Bloque 1.- Dada las matrices a) ¿Para que valores de x la matriz A

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Solución Junio 2004
Juan Carlos Alonso Gianonatti
⎛1 0⎞
⎛ 1 0 2⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
Bloque 1.- Dada las matrices A = ⎜ − 2 1 x ⎟ , C = ⎜ 0 1 ⎟
⎜ 0 0⎟
⎜ 1 x 0⎟
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛1 0⎞
⎟⎟ .
D = ⎜⎜
⎝0 1⎠
y
a) ¿Para que valores de x la matriz A posee inversa?
b) Calcula la inversa de A para el valor x = -1
c) ¿Que dimensiones debe de tener una matriz B para que la ecuación matricial
A.B = C.D tenga sentido?. Calcula B para el valor x = -1
a)
1 0 2
∃A ⇒ A ≠ 0 ⇒ A = − 2 1 x = −4 x − 2 − x 2 = − x 2 − 4 x − 2 ⇒ Si A = 0 ⇒ − x 2 − 4 x − 2 = 0 ⇒
1 x 0
−1
⎧
−4−2 2
= −2 − 2
x=
⎪
−
±
4
8
⎪
2
⇒⎨
⇒
x 2 + 4 x + 2 = 0 ⇒ Δ = 16 − 8 = 8 > 0 ⇒ x =
2
−
+
4
2
2
⎪x =
= −2 + 2
⎪⎩
2
{
}
∀a ∈ ℜ − − 2 − 2 , − 2 + 2 ⇒ A ≠ 0 ⇒ Existe A −1
b)
⎛1 − 2 1 ⎞
⎜
⎟
1
t
t
⋅ adj A ⇒ A = ⎜ 0 1 − 1⎟ ⇒
A = −(− 1) − 4 ⋅ (− 1) − 2 = −1 + 4 − 2 = 1 ≠ 0 ⇒ ∃A ⇒ A =
A
⎜2 −1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 − 2 − 2⎞
⎛ −1 − 2 − 2⎞ ⎛ −1 − 2 − 2⎞
⎜
⎟
⎟ ⎜
⎟
1 ⎜
t
−1
adj A = ⎜ − 1 − 2 − 3 ⎟ ⇒ A = ⋅ ⎜ − 1 − 2 − 3 ⎟ = ⎜ − 1 − 2 − 3 ⎟
1 ⎜
⎜1
1
1 ⎟⎠
1
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
1
1 ⎟⎠
⎝
⎝1
2
−1
−1
(
)
c)
Es una matriz de dim ensiones 3 x 2
AB = CD ⇒ A −1 AB = A −1CD ⇒ −1 IB = A −1CD ⇒ B = A −1CD
⎛ −1 − 2 − 2⎞ ⎛1 0⎞
⎛ −1 − 2⎞
⎛ −1 − 2⎞
⎛ −1 − 2⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎛1 0⎞ ⎜
⎟ ⎛1 0⎞ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎟⎟ = ⎜ − 1 − 2 ⎟ ⋅ ⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ − 1 − 2 ⎟ ⋅ I 2 = ⎜ − 1 − 2 ⎟
B = ⎜ − 1 − 2 − 3 ⎟ ⋅ ⎜ 0 1 ⎟ ⋅ ⎜⎜
⎝0 1⎠ ⎜
⎝0 1⎠ ⎜
⎜1
⎜1
1 ⎟⎠
1 ⎟⎠
1 ⎟⎠
1
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 ⎟⎠
⎝
⎝1
⎝1
⎝
1
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Juan Carlos Alonso Gianonatti
Bloque 2.- Las edades (en años) de un niño, su padre y su abuelo verifican las
siguientes concisiones: La edad del padre es α veces la edad de su hijo. El doble de la
edad del abuelo más la del niño y más la del padre es de 182 años. El doble de la edad
del niño más la del abuelo es 100.
a) Establecer las edades de los tres suponiendo que α = 2
b) Para α = 3 , ¿que ocurre con el problema planteado?
c) Siguiendo con α = 3 , ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es de 200 en
vez de 182?
