Series (Criterios de Convergencia).

Universidad Técnica Federico Santa Marı́a
Departamento de Matemática
Guı́a de Ejercicios Resueltos1
Series (Criterios de Convergencia)
MAT-022
1. Analice la convergencia de las siguientes series:
µ ¶
∞
∞
∞
X
X
X
2
n
a)
n sin
,
b)
,
c)
n2 e−n .
5
n
n +1
n=1
n=0
n=1
Solución:
(a) Diverge, pues
¡ ¢
µ ¶
sin n2
2
lim n sin
= 2 lim
= 2 6= 0.
2
n→∞
n→∞
n
n
∞
X
1
(b) Converge. Compare con
. Alternativamente se puede usar el cri4
n
n=1
1
terio de comparación al lı́mite con la sucesión bn = 4 .
n
(c) Converge. Aplique el criterio del cuociente:
(n + 1)2 e−(n+1)
1
= .
2
−n
n→∞
ne
e
lim
2. Estudie la convergencia de las siguientes series
√
∞
∞
∞
X
X
X
n
n2 e−2n
−n−(−1)n
a)
2
,
b)
,
c)
n+1
n2 + 1
n=1
n=1
n=1
Solución:
(a) Aplicar el criterio de la raı́z,
lim a1/n
=
n
n→∞
=
1
¡
n¢
lim 2−n−(−1) n
n→∞
lim 2−1 2
(−1)n+1
n
n→∞
(−1)n+1
n
= 2−1 2 n→∞
1
= 2−1 20 = < 1
2
lim
Nótese que lim
n→∞
acotamiento.
1
(0.1)
(0.2)
(0.3)
(0.4)
(−1)n+1
= 0, el cual se deduce utilizando el teorema de
n
Printed in LATEX. EOP/eop. 21st August 2006
1
(b) Para todo n ≥ 1,
√
√
n ≥ 1. Luego
∞
X
n
1
≥
. Ahora, dado que
n+1
n+1
1
es divergente, se tiene que la serie en cuestión también es din+1
n=1
vergente.
(c) Utilice criterio de comparación al lı́mite. En efecto, sea an = e−2n , entonces la siguiente es una serie geométrica convergente
∞
X
an =
n=1
∞
X
¡
e−2
¢n
=
n=1
e2
1
.
−1
n2
bn
n2
a
,
entonces,
lim
=
lim
= 1 luego, por
n
n→∞ an
n→∞ 1 + n2
1 + n2
∞
X
n2 e−2n
comparación al lı́mite la serie
converge.
n2 + 1
n=1
Defı́nase bn =
3. Calcular la suma de las siguientes series:
µ
¶n
∞
∞
∞
X
X
X
x
1
1
n−1
1
a)
, b)
(para x < 2 ) , c)
k(k + 2)
n 1−x
n!
n=1
n=1
n=1
Solución:
(a) Es necesario reescribir convenientemente la serie para poder aplicar la
propiedad telescópica; a saber:
"∞ µ
¶
¶ X
¶#
∞
∞ µ
∞ µ
X
1
1
1X 1
1
1 X 1
1
1
=
−
=
−
+
−
.
k(k + 2)
2 k=1 k k + 2
2 k=1 k k + 1
k+1 k+2
n=1
k=1
Y, por propiedad telescópica, se tiene que
∞
X
n=1
1
1
=
k(k + 2)
2
µ
¶
1
3
1+
= .
2
4
µ
¶n
∞
X
1
x
(b) Definamos s(x) =
. Derivando esta función (supongamos
n
1
−
x
n=1
que se puede derivar término a término), se tiene:
∞
X
d
s(x) =
dx
n=1
µ
x
1−x
¶n−1
1
1
1
1
=
.
x =
2
2
(1 − x)
(1 − x) 1 − 1−x
(1 − x)(1 − 2x)
De donde se deduce que
¯
¯
¯ 1−x ¯
¯+C
s(x) = ln ¯¯
1 − 2x ¯
donde C es una constante a determinar. Claramente, a partir de la
definición se tiene que s(0) = 0, con lo cual se tiene que C = 0.
