Tema 1: Probabilidad Experimento aleatorio: es aquel cuyo

Tema 1: Probabilidad
Experimento aleatorio: es aquel cuyo resultado depende del azar, no se puede predecir de antemano.
Ej: Tirar un dado, sacar una bola de un bingo, sacar una carta de una baraja.
Espacio muestral (E): es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
Ej: E=
, E=
, E=
.
Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Ej: Si el experimento es tirar un dado y ver qué número sale, algunos sucesos serían:
que salga un número par → A=
,
que salga un nº inferior a dos → B=
que salga un nº primo → C=
,
que salga un nº inferior a siete → D=
,
,…
Distintos tipos de sucesos:
 Suceso seguro: es el suceso que ocurre siempre. Coincide con el espacio muestral.
Ej: Que salga un nº inferior a siete → D=
 Suceso imposible: es el suceso que no puede ocurrir, que no pertenece al espacio muestral.
Ej: Que salga un siete → F=
 Suceso contrario o complementario de A: Es todo suceso del espacio muestral que no pertenece a A.
Se representa por Ac . Entre A y Ac tenemos todo el espacio muestral sin repetir elementos.
Ej:
→
A=
Ac=
Definición de Probabilidad (Regla de Laplace): Si un suceso es equiprovable, entonces la probabilidad de un
suceso A es el cociente entre el número de casos favorables al suceso A y el número de casos posibles. Si
indicamos la probabilidad de A por P(A), entonces P(A) =
Ej:
A=
E=
P(A) =
ó 50% (en porcentaje)
Propiedades de la Probabilidad:

Para cualquier suceso A, la probabilidad del suceso A estará comprendida entre 0 y 1.

La probabilidad del suceso seguro es 1,

La probabilidad del suceso imposible es 0, P(

La probabilidad de P(Ac) = 1 – P(A)
Ej: A=
Ac=
P(A) =
P(E) = 1
=0
P(Ac) =
P(Ac) = 1 - P(A) = 1-
Operaciones con sucesos:

Sea el experimento tirar un dado.
El espacio muestral es:
E=
Sea A el suceso sacar un número par.
El subconjunto A es:
A=
La probabilidad de que se dé el suceso A es: P(A) =
Sea B el suceso sacar un número menor que 3
El subconjunto B es:
B=
La probabilidad de que se dé el suceso B es:

P(B) =
Sucesos contrarios:
Ac es el suceso sacar un número impar
El subconjunto Ac es:
Ac=
La probabilidad de que se dé el suceso Ac es:
P(Ac) =
P(Ac) =1 - P(A) =
ó
Bc es el suceso sacar un nº mayor o igual que 3
El subconjunto Bc es:
Bc=
La probabilidad de que se dé el suceso Bc es:
P(Bc) =

ó
P(Bc) =1 - P(B) =
Intersección de sucesos: La palabra clave en la intersección es “y”.
A B: todos los elementos que pertenecen a A y a B a la vez.
También veremos: los elementos que pertenecen a “ambos”.
El subconjunto A B es:
A B=
La probabilidad de que se dé el suceso A B es:
P(A B)=
A Bc: todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.
También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a A ó “solamente” a A.
El subconjunto A Bc es:
A Bc =
La probabilidad de que se dé el suceso A Bc es:
P(A Bc)=
Una de las fórmulas para hallar P(A Bc) es: P(A Bc)=P(A) - P(A B)= 0,5 – 0,167 = 0,333
Ac B: todos los elementos que pertenecen a B y no pertenecen a A.
También veremos: los elementos que “sólo” pertenecen a B ó “solamente” a B.
El subconjunto Ac B es:
Ac B =
La probabilidad de que se dé el suceso Ac B es:
P(A Bc)=
Una de las fórmulas para hallar P(Ac B) es: P(Ac B)=P(B) - P(A B) = 0,333 – 0,167 = 0,167
 La probabilidad de que se dé “solamente a uno de los dos” es: P(A Bc) + P(Ac B)
Ac Bc: todos los elementos que no pertenecen a A y no pertenecen a B.
También veremos: los elementos que no pertenecen “ni a uno ni a otro” ó a “ninguno”
El subconjunto Ac Bc es:
Ac Bc =
La probabilidad de que se dé el suceso Ac Bc es:
P(Ac Bc)=
Una de las fórmulas para hallar P(Ac Bc) es:
P(Ac Bc)