Llamando N a la edad del niño, P a la del padre y A a la del abuelo
a)
P = 2N
⎧
⎧ 2N − P = 0
⎪
⎪
⎨2 A + N + P = 182 ⇒ ⎨ N + P + 2 A = 182 ⇒
⎪ 2 N + A = 100
⎪ 2 N + A = 100
⎩
⎩
⎛2 −1 0 0 ⎞ ⎛2 −1 0 0 ⎞ ⎛2 −1 0 0 ⎞ ⎛2 −1 0 0 ⎞ ⎛2 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 1 2 182 ⎟ ≡ ⎜ 2 2 4 364 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 4 364 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 4 364 ⎟ ≡ ⎜ 0 3 4 364 ⎟ ⇒ A = 64
⎜ 2 0 1 100 ⎟ ⎜ 2 0 1 100 ⎟ ⎜ 0 1 1 100 ⎟ ⎜ 0 3 3 300 ⎟ ⎜ 0 0 1 64 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
108
3P + 4 ⋅ 64 = 364 ⇒ 3P = 364 − 256 = 108 ⇒ P =
= 36 ⇒ 2 N − 36 = 0 ⇒ 2 N = 36 ⇒ N = 18 ⇒
3
Solución(18 , 36 , 64 )años
b)
P = 3N
⎧
⎧ 3N − P = 0
⎪
⎪
⎨2 A + N + P = 182 ⇒ ⎨ N + P + 2 A = 182 ⇒
⎪ 2 N + A = 100
⎪ 2 N + A = 100
⎩
⎩
⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜ 1 1 2 182 ⎟ ≡ ⎜ 3 3 6 546 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 6 546 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 6 546 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 6 546 ⎟ ⇒
⎜ 2 0 1 100 ⎟ ⎜ 6 0 3 300 ⎟ ⎜ 0 2 3 300 ⎟ ⎜ 0 4 6 600 ⎟ ⎜ 0 0 0 54 ⎟
⎠ ⎝
⎠
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎝
⎠ ⎝
Sistema Incompatible ⇒ No hay solución
c)
P = 3N
⎧
⎧ 3N − P = 0
⎪
⎪
⎨2 A + N + P = 200 ⇒ ⎨ N + P + 2 A = 200 ⇒
⎪ 2 N + A = 100
⎪ 2 N + A = 100
⎩
⎩
⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞ ⎛3 −1 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 1 1 2 200 ⎟ ≡ ⎜ 3 3 6 600 ⎟ ≡ ⎜ 0 4 6 600 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 3 300 ⎟ ≡ ⎜ 0 2 3 300 ⎟ ⇒
⎜ 2 0 1 100 ⎟ ⎜ 6 0 3 300 ⎟ ⎜ 0 2 3 300 ⎟ ⎜ 0 2 3 300 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
300 − 2 P
Sistema Compatible In det er min ado ⇒ 2 P + 3 A = 300 ⇒ 3 A = 300 − 2 P ⇒ A =
⇒
3
P
2 ⎞
⎛λ
3N = P ⇒ N = ⇒ Solución⎜ , λ , 100 − λ ⎟
3
3 ⎠
⎝3
2
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Bloque 3.- Sea el prisma triangular (triángulos iguales y paralelos) de la figura con
A(1 , -1 , 0), B(1 , 0 , -1), C(0 , 1 , -1) y A’(1 , -1 , α ). Calcula:
a) La ecuación del plano π que pasa por A, By C
b) El valor de α para que el plano π ' , que contiene los puntos A’, B’ y C’ diste una
unidad del plano π
c) Para α = 1 , el plano π ' y el volumen del prisma
C'
'
A'
B'
C
A
B
a)
⎧ AB = (1 , 0 , − 1) − (1 , − 1 , 0 ) = (0 , 1 , − 1)
x −1 y +1
⎪
1
⎨ AC = (0 , 1 , − 1) − (1 , − 1 , 0 ) = (− 1 , 2 , − 1) ⇒ π ≡ 0
⎪ AG = (x , y , z ) − (1 , − 1 , 0 ) = (x − 1 , y + 1 , z )
2
−1
⎩
− (x − 1) + ( y + 1) + z + 2 ⋅ (x − 1) = 0 ⇒ (x − 1) + ( y + 1) + z = 0 ⇒ π ≡
z
−1 = 0 ⇒
−1
x+ y+z =0
b)
d A'π
⎧
⎪⎪ 1 =
=1⇒1=
⇒⎨
12 + 12 + 12
⎪1 = −
⎪⎩
1−1+ α
α
3
α
3
⇒α = 3
⇒α = − 3
c)
⎧⎪
vπ ' = vπ = (1 , 1 , 1)
⇒ vπ ' ⊥ A' G ⇒ vπ ' ⋅ A' G = 0 ⇒
⎨
⎪⎩ A' G = (x , y , z ) − (1 , − 1 , 1) = (x − 1 , y + 1 , z − 1)
(1 , 1 , 1) ⋅ (x − 1 , y + 1 , z − 1) = 0 ⇒ x − 1 + y + 1 + z − 1 = 0 ⇒ π ' ≡ x + y + z − 1 = 0
AA' = (1 , − 1 , 1) − (1 , − 1 , 0 ) = (0 , 0 , 1)
0 0 1
1
1
1
V = ⋅ AA' ⋅ AB × AC ⇒ AA' ⋅ AB × AC = 0 1 − 1 = 1 ⇒ V = ⋅ 1 = u 3
2
2
2
−1 2 −1
3
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Bloque 4.- Calcula:
a) El punto C de la figura, punto de corte de la parábola p: y = 4 – (x – 2)2 y el eje de
abcisas.
