W = F dr [1] - Ludifisica - Universidad Nacional de Colombia

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN
FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA
FÍSICA MECÁNICA
MÓDULO # 17: DINÁMICA DE LA PARTÍCULA –TRABAJO Y ENERGÍA (I)Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.
Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín
1





Temas
Introducción
Trabajo
Potencia
Máquinas simples
Energía cinética: principio del trabajo y la energía
Introducción
Para el estudio de la dinámica de un cuerpo, la física emplea fundamentalmente tres metodologías:



La segunda ley de Newton: a través de la relación fuerza y aceleración.
El principio del trabajo y la energía: a través de la relación fuerza, velocidad y posición (no es
necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-posición.
El principio del impulso y la cantidad de movimiento: a través de la relación fuerza, velocidad y
tiempo (no es necesario determinar la aceleración). Se fundamenta en la integral fuerza-tiempo.
Hasta esta parte del curso se ha empleado el primer método. En este módulo se empleará el segundo
método. El tercer método se tratará en otro módulo posterior (módulo # 19).
Trabajo
Considerar una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria desde la posición A hasta la posición B.
Sea F una fuerza que actúa sobre la partícula (no necesariamente la fuerza resultante o total, sino una de
las fuerzas que actúa sobre ella). En una posición general,  es el ángulo entre los vectores F , fuerza, y
V,
velocidad de la partícula, Figura 1. Sea s la longitud de arco medida a través de la curva desde A hasta la
posición general.
El trabajo hecho por una fuerza F, que actúa sobre una partícula, a lo largo de una trayectoria, entre las
posiciones A y B, se define como,
B
WA B =  F dr
F
[1]
A
Esta expresión se conoce con el nombre de integral del trabajo.
2
Figura 1
Como
dr = ds y F cosφ = FT corresponde a la componente tangencial de la fuerza, la integral de trabajo
se puede escribir como sigue,
B
B
A
A
WA B =  F dr =  F ds cosφ =
F
B
B
A
A
  F cosφ  ds =  F
T
ds
B
WAF B =  FT ds
[2]
A
De la definición de trabajo se obtienen las siguientes conclusiones:

El trabajo es una magnitud ESCALAR.

La unidad de trabajo en el SI es N.m que recibe el nombre de Joule (J).

Las fuerzas ortogonales al desplazamiento no realizan trabajo.

El trabajo realizado por una fuerza puede ser positivo, negativo o cero.

El área bajo la curva
FT vs s es el trabajo realizado por la fuerza F , Figura 2.
Figura 2
Trabajo realizado por una fuerza constante
En la Figura 3 se ilustra un estudiante halando con una cuerda un bloque para desplazarlo desde una
posición A hasta una posición B. La fuerza que ejerce es F, su magnitud es constante y su dirección siempre
forma un ángulo  con la horizontal. Como se observa adicionalmente actúan otras fuerzas sobre el bloque:
la fricción f la fuerza de gravedad P y la normal N. En la figura también se ilustra el sistema de
coordenadas elegido y el diagrama de fuerzas sobre el bloque. El marco de referencia elegido es el piso, y
es inercial.
Figura 3
Se desea calcular el trabajo realizado sólo por la fuerza F para desplazar el bloque desde la posición A
hasta la posición B. Para esto se aplica la integral de trabajo, ecuación [1],
B
WA B =  F dr
F
A
 F
B
F
WA B =
x
ˆi + F ˆj
y
  dx ˆi + dy ˆj
A
B
WA B =  Fx dx
F
A
B
WA B = Fx  dx
F
A
WAF B = Fx  x B -x A 
WAF B = Fx d
[3a]
o equivalente
WAF B = F d cosφ
[3b]
3
Es decir, para calcular el trabajo realizado por una fuerza constante, simplemente se multiplica el valor de
la magnitud de la componente de la fuerza en dirección tangencial (o sea en la dirección del movimiento)
por la distancia que se mueve su punto de aplicación. La interpretación gráfica se ilustra en la Figura 4.
4
Figura 4
Ejemplo 1
El bloque de la Figura 3 se desplaza con velocidad constante. Si el coeficiente de rozamiento cinético entre
las superficies en contacto es 0,200, la masa del bloque es 10,0 kg y el ángulo  es 30o, calcular el trabajo
realizado por cada fuerza para desplazar el bloque 5,00 m y el trabajo total.
Solución:
Primero se calculará el valor de la fuerza F. Para esto se aplicará la primera ley de Newton.
  Fx = 0  Fcosφ - f = 0
[1]
  Fy = 0  Fsenφ + N - mg = 0
[2]
Adicionalmente,
f = μk N
[3]
Reemplazando los valores correspondientes en las ecuaciones [1], [2] y [3] se obtiene,
F = 20,3 N
N = 87,8 N
f = 17,6 N
P = 98,0 N
A continuación se calcula el trabajo realizado por cada una de estas cuatro fuerzas:

El trabajo realizado por el peso y la normal es nulo, ya que son perpendiculares al desplazamiento.

