GEOMETRÍA: ¿MATEM ´ATICAS DE LO CURVO? 1. Geometrıa

Aportaciones Matemáticas
Memorias 37 (2007) 91–100
Artı́culo de Exposición
GEOMETRÍA: ¿MATEMÁTICAS DE LO CURVO?
LILIA DEL RIEGO SENIOR
Resumen. Un hecho frecuente es que asociemos la palabra “curvo”, a lo torcido,
chueco, tramposo, no derecho. Y en particular, al aprender algo de geometrı́a
Euclidiana, que estudia propiedades como congruencia o semejanza de figuras
geométricas en el plano, es común pensar que todos tipos de la geometrı́a que se
estudian son planas, lo cual no es necesariamente cierto. Muchos de los espacios
importantes de hecho son curvos.
En este artı́culo empezaremos con las ideas de la geometrı́a Euclidiana, de
la geometrı́a analı́tica y de la geometrı́a diferencial, como marco para discutir la
investigación actual sobre la geometrı́a de las variedades diferenciables no necesariamente Riemannianas, cuya topologı́a es diferente de la que conocemos sobre
el plano bidimensional real. Incluye una amplia bibliografı́a.
1.
Geometrı́a Euclidiana
Es muy probable que todos hayamos al menos estudiado algo de Geometrı́a Euclidiana
en el plano en un curso, o más probablemente, en una parte de él. La base de esta geometrı́a
fue dada por Euclides de Alejandrı́a, en sus famosos libros: Los Elementos. Éstos han sido
uno de los libros de más influencia en la historia, tanto por su método como por su contenido
matemático. En el primer libro podemos encontrar Teoremas tales como:
1. Si dos rectas paralelas están cruzadas por una recta llamada transversal, los pares de
ángulos alternos internos, alternos externos y correspondientes que se forman, son
congruentes.
2. La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es π.
3. Supongamos que un triángulo CDE arbitrario es atravesado por una recta m paralela
a uno de los lados, por ejemplo m paralela al lado DE. Llamemos A y B a las
intersecciones de m con los lados del triángulo. Entonces los triángulos CAB y
CDE son semejantes.
4. Los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales. Por ejemplo, aplicado al 4CAB y al 4CDE anteriores,
AB
DE
=
.
AC
DC
Es frecuente que tendamos a pensar que las matemáticas, divididas en subáreas, no tienen
relación directa entre ellas. Esto no resulta ası́, como lo ejemplificaremos en lo que sigue.
(1)
2000 Mathematics Subject Classification. 51A99;51B20; 51B21; 53C50; 53C60.
Ésta es la versión final del artı́culo.
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Figura 1. La noción de semejanza de Euclides ha sido aplicada también a
otros poliedros y a algunas cónicas. En estos grupos de figuras geométricas
hay aquellas que son semejantes. ¿Podrı́as determinar cuáles son?
1.1. Geometrı́a Euclidiana y Geometrı́a Analı́tica. Pensemos en el plano real R2 . Todos
los puntos de este plano están representados por dos números reales y podemos definir lı́neas,
cónicas, etc.. Lo que me interesa resaltar es que se nos dice que las funciones trigonométricas
sen(x), cos(x), etc. se pueden calcular utilizando cualquier triángulo ABC rectángulo.
Esta afirmación es consecuencia directa de la Teorı́a de Semejanza, en particular del Teorema de Euclides 4 mencionado en esta hoja. En general si deseamos calcular alguna función
trigonométrica, empezamos pintando un triángulo ABC rectángulo y si está pequeño, pues lo
alargamos, construyendo otro triángulo rectángulo 1. El valor de las funciones trigonométricas no varı́a porque los triángulos de la Figura 2 en general resultan ser semejantes, como lo
mostramos a continuación. Sea α al ángulo del vértice C del 4ABC. Entonces:
(2)
sen(α) =
AB
.
AC
Figura 2. La función sen(α) puede calcularse con el 4CAB o con el
4CDE, porque AB k DE y por lo tanto los dos triángulos son semejantes.
1
Si el ángulo B en el 4ABC no es recto, se modifica la Ecuación 2 multiplicando por el seno del
ángulo B.
GEOMETRÍA: ¿MATEMÁTICAS DE LO CURVO?
Si el triángulo nuevo obtenido lo llamamos DEC, entonces en ese caso sen(α) =
93
DE
,
DC
AB
(c.f. Ecuación (1) p. 91).
