Sucesiones y series de números

ANÁLISIS MATEMÁTICO (2006-2007)
Sucesiones y series de números
1. Estudiar la convengencia de las siguientes sucesiones:
un =
√
√
1
n sin(n)
1
n2 + n + 1 − n ; un = (−1)n +
cos(n) ;
;
n
n
n2 + 1
2. Demostrar que toda sucesión convegente está acotada.
3. ¿Qué pensais de las afirmaciones siguientes?
• Si (un )n converge a l ⇒ (u2n )n y (u2n+1 )n convergen a l
• Si (u2n )n y (u2n+1 )n convergen ⇒ (un )n converge.
• Si (u2n )n y (u2n+1 )n convergen a un mismo límite l ⇒ (un )n converge a l.
4. Sea Hn =
Pn
1
i=1 i
a. Cosiderando
R n+1
n
= 1 + 12 + ... + n1 :
1
dt,
t
n ∈ IN, demostrar que:
∀n > 0,
1
1
≤ ln(n + 1) − ln(n) ≤
n+1
n
b. Deducir que ln(n + 1) ≤ Hn ≤ ln(n) + 1.
c. Calcular limn→+∞ Hn .
d. Demostrar que un = Hn − ln(n) es decreciente y positiva.
e. ¿Qué podemos decir de la convegencia de (un )n ?
5. Determinar si las siguientes series convergen:
X
√
1
n2 − 1
−√
1
n2 + 1
;
X
X
X (−1)n
X
1
n n2
1
;
)
;
;
(
n cos2 (n)
(ln(n))ln(n)
n+1
n2
6. Sea (un ) una sucesión de numeros reales y positivos.
Supogamos que la sucesión definida por vn =
Demostrar que
7. Dado
P+∞
P
1
k=1 n2
Pn
un converge.
=
π2
,
6
calcular:
+∞
X
1
2
k=0 (2n + 1)
1
k=1
uk − nun está acotada.