Unión de sucesos: La palabra clave en la intersección es “o”.
A B: todos los elementos que pertenecen a A o a B
A B=
P(A B)=
También se usa la expresión: los elementos que pertenezcan a “alguno” (al menos uno) de los
dos.
Algunas de las fórmulas para hallarla es:
P(A B)=P(A) + P(B) - P(A B)= 0,5 + 0,333 - 0,167= 0,667
P(A B)=
=
P(A B)=
=
= 0,667
= 0,667
Fórmulas de otras uniones:
P(A
)=P(A) + P(
) - P(A
)
P(

P(
)=P( ) + P(
) - P(
B)=P( ) + P(B) - P(
)
Leyes de Morgan:
o El contrario de la Unión:
o El contrario de la Intersección:
(A B)c = Ac Bc
→
P(A B)c = P(Ac Bc)
(A B)c = Ac Bc
→
P(A B)c = P(Ac Bc)
(Ac B)c = A Bc
→
P(Ac B)c = P(A Bc)
(Ac B)c = A Bc
→
P(Ac B)c = P(A Bc)
(A Bc)c = Ac B
→
P(A
Bc)c = P(Ac B)
(A Bc)c = Ac B
→
P(A
(Ac Bc)c = A B
→
P(Ac
Bc)c = P(A B)
(Ac Bc)c = A B
→
P(Ac
Sucesos Compatibles y Sucesos Incompatibles:

Sucesos Compatibles: Si tienen elementos en común: C D Ø
Ej: A=

B)
B=
A B=
Sucesos Incompatibles: Si no tienen elementos en común: A B= Ø
Ej: C=
D=
C D=

Si dos sucesos son Compatibles → P(A B)≠0 → P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Si dos sucesos son Incompatibles → P(A B)=0 → P(A B) = P(A) + P(B)
Bc)c = P(Ac B)
Bc)c = P(A B)
Sucesos Dependientes y Sucesos Independientes:
Hay experimentos que suceden en dos etapas:
Tirar un dado dos veces, sacar dos cartas consecutivamente de una baraja, sacar dos bolas consecutivamente de
una bolsa de bolas, que llevando paraguas llueva, que cuando suene una alarma haya un robo, que sabiendo que
un médico es pediatra que sea mujer, …

Dos sucesos son Dependientes cuando el primer suceso influye en el siguiente.

Dos sucesos son Independientes cuando el primer suceso no influye en el siguiente.

Probabilidad Condicionada: Se llama probabilidad de A condicionada a B y se representa por P(A/B) a
la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B.
La fórmula para hallar esta probabilidad es: P(A/B)
o En los sucesos dependientes P(A/B)
o En los sucesos independientes P(A/B)
Intersección de Sucesos Dependientes y de Sucesos Independientes:
Despejando en la fórmula anterior tenemos: P(A
P(A/B)·P(B)
Pero si los sucesos son independientes la fórmula se convierte en: P(A

Sucesos dependientes: P(A/B)

Sucesos independientes: P(A/B)
→ P(A
→
P(A)·P(B)
P(A/B) ·P(B)
P(A
P(A)·P(B)
Tabla de contingencia o tabla de doble entrada
En algunos problemas de probabilidad nos ayudaremos de esta tabla para solucionarlos:
A
c
B
Bc
P(A∩B)
P(A∩ Bc)
c
c
Total
c
P(A)
A
P(A ∩B)
P(A ∩ B )
P(Ac)
Total
P(B)
P(Bc)
1
Árbol
En algunos problemas de probabilidad nos ayudaremos de un árbol para solucionarlos: