10 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

10 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
10.1. Forma normal de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de
primer orden o sistema lineal

dx1


= a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + . . . + a1n (t)xn + f1 (t)


dt





dx2
= a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + . . . + a2n (t)xn + f2 (t)

dt



...




 dxn = an1 (t)x1 + an2 (t)x2 + . . . + ann (t)xn + fn (t)
dt
aij (t), fi (t), i, j = 1, 2, . . . , n son continuas en un intervalo I
Si fi (t) = 0, i = 1, 2, . . . , n es un sistema lineal homogéneo
Si algún fi (t) 6= 0 es un sistema lineal no homogéneo
10.2. Forma matricial de un sistema lineal



X=

x1
x2
..
.






 , A(t) = 


xn
a11 (t)
a21 (t)
..
.
an1 (t)

f1
 f2

B(t) =  .
 ..
a12 (t)
a22 (t)
...
...
an2 (t) . . .

a1n (t)
a2n (t)
..
.



,

ann (t)




fn
Sistema no homogéneo en forma matricial: X 0 = AX + B
Sistema homogéneo en forma matricial: X 0 = AX


x
Ejemplo: Si X =  y , el sistema
z

dx


= 6x + y + z + t


dt





dy
= 8x + 7y − z + 10t

dt







 dz = 2x + 9y − z + 6t
dt
es




6 1
1
t
X 0 =  8 7 −1  X +  10t 
2 9 −1
6t
2
Solución del sistema lineal



Un vector solución en un intervalo I es X = 

x1 (t)
x2 (t)
..
.



 cuyas componentes satisfacen el

xn (t)
sistema
Un vector solución se compone de n funciones x1 (t) = φ1 (t), x2 (t) = φ2 (t),. . . ,xn (t) =
φn (t) que son las ecuaciones paramétricas de una curva en el espacio
Si n = 2, la curva es la trayectoria y el plano donde se representa es el plano fase
10.3. Problema de valor inicial
Resolver X 0 = A(t)X + B(t), X(t0 ) = X0 , donde




x1 (t0 )
γ1
 x2 (t0 ) 
 γ2 




X(t0 ) = 
 y X0 =  ..  cuyas componentes γ1 , γ2 , . . . , γn son constantes dadas
..



.
. 
xn (t0 )
γn
Teorema: Si las funciones componentes de A(t) y F (t) son continuas en un intervalo I que
contiene a t0 , existe una solución única del problema de valor inicial en el intervalo
10.4. Sistemas lineales homogéneos
Principio de superposición: Si X1 , X2 , . . . , Xk son soluciones de un sistema lineal
homogéneo, entonces
X = c1 X1 + c2 X2 + . . . + ck Xk
donde c1 , c2 , . . . , ck son constantes arbitrarias, es solución del sistema también
Si X1 , X2 , . . . , Xk son soluciones de un sistema lineal homogéneo, se dice que son linealmente dependientes si existen c1 , c2 , . . . , ck no todas cero, tales que
c1 X1 + c2 X2 + . . . + ck Xk = 0
para todo t del intervalo
Si el conjunto no es linealmente dependiente, es linealmente independiente
10.5. Criterio para las soluciones linealmente independientes: Wronskiano



Sean X1 = 

x11 (t)
x21 (t)
..
.
xn1 (t)






 , X2 = 


x12 (t)
x22 (t)
..
.
xn2 (t)






 , . . . , Xn = 


x1n (t)
x2n (t)
..
.





xnn (t)
n soluciones del sistema homogéneo en un intervalo I , entonces, el conjunto solución es linealmente independiente en I si y sólo si el Wronskiano
¯
¯
¯ x11 x12 . . . x1n ¯
¯
¯
¯ x21 x22 . . . x2n ¯
¯
¯ 6= 0
W (X1 , X2 , . . . , Xn ) = ¯
¯
¯ ...
¯
¯ xn1 xn2 . . . xnn ¯
3
para todo t en el intervalo
10.6. Conjunto fundamental de soluciones de un sistema lineal homogéneo
Todo conjunto {X1 , X2 , . . . , Xn } de n vectores solución linealmente independientes de
un sistema lineal homogéneo en un intervalo I es un conjunto fundamental de soluciones
del intervalo
Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones para el sistema homogéneo en un
intervalo I
Si {X1 , X2 , . . . , Xn } es un conjunto fundamental de soluciones del sistema lineal homogéneo en un intervalo I , entonces, la solución general del sistema en el intervalo
es
X = c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn
donde c1 , c2 , . . . , cn son constantes arbitrarias
10.7. Matriz fundamental asociada a un sistema diferencial lineal
homogéneo
Si {X1 (t), X2 (t), . . . , Xn (t)} es un conjunto fundamental de soluciones del sistema X 0 = AX ,
entonces la matriz
F (t) = (X1 (t)X2 (t) . . . Xn (t))
se dice que es una matriz fundamental de soluciones del sistema homogéneo
Observaciones:
|F (t)| 6= 0, tiene inversa
Si F (t) es un matriz fundamental del sistema homogéneo X 0 = AX
general
 , la solución

