Enfoque Media

ENFOQUE MEDIA – VARIANZA1
Sandro A. Huamani Antonio
El enfoque Media-Varianza nos dice que, bajo circunstancias especiales, una utilidad esperada
puede ser descrita en función a la media y la varianza de los pagos y/o loterías. Dicha reducción es
adecuada sólo en el caso en que la función de utilidad que resume las preferencias del individuo
respecto a los diferentes estados de la naturaleza sea cuadrática o cuando los pagos tienen una
distribución normal. En concreto, se asume que un individuó preferirá aquella distribución que
presente mayor media y menor varianza. Por otro lado, el Enfoque Media-Varianza es un método
alternativo de elección bajo incertidumbre que hace más aplicable el enfoque de la Utilidad
Esperada.
I. El Modelo
Sea c es una variable aleatoria, U (c ) una función de utilidad y E (c ) = µ . Sí aplicamos la
aproximación de Taylor a U (c ) tenemos:
U (c ) = U ( µ ) +
U ′( µ )
U ′′( µ )
U ′′′( µ )
(c − µ ) +
(c − µ ) 2 +
(c − µ ) 3 + ...
1!
2!
3!
Dado que nuestro interés es analizar la utilidad esperada, Aplicamos la esperanza a toda la ecuación
anterior, nos queda:
U ′( µ )
U ′′( µ )
U ′′′( µ )


U e = E (U (c )) = U ( µ ) +
E (c − µ ) +
E ((c − µ ) 2 ) +
E ((c − µ ) 3 ) + ...
1!
2!
3!


Dado que E (c − µ ) = .E (c) − µ = 0 , entonces:
1
Versión Preliminar. Esta Nota de clase se elabora en el marco de la clase dictada de introducción a la Teoría
de la Incertidumbre en el Centro de Especialización en Teoría Económica y Finanzas “Lambda Group
S.A.C”.
U ′′( µ )
U ′′′( µ )
U ′′′′( µ )


U e = U ( µ ) +
E ((c − µ ) 2 ) +
E ((c − µ ) 3 ) +
E ((c − µ ) 4 ) + ......(1)
2!
3!
4!


Nótese que la utilidad esperada depende de todo los momentos de la distribución: media, varianza,
asimetría (sesgo), curtosis, etc. Donde: E ((c − µ )3 ) es la asimetría y E ((c − µ ) 4 ) es la curtosis.
Dado que nuestro resultado nos dice que la función de utilidad esperada depende de todos los
momentos, cabe preguntarse ¿cuándo se puede aplicar el enfoque con sólo la media y la varianza?,
la respuesta a esa pregunta son las siguientes:
I.1. Función de utilidad cuadrática:
U (c ) = K 0 + K 1 c +
K2 2
c ...(2)
2
Para garantizar que la función sea cóncava (aversión al riesgo) y que se garantice que es preferible
para los individuos loterías con mayor medio y/o menor varianza, hacemos los siguientes supuestos:
K2 < 0
K1 + K 2 c > 0
Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1), tenemos:
K
K


U e =  K 0 + K1 µ + 2 µ 2 + 2 δ 2 + 0 + 0 + ...
2
2


Ordenando la ecuación anterior, tenemos:
U e = K 0 + K1 µ +
K2 2
(µ + δ 2 )
2
Como resultado tenemos una utilidad esperada que sólo depende de la media y la varianza, tal
como era deseable al principio. Nótese que a medida que la media aumenta la función de utilidad
esperada también aumenta, pero disminuye a medida que se incrementa la varianza.
I.2. Función de distribución normal y U(c) =-e-ac
Por definición sabemos:
c
U = ∫ U (c~ ) f (c~ ) dc~
e
c
Reemplazando las condiciones en la utilidad esperada:
 − ( c~ −u2 )
~  e 2δ
U e = ∫ − e − ac 
c
 δ 2π

