Circuitos RLC en serie en corriente continua

ELECTROMAGNETISMO II
María Dasí Espuig
Circuitos RLC en serie en Corriente Continua

¿En qué consiste un circuito RLC?
Un circuito RLC se compone de los elementos pasivos: resistencia, bobina y
condensador.
R
C
Fuente de
alimentación
L
Figura 1: Circuito RLC. Las líneas que unen los distintos elementos
se consideran ideales (sin resistividad, inductancia ni capacidad).
La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en
el cambio de intensidad y el condensador la acumulación de carga.
Veremos el caso más sencillo, el circuito RLC en corriente continua, es decir,
conectado a una fuente que proporciona al circuito una tensión constante en el tiempo.
Antes de analizar la corriente que circula por él, veamos algunas características de estos
elementos que nos ayudarán en la resolución.
- Resistencia: Todos los elementos del circuito que es oponen al paso de corriente y donde
se disipa energía por efecto Joule y su valor depende de su geometría y de la resistividad
ρ (ecuación 1).
R
l ·
s
Donde l es la longitud, s la sección.
-1-
(1)
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V  I ·R
(2)
V representa la caída de potencial en la resistencia debido al paso de corriente.
V
V2
P  V ·I  V ·( ) 
R
R
(3)
La ecuación (3) representa la potencia disipada en la resistencia en función de la caída de
potencial en la misma. Observamos que su valor nunca podrá ser 0, ya que eso equivaldría a
una potencia infinita.
- Bobina: Todos los elementos del circuito en los que se acumula y cede energía en forma de
campo magnético. El potencial inducido en la bobina, por la Ley de Lenz, viene dado por la
expresión:
V  N
d
dI
L
dt
dt
(4)
Con N el número de vueltas de la bobina, Ф el flujo que la atraviesa y L la
autoinductancia. Cualquier cambio en el flujo (o sea, en la intensidad) establecerá un voltaje
que podrá retardar (que no evitar) el cambio en la intensidad.
P  V ·I  LI

dI
d 1

LI 2
2
dt dt

(5)
La ecuación (5) representa la potencia absorbida o cedida por la bobina. Como podemos
observar, este elemento no permite un cambio instantáneo (tiempo cero) finito en la
intensidad, ya que si esto ocurriese tendríamos un potencial infinito y eso es imposible.
-2-
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- Condensador: Todos los elementos del circuito donde se almacena y cede energía en
forma de campo eléctrico. Se produce una acumulación de cargas en sus placas dando lugar
a una diferencia de potencial entre ellas. Se caracteriza (como los resistores por la
resistencia R y la bobina por la autoinductancia L) por la capacidad C, la relación entre la
carga acumulada y el potencial entre sus placas:
C
De (6) se deriva:
V
Q
V
(6)
 Idt
(7)
C
Donde Q es la carga acumulada en las placas y V el potencial entre ellas. La potencia de
este elemento viene como:
P  V ·I  V ·C

dV
d 1

CV 2
2
dt
dt

(8)
Donde I se obtiene de la forma diferencial de C=dQ/dV y sabiendo que I=dQ/dt. De forma
análoga a los casos anteriores se extrae que en este elemento no puede haber cambios
instantáneos de voltaje, ya que eso llevaría como consecuencia un potencial infinito.

¿Cómo resolver un circuito RLC?
A estos circuitos también se les llama circuitos de segundo orden, ya que la
ecuación que resulta al aplicar las leyes de Kirchoff es una ecuación diferencial de segundo
orden. Supongamos un circuito como el de la figura 1 al que conectamos una batería que
suministra un voltaje continuo Vb. La segunda Ley de Kirchoff dice lo siguiente:
"La suma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero."
-3-
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Por lo tanto, aplicado a nuestro circuito obtenemos lo siguiente.
Vb  VR  VL  VC  0
(8)
Sustituyendo ahora las ecuaciones (2), (4) y (7) en la (8) obtenemos:
Vb  RI  L
dI 1

Idt
dt C 
(9)
Que es una ecuación integro-diferencial. Para resolverla derivaremos consiguiendo la
ecuación diferencial de segundo orden de la que hablábamos.
0L
d 2I
dI 1
R  I
2
dt C
dt
(10)
El término dVb/dt ha desaparecido ya que como considerábamos que se trata de una fuente
de voltaje constante, la derivada es nula. Para resolver esta ecuación diferencial
homogénea de 2º orden procedemos calculando las raíces para obtener una solución del
tipo:
I (t )  K1e s1t  K 2 e s2t
(11)
Las raíces correspondientes a la ecuación (10) son:
s2 
R
1
R
s
0s 

L
LC
2L
-4-
R 2L
2
1
LC
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Si llamamos
α=R/2L (constante de amortiguación),  0 
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1
LC
y sustituimos en (11) las
soluciones nos quedarán:
s1     2   0
2
(12.1)
s 2     2  0
2
(12.2)
Sólo queda saber qué valen las constantes K 1 y K2. En el instante t=0, I=0, y eso nos lleva a
que 0= K1+K2 es decir, que K2=-K1.
I (t )  K1 (e s1t  e s2t )
Ahora, dependiendo de las magnitudes de
i) Si
α y ωo la solución será de una manera u otra.
α > ωo: Las soluciones serán reales, distintas y de signo negativo.
Sabemos que la caída de potencial en el circuito era como en la ecuación (8), que en el
instante t=0 el condensador no permite un cambio brusco de voltaje (por lo que V c=0) y la
bobina no permite un cambio brusco en la intensidad, y en la resistencia es cero (V=I·R). Por
lo tanto el único elemento en el que hay caída de potencial es en la bobina. Con estas
condiciones la ecuación (8) se simplifica en la (13).
Vb  L
dI
dt
 LK1 ( s1  s 2 )
t 0
-5-

K1 
Vb
L( s1  s 2 )
(13)
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Haciendo uso de la relación trigonométrica
senhx 
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e x  ex
la solución final se dice
2
sobreamortiguada, y queda como:
I (t ) 
Vb
L  2  o
e t senh(  2   0 t )
2
2
I(t)
t
Figura 2: Representación de Intensidad frente al tiempo. En este caso es sobreamortiguada.
ii) Si
α = ωo: Las soluciones serán reales, iguales y de signo negativo también.
Para esta condición, las soluciones a la ecuación diferencial son:
I (t )  ( K1  K 2 t )e t
Hallamos las constantes siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior. En
t=0, I=0, por lo tanto eso nos lleva a que K1=0. La solución será I(t) = K2·t·e-αt.
-6-
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Vb  L
dI
dt

 L K 2 e t  K 2 te t
t 0

t 0
 LK 2
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
K2 
Vb
L
(14)
Y la solución en este caso se dice críticamente amortiguada:
I (t ) 
Vb ·t t
e
L
I(t)
t
Figura 3: Representación de la intensidad frente al tiempo. Ahora se dice críticamente amortiguada.
iii) Si
α < ωo: Las soluciones serán imaginarias complementarias y por lo tanto las
soluciones son de la forma:
2
2
I (t )  e t  K 1 sen (  2   0 t )  K 2 cos(  2   0 t ) 


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Análogamente, para t=0, I=0, K2=0 y la expresión será I (t )  K1e
t
sen(  2   o t ) .
2
Derivando ésta con el tiempo obtenemos:
Vb  L
dI
dt
t 0
2
2
2
 L  K1e t sen(   2  o ·t )  K1e t ·   2  o ·cos(   2  o ·t )

 t 0
Vb  LK1   2   o

2
K1 
Vb
L·     0
2
(16)
2
La solución en este caso se dice subamortiguada.
I (t ) 
Vb ·e t
sen(   2   0 ·t )
2
L    0
2
2
I(t)
t
Figura 4: Representación de la Intensidad frente al tiempo. En este caso es subamortiguada.
En los tres casos observamos, como cabría esperar, un rápido aumento en la
intensidad al conectar el circuito. En las dos primeras, en instantes posteriores al conectar
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el circuito, se ve una rápida caída en la intensidad tendiendo a cero, debido al coeficiente
de amortiguamiento. Dependiendo de las relaciones entre R, L y C esa bajada será más
rápida o menos. En el último caso apreciamos un cambio en el signo de la intensidad y
también un atenuación a medida que pasa el tiempo. La relación entre los valores de R, L y C
es tal que hay un desfase entre la intensidad que pasa por la bobina y la que pasa por el
condensador, haciendo por lo tanto que la polaridad de ésta cambie.
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Bibliografía
[1] Apuntes de clase.
[2] José Gómez Campomanes, Circuitos eléctricos, Universidad de Oviedo, Servicio de
Publicaciones, Vol. II.
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