AC
Resumiendo sen(α), ası́ como las demás funciones trigonométricas, pueden calcularse
utilizando cualquiera dos triángulos rectángulos, siempre que sean semejantes [11, 12].
pero esta razón es igual a
2.
Geometrı́a de Bolyai-Lobachevsky
Esta bella geometrı́a, primera en ser llamada no-euclidiana, tuvo un desarrollo muy crı́tico
en el inicio del siglo XIX. Por más de dos mil años, el adjetivo “Euclidiano” era innecesario
porque ningún otro tipo de geometrı́a habı́a sido concebido. La posibilidad de construir un
sistema geométrico coherente que reemplazara al V postulado de Euclides por el postulado
V0 fue demostrada de manera independiente por tres notables matemáticos:
en Alemania, Carl Friedrich Gauß.
en Rusia, Nicolái Ivánovich Lobachevsky y
en Hungrı́a, János Bolyai,
aunque hubieron otros destacados matemáticos que contribuyeron a ella. Esta geometrı́a se
conoce sin embargo, solamente por el nombre de dos de ellos, debido a razones históricas.
A diferencia de las dos geometrı́as anteriores, se estudia en los primeros años de nivel
universitario y no en todos los programas de matemáticas, aunque aparece como curso no
elemental en algunos programas de fı́sica. Fue el primer ejemplo de una geometrı́a cuyo
modelo sobre R2 no es plano y que tuvo aplicaciones en la Fı́sica Relativista. También recibe
el nombre de Geometrı́a Hiperbólica.
Una de las maneras de estudiarla a nivel universitario es como generalización de la Geometrı́a Euclidiana. Existen muchos libros escritos al respecto, como por ejemplo [6, 9, 11, 12,
13, 22, 25]. Lo que quisiera señalar es que muchos de los teoremas de Euclides dependen del
V Postulado de Euclides, es decir, del paralelismo. Y también existen muchas proposiciones
que son equivalentes al V Postulado. Por ejemplo,
Vequiv : Existe un triángulo en el cual la suma de la medida de los tres ángulos es exactamente
π.
En esta geometrı́a de Bolyai-Lobachevsky, se sustituye el V Postulado (o sus postulados
equivalentes) por:
V0 : Dada una recta m y un punto P fuera de ella, existe un número infinito de rectas
que pasan por P paralelas a m.
En esta geometrı́a siguen siendo válidos los primeros 28 teoremas de Euclides y existen
muchos otros teoremas que le son propios. Por ejemplo, la suma de la medida de los ángulos
internos de cualquier triángulo es menor que π, y no existe una Teorı́a de la Semejanza. Ver
por ejemplo el modelo de Poincaré de esta geometrı́a en la Figura 3. El conocido Teorema de
Pitágoras, de la Geometrı́a Euclidana, no es necesariamente cierto en este tipo de Geometrı́a y
las conocidas curvas cónicas en 2 dimensiones para el plano de Bolyai-Lobachevsky tampoco
resultan ser iguales a las que conocemos [2].
Es importante notar, sin embargo, que en porciones pequeñas del plano, la geometrı́a
hiperbólica de Bolyai-Lobachevsky se aproxima mucho a la Geometrı́a Euclidiana.
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Figura 3. Este modelo del plano Hiperbólico en el cı́rculo, descrito por
Poincaré, fue realizado por el grabador holandés Escher.
Existen muchos otros tipos de Geometrı́as como:
Proyectiva
Descriptiva
Diferencial:
• Riemannianas
• Semi-Riemannianas,
• de Finsler,
• de la Información, etc..
En lo que resta expondré especialmente el último tipo de geometrı́a: es mi especialidad.
3.
Geometrı́a Diferencial
La Geometrı́a Diferencial es la disciplina en donde se aplican métodos analı́ticos y topológicos para obtener información geométrica de una curva, o de una superficie general.
Gauß, su creador, utilizó métodos de Cálculo Diferencial avanzado para estudiar superficies
inmersas en el espacio R3 [19, 30].
Los bellos métodos de Geometrı́a Diferencial han sido aplicados en Fı́sica, particularmente, en Relatividad. También se utilizan en otras aplicaciones del mundo real, como gráficas
computacionales, ası́ como en el modelado del ADN (Acido Desoxirribonucléico). Hay
ahora un renovado interés por esta disciplina pues con el flujo de Ricci, es decir, con una
ecuación diferencial parcial que refleja el cambio de una métrica de acuerdo a su curvatura
de Ricci, Richard Hamilton y Grigori Perelman caracterizaron a la ecuación que tiene mucho
en común con la ecuación del calor, en la cual una función evoluciona hacia funciones más
adecuadas. De manera análoga, el flujo de Ricci cambia una métrica hacia métricas mejores.
