PRÁCTICA 6: APLICACIONES LINEALES.

PRÁCTICA 6: APLICACIONES LINEALES.
INTRODUCCIÓN
1. DEFINICIÓN DE UNA APLICACIÓN LINEAL
In[1]:=
Out[2]=
In[3]:=
Out[5]=
f x_, y_, z_ :
f 3, 0, 4
3x
y, 2 x
z
9, 10
f x_, y_, z_
v
3, 0, 4 ;
f v
:
3x
"%#
$&
y, 2 x
z
9, 10
!
"
$
#
'
)
)
"
+
"
#
*)
+,
*
(
-
(
)
%. / /&0%1 - 1&2 %/ . /&0%- 3 4&2 %/ / .&0%- 51 5.&
%# $&
)
f
f
In[6]:=
x_, y_, z_
x, y, z
2x
Out[7]=
3y
: x 2, 3, 2
3 z, 3 x
4y
y 3, 4, 5
2 z, 2 x
5y
z 3,
2,
1
z
2. MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL
"
'
*
#
$
$ %6
+
+
"
+,
-
f
B
*
1
%#
x_, y_, z_
: x 2 y, 3 x z
1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1
$&0%#51 -#7$&
$
;
!
In[10]:=
f B 1
f B 2
f B 3
Out[10]=
1, 3
2, 0
Out[11]=
0, 1
Out[12]=
!
$
In[13]:=
Out[13]=
In[14]:=
A
Transpose Table f B i
1,
, i, 3
2, 0 , 3, 0, 1
MatrixForm A
Out[14]//MatrixForm=
1
3
2
0
'
0
1
+
$
)
$
+,&
'
In[8]:=
)
8
+%
8&
+,
Ejemplo 4:
'
!
In[15]:=
v
3,
A.v
Out[16]=
7, 13
0%- 51 3&
2, 4 ;
f v
In[17]:=
7, 13
Out[17]=
3. MATRICES ASOCIADAS A UNA APLICACIÓN LINEAL EN DIFERENTES BASES
"
9
* (
+1,
*
+.
$
+. +.,
+1
,
"
+.,
,0:
$
"&
%
+.,
1
1
;%. .& %. 5.&<
!
A
B1
B1p
B2
B2p
Out[23]=
In[24]:=
:
$
%
*&
$
$
,
2, 0 ,
1, 5 , 3, 2 ;
1, 0 , 0, 1 ;
1, 1 , 1, 1 ;
1, 0, 0 , 0, 1, 0 , 0, 0, 1 ;
1, 1, 0 , 1, 0, 1 , 0, 1, 1 ;
+.
P
-
)
$ 0;;1 /< ;5. 4< ;- 1<< :
;%. . /& %. / .& %/ . .&<
$
In[23]:=
+.
+1,
'
In[18]:=
+1,
$
)
+1
+1
+.
Transpose B1p
1, 1 , 1,
1
MatrixForm P
Out[24]//MatrixForm=
1
1
1
1
'
)
In[32]:=
P. 1, 0
P. 0, 1
Out[32]=
1, 1
Out[33]=
1,
1
=$
+.
+.
!
$:
In[25]:=
+1
+1
Q Inverse Transpose B2p
MatrixForm Q
1
1
,
,
2
2
Out[25]=
1
,
2
Out[26]//MatrixForm=
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
'
1
,
2
1
1
,
,
2
2
1
2
1
2
1
2
)
In[37]:=
1
1
1
,
,
2
2
2
=$
+1
Q. 1, 1, 0
Q. 1, 0, 1
Q. 0, 1, 1
Out[37]=
1, 0, 0
Out[38]=
0, 1, 0
Out[39]=
0, 0, 1
=
$
In[40]:=
Ap Q.A.P
MatrixForm Ap
1
,
2
Out[40]=
5
,
2
3
9
,
,
2
2
7
,
2
7
2
Out[41]//MatrixForm=
1
5
2
2
3
9
2
2
7
7
2
2
6
%
)
In[70]:=
v
w
2,
Out[71]=
In[72]:=
w
Out[73]=
In[74]:=
Out[74]=
Out[75]=
1, 3
Q.w
1, 3, 0
Out[72]=
In[73]:=
1, 0 ;
A.v
v
Inverse P .v
1
1
,
2
2
Ap.v
Ap.v
w
1, 3, 0
True
?0
0
>
.
)
&
+1
4. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL
!
$
>
%
&A0 &
%
B
-
'
3
)
%C% &&0 5
%@ % &&0
% &&
%5
$
$
In[76]:=
A
2, 1, 3 ,
MatrixForm A
2, 0, 1 , 0,
1, 1 , 2, 3,
1
;
Out[77]//MatrixForm=
2
1
2
0
0
2
In[78]:=
Out[78]=
3
1
1
1
3
1
Ared RowReduce Transpose A
MatrixForm Ared
1, 0, 0, 1 , 0, 1, 0, 0 , 0, 0, 1,
4
Out[79]//MatrixForm=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
4
$
-
-
B
$
B
8
Solve
80/
/
>
In[80]:=
Out[81]=
D
B
Out[83]=
%
&
w
x, y, z ;
Solve A.w
0, 0, 0, 0 , x, y, z
x
0, y
$
In[83]:=
8
0, z
0
LinearSolveE D
) >E
LinearSolve A, 0, 0, 0, 0
0, 0, 0
)
$
B
/
In[85]:=
NullSpace A
Out[85]=
-
'
In[86]:=
A
2,
Out[86]=
In[87]:=
2,
1, 5 ,
1, 5 ,
-
2, 1, 0 ,
2, 1, 0 ,
-
$
2, 1, 10
2, 1, 10
NullSpace A
1, 2, 0
Out[87]=
Con Solve, como hemos visto antes, obtenemos las ecuaciones paramétricas del núcleo:
In[89]:=
Out[89]=
Solve A. x, y, z
0, 0, 0 , x, y, z
Solve::svars :
Equations may not give solutions for all "solve" variables.