c1
 c2 


puede ser representada de la forma X(t) = F (t)C , donde C =  .  es un vector
 .. 
cn
columna con componentes constantes
10.8. Solución del sistema no homogéneo
Sea Xp una solución del sistema no homogéneo en un intervalo I y
Xc = c1 X1 + c2 X2 + . . . + cn Xn
la solución general del sistema homogéneo asociado, entonces,
X = Xc + Xp
es la solución general del sistema no homogéneo en el intervalo y la solución Xc se llama
solución complementaria del sistema homogéneo
µ
Ejemplo: Sea el sistema no homogéneo X 0 =
µ
1
5
3
3
¶
¶
µ
X+
12t − 11
−3
¶
1 3
X tiene como solución general
5 3
µ
¶
µ ¶
1
3
Xc = c1
e−2t + c2
e6t :
−1
5
El sistema homogéneo asociado X 0 =
4
µ
• X1 =
1
−1
¶
µ
e−2t y X2 =
3
5
¶
e6t son soluciones y
¯
¯
• Son linealmente independientes, pues W (X1 , X2 ) = ¯¯
e−2t
−e−2t
¯
3e6t ¯¯
= 8e4t 6= 0
5e6t ¯
µ
¶
µ ¶
1
3
−2t
De la misma forma, X1 =
e
y X2 =
e6t forman un conjunto fundamental
−1
5
de soluciones, por tanto, una matriz fundamental será
¶
µ
e−2t 3e6t
F (t) =
−e−2t 5e6t
y la solución general del sistema homogéneo será
µ
e−2t
X(t) = F (t)C =
−e−2t
µ
Xp =
3t − 4
−5t + 6
3e6t
5e6t
¶µ
c1
c2
¶
¶
es solución particular del no homogéneo
La solución general del sistema es
µ
¶
µ ¶
µ
¶
1
3
3t − 4
X = Xc + Xp = c1
e−2t + c2
e6t +
−1
5
−5t + 6
5
Ejercicios del capítulo
1. En los siguientes ejercicios, escribe el sistema en forma matricial:
a)
 0
 x =x−y+z+t−1
y 0 = 2x + y − z − 3t2
 0
z = x + y + z + t2 − t + 2
½
b)
x0 = −3x + 4y + e−t sen 2t
y 0 = 5x + 9y + 4e−t cos 2t
2. En los siguientes ejercicios, expresa el sistema dado sin usar matrices:
a)
b)

7
X0 =  4
0
d
dt
µ
x
y
¶
µ
=
µ
3. Comprueba que X =
5
1
−2
3
1
−7
1
 

 
8
0
−9
1  X +  2  e5t −  0  e−2t .
3
3
1
¶µ
5 cos t
3 cos t − sen t
x
y
¶
µ
+
4
8
¶
µ
sen t +
t−4
2t + 1
¶
e4t .
¶
et es solución del sistema
dy
= −2x + 5y
dt
dy
= −2x + 4y.
dt
µ
¶
µ
¶
1
1
−2t
4. Determina si los vectores X1 =
e , X2 =
e−6t constituyen un conjunto
1
−1
fundamental de soluciones del sistema X 0 = AX si son soluciones de éste.
5. Demuestra que la solución general de
µ
¶
µ ¶
µ
¶
µ
¶
−1 −1
1
4
−1
X0 =
X+
t2 +
t+
−1 1
1
−6
5
en el intervalo (−∞, ∞) es:
µ
¶ √
µ
¶ √
µ ¶
µ
¶
µ ¶
1√
1√
1
−2
1
X = c1
e 2t + c2
e− 2t +
t2 +
t+
.
0
4
0
−1 − 2
−1 + 2
6. Sea

 
x01 (t)
a11
 x02 (t)  =  a21
x03 (t)
a31
a12
a22
a32


a13
x1 (t)
a23   x2 (t) 
a33
x3 (t)
donde aij son números reales para i, j = 1, 2, 3.


x1
a ) Demuestra que si X(t) =  x2  es solución del sistema, también lo son X 0 (t) y
x3
X 00 (t).
 2 
t
b ) Si X(t) =  2t  es solución del sistema, forma una matriz fundamental del
2
sistema.
6
c ) Escribe la solución general del sistema.


eat
d ) Calcula el valor de a para que X(t) =  0  sea también solución del sistema.
0
7