b) El punto D y la ecuación de la recta r2 paralela a r4
c) El área, limitada por la parábola p y las rectas r1, r2, r3 y r4
(-4 , 4)
5
4
r2
3
2
r3
1
0
-4
-3
-2
-1
0
-1
(-4 , 0)
r4
1
2
(0 , 0)
3
4
C
-2
r1
-3
-4
-5
D
a)
⎧ x−2= 2⇒ x = 4
2
2
Punto de corte con OX ⇒ y = 0 ⇒ 4 − ( x − 2 ) = 0 ⇒ ( x − 2 ) = 4 ⇒ x − 2 = ± 4 ⇒ ⎨
⎩ x − 2 = −2 ⇒ x = 0
C (4 , 0)
y = 4 − (x − 2) = 4 − x 2 + 4 x − 4 = − x 2 + 4 x
b)
2
4−0
y−0
=
⇒ −4 y = 4 x ⇒ y = − x ⇒ r2 ≡ x + y = 0
−4−0 x−0
m r4 = m r2 = −1 ⇒ y − 0 = −1 ⋅ (x + 4 ) ⇒ y = − x − 4 ⇒ r4 ≡ x + y + 4 = 0 ⇒ Cuando x = 0 ⇒ y + 4 = 0 ⇒
r2 ≡
y = −4 ⇒ D(0 , − 4)
c)
r1 ≡
−4−0 y−0
=
⇒ −4 y = −4 ⋅ ( x − 4) ⇒ y = x − 4 ⇒ r1 ≡ x − y − 4 = 0
0−4
x−4
0
4
(
)
A = ∫ − x dx + ∫ − x 2 + 4 x dx +
−4
0
0
4
−4
0
0
4
−4
0
(
)
A = ∫ − x dx + ∫ − x 2 + 4 x dx −
(
)
A = ∫ − x dx + ∫ − x 2 + 4 x dx +
0
4
∫ (− x − 4) dx + ∫ (x − 4) dx
−4
=
0
0
4
∫ (− x − 4) dx − ∫ (x − 4) dx
−4
0
2
∫ (x + 4) dx + ∫ (− x + 4) dx = ∫ 4 dx + ∫ (− x + 3x + 4) dx
0
4
0
4
−4
0
−4
0
4
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Continuación del Bloque 5
c)Continuación
4
4
1
1
1
3
0
4
A = 4 ⋅ [x ]− 4 − ⋅ x 3 0 + 3 ⋅ ⋅ x 2 0 + 4 ⋅ [x ]0 = 4 ⋅ [0 − (− 4)] − ⋅ 4 3 − 0 3 + ⋅ 4 2 − 0 2 + 4 ⋅ (4 − 0)
3
2
3
2
64 48
64 168 − 64 104 2
A = 16 −
+
+ 16 = 56 −
=
=
u
3
2
3
3
3
[ ]
[ ]
(
)
(
)
5
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Bloque 5.- Dada las funciones f ( x ) = ( x + 1) , g (x ) = ( x − 1) , h( x ) = sen x calcula los
siguientes límites:
f (x ) − 1
f (x ) − 1
f (x ) + g (x ) − 2
a) lim
b) lim
c) lim
x →0
x →0 g ( x ) − 1
x →0
h( x )
[h(x )]2
2
2
a)
2
(
x + 1) − 1
x 2 + 2x + 1 − 1
x 2 + 2x 02 + 2 ⋅ 0 0
2x + 2
Aplicando L ' Hopital
lim
= lim
= lim
=
= = ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→ = lim
=
x →0
=
sen x
x →0
sen x
x →0
sen x
sen 0
0
x →0
cos x
2⋅0 + 2 0 + 2
=
=2
cos 0
1
b)
(x + 1)2 − 1 = lim x 2 + 2 x + 1 − 1 = lim x 2 + 2 x = 0 2 + 2 ⋅ 0 = 0 = lim (x + 2)x = lim x + 2 = 0 + 2 = −1
2
2
2
2
x →0 ( x
− 1) − 1 x →0 x − 2 x + 1 − 1 x →0 x − 2 x 0 − 2 ⋅ 0 0 x →0 ( x − 2 )x x →0 x − 2 0 − 2
lim
c)
2
2
(
x + 1) + (x − 1) − 2
x 2 + 2x + 1 + x 2 − 2x + 1 − 2
= lim
= lim
lim
2x 2
2.0 2
0
Aplicando L ' Hopital
=
= = ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→ =
2
2
2
2
x →0
x
→
x
→
0
0
sen x sen 0 0
sen x
sen x
4x
2x
2⋅0
0
0
Aplicando L ' Hopital
= lim
= lim
=
=
= = ⎯⎯
⎯ ⎯ ⎯⎯→ =
x →0 2 ⋅ sen x ⋅ cos x
x →0 sen x ⋅ cos x
sen 0 ⋅ cos 0 0 ⋅ 1 0
2
2
2
2
2
2
= lim
= lim
= lim
=
=
= =2
2
2
x →0 cos x ⋅ cos x − sen x ⋅ sen x
x →0 cos x − sen x
x →0 cos 2 x
cos (2 ⋅ 0 ) cos 0 1
6
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Bloque 6.- .- Dibuja aproximadamente la gráfica de la función f ( x ) = 1 −
1
,
x +1
calculando su dominio, sus asíntotas, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus
máximos y mínimos, sus intervalos de concavidad y convexidad y sus puntos de
inflexión.