y
x
,z 0
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
-
(
1
%# $&0%#7 7$& F
+,0;%. 1& %/ .&< '
+0;%. . .& %/ . 5.& %. / /&<
In[117]:=
In[91]:=
In[107]:=
f
x_, y_, z_
:
x
y, y
z
B1 IdentityMatrix 3 ;
B1p
1, 1, 1 , 0, 1, 1 , 1, 0, 0
B2 IdentityMatrix 2 ;
B2p
1, 2 , 0, 1 ;
A
A
$
B
;
f B1 ;
MatrixForm
Out[108]//MatrixForm=
1
3
In[95]:=
Out[95]=
In[96]:=
P
2
0
0
1
Transpose B1p
1, 0, 1 , 1, 1, 0 , 1,
1, 0
MatrixForm P
Out[96]//MatrixForm=
1
1
1
'
0
1
1
1
0
0
)
=$
+.
+.
In[97]:=
P. 1, 0, 0
P. 0, 1, 0
P. 0, 0, 1
Out[97]=
1, 1, 1
Out[98]=
0, 1,
Out[99]=
1, 0, 0
!
1
$:
In[100]:=
+1
+1
Q Inverse Transpose B2p
MatrixForm Q
1, 0 ,
Out[100]=
2, 1
Out[101]//MatrixForm=
1
2
0
1
'
)
In[102]:=
=$
+1
Q. 1, 2
Q. 0, 1
Out[102]=
1, 0
Out[103]=
0, 1
=
$
In[109]:=
Ap Q.A.P
MatrixForm Ap
1,
Out[109]=
2, 1 , 6, 3, 1
Out[110]//MatrixForm=
1
6
2
3
1
1
6
%
)
In[111]:=
v
w
1, 3
Out[112]=
In[113]:=
w
Out[114]=
In[115]:=
Out[115]=
Out[116]=
Q.w
1, 1
Out[113]=
In[114]:=
1, 0, 0 ;
A.v
v
Inverse P .v
0, 0, 1
Ap.v
Ap.v
1, 1
True
w
?0
0
>
.
)
&
+1
1
!
%3 .&0%1 51 - .& F
3
%1 5.&0%. / 5. -&
$
In[118]:=
B1 IdentityMatrix 2 ;
B1p
2, 1 , 4, 1 ;
B2 IdentityMatrix 4 ;
B2p B2;
In[122]:=
P
Transpose B1p ; P
MatrixForm
Out[122]//MatrixForm=
2
1
In[124]:=
Ap
4
1
Transpose
1, 0,
1, 3 , 2,
2, 3, 1
; Ap
MatrixForm
Out[124]//MatrixForm=
1
0
2
2
1
3
In[129]:=
Q
A
3
1
Inverse Transpose B2p ;
Inverse Q .Ap.Inverse P ; A
MatrixForm
Out[130]//MatrixForm=
1
0
2
1
2
3
3
1
5
3
3
5
2
3
3
In[133]:=
comprobaciones
A. 2, 1
A. 4, 1
Out[133]=
1, 0,
Out[134]=
2,
1, 3
2, 3, 1
-
(
-
%. / /&0%5. G 1& %/ . /&0%1 . 5.&
%/ / .&0%/ .-H1 -H1&
'
B
9
In[1]:=
A
$
Transpose
Out[1]//MatrixForm=
1
6
2
2
0
1
1
13
2
3
2
+0;%. / 1& %1 . /& %/ 1 .&<
1, 6, 2 , 2, 1,
1 , 0,
13
2
,
3
2
; A
MatrixForm
In[2]:=
Ared
RowReduce Transpose A
; Ared
MatrixForm
Out[2]//MatrixForm=
In[3]:=
1
0
0
0
1
0
8
13
3
13
0
NullSpace A
1,
Out[3]=
In[4]:=
B
In[5]:=
P
Q
1
,1
2
1, 0, 2 , 2, 1, 0 , 0, 2, 1
Transpose B ; P
Q
Inverse P ;
;
MatrixForm
MatrixForm
Out[5]//MatrixForm=
1
0
2
2
1
0
0
2
1
Out[6]//MatrixForm=
1
2
9
9
4
1
9
9
2
4
9
9
In[7]:=
Ap
Ap
2
9
1
9
Q.A.P;
MatrixForm
Out[8]//MatrixForm=
19
14
9
9
5
7
9
9
83
55
9
9
In[38]:=
4
9
5
3
17
6
17
6
comprobaciones
P.IdentityMatrix 3
P.Ap. 1, 0, 0
A.B
P.Ap. 0, 1, 0
A.B
P.Ap. 0, 0, 1
A.B
Out[38]=
True
Out[39]=
True
Out[40]=
True
Out[41]=
True
3
(
0
Transpose B
1
2
3
/ .
.
.
. 1
.
.
. .
1
.
. 1
F
1
B
3
)
$
5
!"
F
D
E
9
In[9]:=
In[10]:=
Out[10]=
In[11]:=
A
%5- - 51 5.&
0
1
1
1
1
2
1
2
1
1
2
3
1
1
;
1
2
Det A
2
NullSpace A
Out[11]=
In[12]:=
Out[12]=
RowReduce Transpose A
1, 0, 0, 0 , 0, 1, 0, 0 , 0, 0, 1, 0 , 0, 0, 0, 1