El trabajo realizado por la fuerza de fricción,
Wf = - f d = - 17,6 N × 5,00 m = - 88,0 J
El signo menos se debe a que la fuerza se opone al desplazamiento: esto se deduce al aplicar la fórmula
completa de trabajo de una fuerza constante: W = f d cos180 = - fd .
f

o
El trabajo realizado por la fuerza F es:
5
WF = Fx d = F d cosφ
WF = 20,3 N × 5,00 m × cos 30o = 87,9 J

El trabajo total es
WTotal = WP + W N + Wf + WF = - 88,0 J + 87,9 J  0 J
Cuando el cuerpo se mueve con velocidad constante desde un marco de referencia inercial el trabajo
total debe dar cero: esto se mostrará más adelante.
Trabajo realizado por una fuerza variable
Una fuerza variable de mucha aplicación es la ejercida por un resorte, Figura 5. Para realizar bien este
análisis se ilustra también en la figura, el eje coordenado elegido y el diagrama de fuerzas: N es la fuerza
normal, P es el peso del bloque, f la fuerza de rozamiento, Fr la fuerza que ejerce el resorte sobre el
bloque y Fs la fuerza que ejerce él sobre el bloque. La idea es calcular el trabajo realizado por la fuerza del
resorte para desplazar el bloque desde la posición A hasta la posición B.
Figura 5
La fuerza Fr obedece la ley de Hooke y por lo tanto se cumple que,
Fr = kx
Fr = - kx ˆi
En donde k corresponde a la constante de rigidez del resorte. Por lo tqnto su trabajo es,
6
  - kx ˆi   dx ˆi 
xB
W Fr =
xA
xB
W = -  kx dx
Fr
xA
W Fr =
1 2 1 2
kx A - kx B
2
2
[4]
En la Figura 6 se ilustra la interpretación gráfica de este resultado (se ilustra en valor absoluto, es decir
Fr = kx ).
Figura 6
Ejemplo 2
Una partícula se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza
Fx que varía con la posición tal como se
ilustra en la Figura 7. Determinar el trabajo realizado por la fuerza para desplazar la partícula desde
x  0 m hasta x  12 m .
7
Figura 7
Solución:
El trabajo corresponde al área bajo la curva Fx vs x. Por lo tanto,
1
1
8,5 m  6 N  -  3,5 m  2 N  = 22 J
2
2
W Fx =
Potencia
La potencia desarrollada por una fuerza se define como el trabajo realizado por esta en la unidad de
tiempo,
P=
dW
dt
[5a]
También se puede escribir así,
P=
F dr
F V
dt
[5b]
La potencia media, es el cociente entre el trabajo realizado por la fuerza y el tiempo empleado en
realizarlo,
P=
W
t
[6]
La unidad de potencia en el SI es J.s-1=W, denominada Watt (traducida como Vatio, aunque esto no es
permitido). Otras unidades de potencia muy utilizadas son:

Caballo Fuerza (Horse Power, HP), 1 HP= 745,7 W.

Caballo Vapor (CV), 1CV= 735,5 W.

Ergio/s= 10-7 W.