El estudio de este flujo les permitió demostrar el Teorema topológico de caracterización de
variedades topológicas en R4 conocido como la Conjetura de Poincaré [28]: Si una 3 variedad diferenciable compacta tiene grupo fundamental trivial, entonces debe ser homeomorfa
a la esfera S 3 .
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Cabe señalar que la investigación de Perelman sobre las singularidades de la Ecuación
del flujo de Ricci lo hizo merecedor de una de las medallas Fields que la comunidad matemática otorga cada 4 años, durante el Congreso Internacional de Matemáticas 2006, a los
matemáticos menores de 40 años que hayan desarrollado métodos extraordinarios en sus
investigaciones. Para completar este tema debo decir dos cosas:
1. Perelman declinó la medalla.
2. Los métodos utilizados tanto por Hamilton como por Perelman pertenecen a la
Geometrı́a Riemanniana, que analizamos en la siguiente subsección.
3.1. Geometrı́a Riemanniana. En su informe de la tesis de Riemann, Gauß lo describe
como alguien que tenı́a una fácil y gloriosa originalidad. Con las recomendaciones de Gauß,
Riemann fue nominado para un puesto en la prestigiosa Universidad de Göttingen.
El problema presentado a Riemann por Gauß fue el siguiente. Extender los métodos de la
Geometrı́a Diferencial de superficies en R3 desarrollados por él, a espacios más generales.
Requerı́a identificar los elementos para poder realizarlo; ahora sabemos que son esencialmente dos
1. investigar u obtener la idea de superficie general, lo que se conoce como variedad
diferenciable de dimensión finita.
2. idear cómo medir ángulos y vectores sin utilizar el producto escalar de vectores
en R3 . Gauß lo habı́a utilizado para definir una de las nociones más importantes
en Geometrı́a: la curvatura que lleva su nombre. Existen varias otras curvaturas
importantes, como la de Ricci.
Ya existı́a en este tiempo una extensión de la idea de superficies inmersas en el plano
tridimensional a lo que se conoce como variedades diferenciales de dimensión finita. La idea
de un objeto geométrico está estrechamente relacionada con la idea de su dimensión.
Podemos pensar informalmente que la dimensión de un objeto es igual al número de
parámetros requeridos para su descripción. Por ejemplo, una lı́nea en el espacio de dos
dimensiones puede ser descrita por las dos ecuaciones:
(3)
x
=
2 + 3t
(4)
y
=
1 + 5t
El parámetro t varı́a sobre una lı́nea o un segmento de lı́nea. La lı́nea en el espacio de
dos dimensiones es unidimensional, pues aunque está dada por dos ecuaciones, lo que es
importante es que puede describirse solamente por la variable, llamada también parámetro,
t.
La esfera S 2 en R3 es bi-dimensional. Es posible que cada uno de nosotros hayamos ya
considerado inconscientemente este hecho, pues sabemos que todos los puntos en la tierra
pueden localizarse mediante dos datos (parámetros): latitud y longitud. También es cierto
que la tierra localmente parece plana, como la de la Figura 4.
La idea formal de variedad diferenciable real M de dimensión finita n sigue a continuación.
Definición 3.1. Una variedad diferenciable real M de dimensión n es un espacio topológico
M no solamente localmente homeomorfo a Rn sino que tanto el homeomorfismo como su
inverso son diferenciables.
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A un homoeomorfismo entre dos variedades M y N tal que tanto él como su inverso es
diferenciable lo llamaremos difeomorfismo. M y N se dicen entonces variedades difeomorfas.
Una variedad real M de dimensión n, llamada también n-variedad, puede describirse
también como un espacio que es localmente como Rn , sin embargo, no tiene un sistema de
coordenadas preferido. Además, una variedad puede tener propiedades topológicas globales,
que la distinguen de la variedad topológicamente trivial Rn .
Figura 4. La tierra es una 2-variedad. Localmente es no solamente homeomorfa al plano real, sino difeomorfa.
En cuanto al problema de medir ángulos y vectores, Riemann tuvo la genial idea de
identificar y definir lo que se conoce ahora como un producto o métrica gM , que lleva su
nombre, sobre los espacios tangentes TM de cada variedad. Es decir, una función
gM : TM × TM −→ R .
gM es una métrica Riemanniana si en cada punto p de la variedad M cumple lo siguiente.