2
c

 ~
 dc


Reordenando algunos términos de la ecuación anterior, tenemos:
c
1
U = −∫
e
c δ 2π
− ac~ 2δ 2
e
2δ
2
e
−
2
c~ 2 − 2 c~µ + u
2δ 2
dc~
Sumando los exponentes de e, nos queda:
c
U = −∫
e
c
1
δ 2π
e
[
−1 ~ 2
c − 2 µc~ + µ 2 + 2 ac~δ 2
2δ 2
] ~
dc
Suma y restando componente para completar la suma al cuadrado, tenemos:
c
U = −∫
1
e
c
δ 2π
e
[
−1 ~ 2 ~
c − 2 c ( µ − aδ 2 ) + µ 2 − 2 aµδ 2 + a 2δ 4 + 2 aµδ 2 − a 2δ 4
2δ 2
] ~
dc
Agrupando términos:
[( c~ −( µ −aδ 2 ))2 +2 aµδ 2 −a 2δ 4 ] ~
1
2
U = −∫
e 2δ
dc
c δ 2π
−1
c
e
Reordenando componentes en la ecuación anterior, nos queda:
[( c~−( µ −aδ 2 ))2 ] 2δ 2 [2 aµδ 2 −a2δ 4 ] ~
1
2
U = −∫
e 2δ
e
dc
c δ 2π
−1
c
−1
e
−1
Extrayendo e 2δ
2
[2 aµδ
2
− a 2δ 4
]
de la integral por ser una expresión que depende de c, nos queda:
−1
U = −e
e
2δ 2
[2 aµδ
2
− a 2δ 4
]c
[( c~ −( µ −aδ 2 ))2 ] ~
1
2δ 2
e
dc
∫c δ 2π
−1
Reordenando algunas expresiones, tenemos:
U = −e
e

a2 
− aµ − δ 2  c
2


∫
c
−1
c
Donde:
∫
c
e 2δ
2
[( c~ −( µ −aδ
δ 2π
2
)) 2
e
[
−1 ~
( c −( µ − aδ 2 ))2
2δ 2
δ 2π
]
dc~
]
dc~ = 1 .
Porque es una distribución normal con media µ − aδ 2 y varianza δ 2 . Ahora la utilidad esperada
sólo queda en función a la media y varianza, tal como era deseable al principio:
U e = −e

a2 
− aµ − δ 2 
2


= U e (µ , δ 2 )
Nótese, al igual que en caso anterior, que a medida que la media aumenta la función de utilidad
esperada también aumenta, pero disminuye a medida que se incrementa la varianza.
I. Extensiones
Algunas veces la media y la varianza no nos ayuda a elegir una lotería frente a otra, ante eso es
necesario calcular momentos mayores.
El tercer momento estadístico es conocido como Sesgo y viene dado por:
3
N
Si =
∑ π i ⋅ (ci − µi )
i =1
σ3
En el caso de una distribución normal, el sesgo es 0. Si el sesgo fuese positivo, indicará que los
pagos se acumulan hacia la cola izquierda de la distribución, mientras que si el sesgo es negativo,
los pagos se acumularían hacia la cola derecha, tales como se muestran en las siguientes figuras:
Figura N° 1
SESGO POSITIVO
SESGO NEGATIVO
El consumidor preferirá un sesgo negativo, pues los pagos se acumulas en la parte positiva de la
recta. Finalmente, conviene señalar que para algunas decisiones, el cuarto momento estadístico llamado curtosis- puede ser también relevante. El coeficiente de curtosis viene dado por:
4
N
γi =
∑ π i ⋅ (ci − µi )
i =1
σ4
−3
El coeficiente de curtosis mide cuan 'puntiaguda' es una distribución respecto de una distribución
normal cuyo coeficiente de curtosis es 0.
De este modo, un índice de curtosis positivo indica una distribución puntiaguda con poca
acumulación de probabilidades en las colas (distribución leptocúrtica), mientras que un coeficiente
de curtosis negativo corresponde a una distribución con poca a ac
acumulación
umulación de probabilidades
alrededor de la media (distribución platicúrtica). Desde el punto de vista de un individuo adverso al
riesgo, este preferirá una distribución leptocúrtica.
Las siguientes figuras muestran gráficamente los tres tipos de curvas ddee acuerdo a la definición
anterior:
Figura N° 7
LEPTOCÚRTICA
PLATICURTICÚRTICA
MESOCÚRTICA
Una curva Mesocúrtica tiene un Coeficiente de Curtosis cercano a cero. Una Leptocúrtica, un valor
notoriamente mayor que cero y una Platicúrtica valores menores que cero.