
15 c 11
c 4
Por lo tanto la regla es 5n 4. Para averiguar cuántos
círculos hay en la figura número 20, sustituye n por
20 en la regla.
5(20) 4 96
1.
12
n
5
6
7
n(n 3)
2
5(5 3)
2 20
6(6 3)
2 27
7(7 3)
2 35
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8
8(8 3)
2 44
9
9(9 3)
2 54
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