Sean a, b ∈ R y v, w ∈ Tp M
(5)
g(au + bv, w)
=
ag(u, w) + bg(v, w), bilineal
g(u, v)
=
g(v, u),
v 6= 0
=⇒ g(u, v) > 0,
simétrica
definida positiva.
La variedad (M, gM ) con esta métrica se dice variedad Riemanniana. Obviamente el
producto escalar usual definido sobre el plano R2 es Riemanniano y hace que el plano
tenga la geometrı́a plana que conocemos. Pero la mayorı́a de los espacios Riemannianos
interesantes, incluyendo a R2 con una métrica Riemanniana distinta al producto escalar
usual, son curvos.
Si aceptamos las primeras dos condiciones (bilinealidad y simetrı́a) pero cambiamos
la última condición (5), debilitándola, por que la métrica gM sea no degenerada, tanto la
métrica gM como la variedad (M, gM ) se dicen semi-Riemannianas. Estudiaremos este tipo
de variedades en la siguiente sección.
La Geometrı́a Riemanniana es un área muy activa de las Matemáticas en la actualidad;
hay muchos resultados importantes tanto locales, como globales [21, 7, 20, 24, 27].
Las ideas de Riemann concernientes a la geometrı́a del espacio tuvieron un profundo
efecto en el desarrollo de la teorı́a fı́sica moderna [1]. Provee los conceptos y métodos
usados después en la Teorı́a de la Relatividad [21] y recientemente, en la Geometrı́a de
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la Información, que emergió al investigar las estructuras geométricas de una familia de
distribuciones de probabilidad [3]. Esta última ha sido aplicada exitosamente a problemas
estadı́sticos de inferencia [29]. Riemann era un pensador original y una fuente de métodos,
teoremas y conceptos que llevan su nombre.
Uno de los problemas fundamentales en la geometrı́a de Riemann es estudiar la topologı́a
de las variedades, por ejemplo, asumiendo condiciones especiales para su curvatura. Uno de
los dos teoremas más importantes de la Geometrı́a Riemanniana lo ejemplifica:
1. Teorema de Gauss-Bonnet: relaciona la topologı́a de una variedad Riemanniana
compacta M con su curvatura. Implica por ejemplo que no existe ninguna métrica
Riemanniana sobre S 2 tal que su curvatura sea 0 o negativa. Pero sı́ resulta posible
definir una métrica g sobre el toro T 2 que lo hace plano, es decir, de curvatura 0.
2. Teorema de Hopf-Rinow: toda variedad Riemanniana M compacta es completa
(geodésicamente y de tipo Cauchy).
Parte de mi trabajo en esta área se ha centrado en describir la geometrı́a determinada
por un ramillete (spray en inglés, gerbe en francés) sobre una variedad determinada por
una conexión [3, 14, 15]. Otros trabajos en Geometrı́a Diferencial son en el campo de las
variedades semi-Riemannianas.
3.2. Geometrı́a semi-Riemanniana. En la subsección anterior, página 96, definimos variedades semi-Riemannianas (M, g). La tercera condición sobre su métrica g semi-Riemanniana, vista como transformación lineal, puede expresarse también como que g tenga rango
máximo, y no tiene valores necesariamente positivos.
Cada variedad Riemanniana puede ser vista como variedad semi-Riemanniana. Y la misma variedad M con dos métricas semi-Riemannianas distintas representa variedades diferentes. Las variedades de Minkowski y las de Lorentz son un tipo especial de variedades
semi-Riemannianas.
La geometrı́a en la variedad (M, g) resulta diferente de la de las variedades Riemannianas.
Por ejemplo, la desigualdad de Cauchy-Schwarz ya no es válida y g no es ni norma ni
seminorma. La “longitud” de un vector distinto de cero
2
kxk = g (x, x)
puede tomar cualquier valor real, no necesariamente positivo, y no existe una medida de
ángulos natural [18, 21].
Para las variedades Riemannianias, el problema de la convexidad o conectividad geodésica está esencialmente resuelto. De hecho, como consecuencia del teorema de Hopf-Rinow,
cualquier variedad Riemannianiana métricamente completa es también geodésicamente conexa. Además, cualquier par de puntos está unido por un número infinito de geodésicas si
la variedad no es contraible. El problema de la conectividad geodésica es mucho más delicado e interesante para las variedades semi-Riemannianas. De hecho solamente hay pocos
resultados intrı́nsecos y se conocen muchos contraejemplos a la conectividad geodésica en
variedades Lorentzianas [5, 23, 31]. Por ejemplo para dim M ≥ 3 una forma de Lorentz de
curvatura positiva hace que el espacio sea geodésicamente conexo si y solamente si no es
orientado por el tiempo [8].