x + 1 = 0 ⇒ x = −1 ⇒ f (− 1) = 1 −
Dom( f ) = ∀x ∈ ℜ − {− 1}
1
1
= 1−
0
−1+1
1
x +1−1
x
=
=
x +1
x +1
x +1
Asíntotas verticales
f (x ) = 1 −
−1
−1
⎧
(
)
lim
f
x
=
=
=∞
−
⎪⎪ x →−1−
− 1 + 1 0−
x =1⇒ ⎨
−1
−1
⎪ lim+ f ( x ) =
= + = −∞
+
⎪⎩ x →−1
−1 +1 0
Asíntotas horizontales
x
1
1
1
x
∞
y = lim
= = lim x = lim
=
=
= 1 ⇒ Cuando x → ∞ ⇒ y = 1
x →∞ x + 1
1
1 1+ 0
∞ x →∞ x 1 x →∞
1+
1+
+
x x
x
∞
( )
( )
x
−x
∞
y = lim
= lim
= = lim
x → −∞ x + 1
x →∞ − x + 1
∞ x →∞
−
−
x
x
x 1
+
x x
= lim
x →∞
−1
−1+
1
x
=
−1
= 1 ⇒ Cuando x → −∞ ⇒ y = 1
−1+ 0
Asíntotas oblicuas
x
1
x
1
2
0
f (x )
x
∞
m = lim
= lim x + 1 = lim 2
= = lim 2 x
= lim x = ∞ =
=0⇒
x →∞
x →∞
x →∞ x + x
x →∞
1
1 1+ 0
x
x
∞ x →∞ x
x
1+
1+
+
x
∞
x2 x2
Cuando x → ∞ ⇒ No existe Asíntota oblicua
x
x
1
1
− 2
−
−
f (x )
−
x
∞
0
m = lim
= lim x + 1 = lim 2
= = lim 2 x
= lim x = ∞ =
=0⇒
x → −∞
x → −∞
x →∞ x − x
x →∞
1
1 1− 0
x
x
∞ x →∞ x
x
1−
1−
−
x
∞
x2 x2
Cuando x → −∞ ⇒ No existe Asíntota oblicua
7
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Continuación del Bloque 6
x +1− x
1
2
=
⇒ Crecimiento ⇒ f ' ( x ) > 0 ⇒ ( x + 1) > 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
2
2
(x + 1) (x + 1)
f ' (x ) =
Crecimiento ∀x ∈ ℜ
No hay máximos ni mínimos relativos
f ' ' (x ) =
− 2 ⋅ ( x + 1)
(x + 1)
4
=
− 2 < 0 ⇒ ∀x ∈ ℜ
⎧
⇒ Concavidad ⇒ f ' ' ( x ) > 0 ⇒ ⎨
(x + 1)
⎩ x + 1 > 0 ⇒ x > −1 ⇒ ∀x ∈ ℜ / x > −1
−2
3
−∞
∞
-1
-2 < 0
x > -1
Resultados
(-)
(-)
( + ) f’’(x) > 0
Concavidad ∀x ∈ ℜ / x < −1
(-)
(+)
( - ) f’’(x) < 0
Convexidad ∀x ∈ ℜ / x > −1
Podría haber un punto de inflexión en x = -1 pero es el punto en donde existe una
asíntota vertical. Por, ello, no existen puntos de inflexión.
5
Y
4
3
2
1
0
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
7
X
-2
-3
-4
-5
8
8