Kiligrametro (kgm)/s=9,80 W.
Ejemplo 3
Si en el ejemplo 1 el desplazamiento de los 5,00 m se realizó en 2,0 s calcular la potencia desarrollada por
F.
8
Solución:
P=
87,9 J
= 43,95 W
2s
Máquinas simples
Nota: en esta sección se empelará la misma nomenclatura que se empleó en el módulo 9 sobre máquinas
simples. Para comprender lo tratado aquí se debe repasar ese módulo.
En el módulo 9 se trataron las máquinas simples desde el punto de vista de la ley de inercia. En este
módulo se tratarán desde el punto de vista del trabajo y la potencia. Para calcular la ventaja mecánica ideal
se despreciarán las fuerzas de rozamiento en cuyo caso se puede concluir que:
La potencia desarrollada a la entrada de la máquina es igual a la potencia desarrollada a la salida de
la máquina.
Ya que la fuerza de entrada F y la fuerza de salida Q actúan en el mismo intervalo de tiempo, se puede
decir también que,
El trabajo realizado
por la fuerza de entrada F de la máquina es igual al trabajo realizado por la
fuerza de salida Q de la máquina.
Estos conceptos llevan a concluir que si la máquina “aumenta la magnitud de la fuerza (o mejor, Q>F), debe
disminuir su desplazamiento en la misma proporción”: por ejemplo si Q=2F, para que Q desplace un cuerpo
en una cantidad x, F se debe desplazar una cantidad 2x; "si se gana en magnitud de fuerza, se pierde en la
misma proporción en magnitud del desplazamiento".
Ejemplo 1
Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polea fija) de la Figura 8.
Solución:
Como la longitud de la cuerda es constante se tiene que,
yQ + yF = constante
Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que,
9
Figura 8
ΔyF = - ΔyQ
(1)
Como idealmente,
WF = WQ
Entonces,
 F ΔyF  =  Q   ΔyQ 
(2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
Q=F
Ahora la ventaja mecánica ideal se define como,
VMI =
Q
F
y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea fija) es,
VMI = 1
Ejemplo 2
Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polea móvil) de la Figura 9.
10
Figura 9
Solución:
Como la longitud de las cuerdas son constantes se tiene que,
yP +  yp - yF  = constante
yQ - yP = constante
Combinando estas dos ecuaciones,
2yQ - yF = constante
Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que,
2 ΔyQ = ΔyF
Como idealmente,
WF = WQ
(1)
Entonces,
 F ΔyF  =  Q   ΔyQ 
(2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
Q=2F
11
Ahora la ventaja mecánica ideal se define como,
VMI =
Q
F
y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea móvil) es,
VMI = 2
Ejemplo 3
Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (polipasto) de la Figura 10.
Figura 10
Solución:
Como la longitud de las cuerdas son constantes se tiene que,
yP +  yp + yF  = constante
yQ - yP = constante
Combinando estas dos ecuaciones,
2yQ + yF = constante
Por lo tanto sus desplazamientos cumplen que,
12
2 ΔyQ = - ΔyF
(1)
Como idealmente,
WF = WQ
Entonces,
 F ΔyF  =  Q   ΔyQ 
(2)
Combinando las ecuaciones (1) y (2) se obtiene,
Q=2F
Ahora la ventaja mecánica ideal se define como,
VMI =
Q
F
y por lo tanto la ventaja mecánica ideal de esta máquina simple (polea móvil) es,
VMI = 2
Ejemplo 4
Hallar la ventaja mecánica ideal de la máquina simple (plano inclinado) de la Figura 11.
Figura 11
Solución:
Si la fuerza F desplaza su punto de aplicación Δx , la fuerza Q lo desplaza
 Δx  senφ y por lo tanto,
WF = WQ
 F Δx 
VMI =
=  Q   Δx  senβ 
13
Q
1
L
=
=
F
senβ
H
Energía cinética: principio del trabajo y la energía
Supóngase que la fuerza de la Figura 1 es el resultado de la suma de TODAS las fuerzas que actúan sobre
la partícula. En este caso se aplica la segunda ley de Newton,
F = ma
Por lo tanto el trabajo total de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a,
B
B
B
A
A
A
W Total =  F dr   Ftangencialds =  m
W Total =
B
B
dV
ds
ds =  m dV   mVdV
dt
dt
A
A
1
1
mVB2 - mVA2
2
2
Se define como energía cinética de una partícula a,
K=
1
mV 2
2
y por lo tanto,
WTotal = K B - K A
[7a]
WTotal = K
[7b]
Es decir, dado un marco de referencia inercial el trabajo realizado por la fuerza total o resultante
de las fuerzas que actúan sobre una partícula (o sea el trabajo total), es igual al cambio en su
energía cinética.
Ejemplo 5
En el ejemplo 1 la partícula se mueve con velocidad constante, por lo tanto su energía cinética inicial y su
energía cinética final son iguales y como consecuencia el trabajo total es NULO.
Taller
Trabajo y potencia
1.
Un bloque de 2,50 kg de masa es empujado 2,20 m a lo largo de una mesa horizontal sin fricción por una
fuerza constante de 16,0 N dirigida 25,00 debajo de la horizontal, Figura 1. Encontrar el trabajo
efectuado por: (a) la fuerza aplicada, (b) la fuerza normal ejercida por la mesa, (c) la fuerza de
gravedad, y (d) la fuerza neta sobre el bloque (es decir el trabajo total).
Rp: (a) 31,9 J (b) 0 (c) 0 (d) 31,9 J
Figura 1
2. Calcular el trabajo realizado por un hombre que arrastra un cuerpo de 65,0 kg por 10,0 m a lo largo del
piso con una fuerza de 25,0 kgf y que luego lo levanta con velocidad constante hasta un camión cuya
plataforma está a 75,0 cm de altura. ¿Cuál es la potencia promedio desarrollada por el hombre si el
proceso entero tomó 2 minutos?
Rp: 2 927 J; 24,4 W.
3. Una partícula se mueve en línea recta bajo la acción de una fuerza
Fx que varía con la posición tal como
se ilustra en la Figura 2. Determinar el trabajo realizado por la fuerza para desplazar la partícula
desde x  0 m hasta x  15 m . Si este trabajo fue realizado en 2,0 s, cuál es la potencia promedio
desarrollada.
Rp: 30 J; 15 W.
Figura 2
14
Máquinas Simples
4. Demostrar por el método de energía que la ventaja mecánica ideal de la máquina simple de la Figura 3
es 4.
15
Figura 3
5. Demostrar por el método de energía que la ventaja mecánica ideal de la máquina simple de la Figura 5
es 3.
Figura 5