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Mis trabajos dentro de este tipo de Geometrı́a han sido sobre ramilletes en variedades Riemannianas, tanto homogéneos como generales, las funciones exponenciales que los definen
y condiciones para la conectividad geodésica de estos espacios [15]. Presentamos resultados
recientes sobre ramilletes dando muchos ejemplos de ramilletes planos en [16], aplicaciones a la Relatividad en [32] y el estudio de las cónicas en este tipo de espacios en [2]. La
geometrı́a y topologı́a de estos espacios es extremadamente interesante y queda aún mucho
por explorar.
El Teorema de Gauss-Bonnet, mencionado en la página 97 para variedades semi-Riemannianas sı́ resulta válido. Fue demostrado por S.S. Chern.
Figura 5. Localmente cada punto de un espacio de Finsler puede verse
como un espacio tangente.
3.3. Geometrı́a de Finsler. La Geometrı́a de Finsler es un área antigua dentro de la geometrı́a diferencial, pero ha tenido un desarrollo lento en los últimos 70 años, debido a la complejidad de las estructuras de Finsler. De manera informal podemos describir a la geometrı́a
de Finsler como aquella que estudia espacios métricos tales su métrica g no está restringida
a funciones cuadráticas [10]. De hecho, los espacios de Finsler se presentan a través de una
variedad, como se hace generalmente para las variedades Riemannianas o semi Riemannianas, pero la métrica no se enuncia de manera directa, sino que resulta definible en base a una
función de Finsler que se enuncia de manera explı́cita.
Cartan desarrolló en 1934 una teorı́a de curvatura, pero desafortunadamente, en este
tipo de geometrı́as no existe una manera única de definir derivada covariante. Por ejemplo,
utilizando las ideas de Cartan, la longitud de un vector y el vector obtenido de él por un
desplazamiento infinitesimal paralelo dependen de poder escoger un “elemento de soporte”
arbitrario. Fue precisamente por esto que el primer desarrollo de la geometrı́a de Finsler se
dió en términos de generalizaciones directas de los métodos de la geometrı́a Riemanniana.
Sin embargo, se sentı́a que la introducción del elemento de soporte no era deseable desde
un punto de vista geométrico. Por esta razón surgieron más teorı́as que no lo utilizaron. Sin
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embargo, el rechazar el uso de un elemento de soporte llevó a otro tipo de dificultades: por
ejemplo, la ortogonalidad natural entre dos vectores no es en general simétrica, mientras que
las dificultades analı́ticas se incrementan, sobre todo porque el lemma de Ricci no puede ser
generalizado como antes [33].
En los últimos años, la geometrı́a de Finsler ha tenido un gran desarrollo debido al trabajo
de D. Bao, S.S. Chern, R. Bryant, Zhongmin Shen y otros. Uno de los problemas fundamentales en esta Geometrı́a es estudiar y caracterizar métricas de Finsler de curvatura constante
[34], o describir nuevas cantidades geométricas que describan fenómenos Finslerianos [17].
La completez geodésica es muy interesante y distinta de los casos Riemannianos y semiRiemannianos también. En el disco abierto de Poincaré de Finsler existe una geodésica que
es completa si va hacia el centro del cı́rculo, pero es incompleta si emana del centro [4], pag.
333 y siguientes. Hasta fechas recientes se han empezado a analizar los espacios de Finsler
semi-Riemannianos, y queda mucho por analizar.
Terminaré resumiendo en una tabla las geometrı́as examinadas.
Tipo de Geometrı́a
Euclidiana
Hiperbólica
Diferencial
Riemanniana
semi-Riemanniana
de Finsler
Caracterı́sticas
geometrı́a plana, paralela única
geometrı́a no plana, ∞ paralelas
g simétrica, bilineal, definida positiva
g simétrica, bilineal, no degenerada
g no neces. simétrica, bilineal, def. positiva
Agradecimientos
La autora desea dar las gracias a CONACYT por el apoyo al proyecto 48598 y al árbitro
por sus atinados comentarios, que indudablemente mejoraron mi artı́culo.
Referencias
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Luis Potosı́, San Luis Potosı́, SLP, 78900 México
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