2
(c) Usando el hecho que
∞
X
1
=e
n!
n=0
se tiene:
∞
X
n−1
n=1
n!
=
∞
X
n=1
∞
∞
X 1
X 1
1
−
=
− (e − 1) = e − (e − 1) = 1
(n − 1)! n=1 n! n=0 n!
4. (a) Demuestre que para todo número real p, la serie
∞
X
epn
n=1
n!
converge.
¢ n2
∞ ¡
X
1 + 10
n
(b) Estudie la convergencia de la serie
.
n!
n=1
Solución:
a) En este problema usamos el criterio del cuociente con an =
an+1 =
e(n+1)p
. De este modo
(n + 1)!
enp
y
n!
an+1
ep
=
→ 0 si n → ∞.
an
n+1
En consecuencia, la serie
∞
X
epn
n=1
n!
converge para todo p real.
b) En este problema se utilizará el criterio de comparación. En efecto, es
bien conocido que
µ
¶n
10
1+
≤ e10 ,
n
por lo que el término n-ésimo de la serie en cuestión es acotado superiormente por
e10n
,
n!
y como esta sucesión genera una sucesión convergente (ver ejercicio anterior), entonces la serie estudiada converge.
5. Demuestre que la serie
2
3
1
+ + + · · · converge y calcule su valor.
2! 3! 4!
2
3
1
+ + + ···
Solución: Nótese que el término de la general de la serie
2! 3! 4!
k
es
. Para analizar convergencia se puede usar el criterio del cuociente,
(k + 1)!
an+1
n + 1 (n + 1)!
n+1
= lim
= lim
= 0 < 1.
n→∞ an
n→∞ (n + 1)!
n→∞ n(n + 2)
n
lim
3
an+1
< 1, se deduce que la serie converge.
n→∞ an
Dado que lim
Para hallar su valor, notemos que la suma parcial sn se puede reescribir como:
¸
n
n
n ·
X
X
k
k+1−1 X 1
1
sn =
=
=
−
(k
+
1)!
(k
+
1)!
k!
(k + 1)!
k=1
k=1
k=1
La última suma obtenida coresponde a una telescópica, luego
sn =
n
X
k=1
k
1
=1−
(k + 1)!
(n + 1)!
De donde se deduce que la serie converge y su valor es 1, pues lim sn = 1.
n→∞
6. Estudie la convergencia de la serie
∞
X
sin(n4 )
√
.
4+1
n
n=1
Solución: Para resolver este problema podemos utilizar el criterio de comparación. En efecto, nótese que
¯
¯
∞
¯X
4 ¯
sin(n
)
1
1
¯
¯
√
≤ 2.
≤√
¯
¯
¯ n=1 n4 + 1 ¯
n
n4 + 1
∞
X
1
Luego, dado a que la serie
converge, se concluye que la serie en cuestión
n2
n=1
también converge.
7. Para estudiar la convergencia de la serie
∞
X
n=2
1
(ln n)ln(ln n)
ln x
calcule primero lim √ , con esto justifique por qué para x grande xln
x→∞
x
y luego aplı́quelo al análisis de la serie.
Solución: Como
1/x
1
ln x
√ = 2 lim √ = 0,
lim √ = lim
x→∞
x→∞
x x→∞ 1/(2 x)
x
se deduce la existencia de M > 0 tal que
ln x
√ ≤ 1,
x
esto es
ln x ≤
√
x,
4
∀x > M
∀x > M
x
≤ ex
elevando al cuadrado (se escoge M > 1 para que ln x > 0)
(ln x)2 ≤ x,
∀x > M
pero
(ln x)2 = ln(xln x )
de modo que tomando exponencial a ambos lados de la desigualdad se obtiene
xln x ≤ ex ,
∀x > M.
De lo anterior, con x = ln n se obtiene
(ln n)ln(ln n) ≤ eln n = n,
esto es
1
1
≥ ,
ln(ln
n)
(ln n)
n
para ln n > M
para n > eM
de modo que por comparación la serie pedida diverge ya que la serie armónica
∞
X
1
n
n=1
diverge.
5