1. La masa de A es tres veces mayor que la de B, que es de 110 kg

SEMESTRE 2016-1
NOMBRE DEL ALUMNO:
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO
CINEMÁTICA Y DINÁMICA
10 DE DICIEMBRE DEL 2015
GRUPO: ______________
INSTRUCCIONES: Lea cuidadosamente los enunciados de los cuatro reactivos que componen el examen antes de
empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de dos horas.
1. La masa de A es tres veces mayor que la de B, que es
de 110 kg. Sabiendo que los cuerpos se mueven libremente
y que las poleas y la cuerda son ideales, determine las aceleraciones de A y de B y la tensión de la cuerda.
2. Una fuerza, cuya magnitud varía según la gráfica que
se muestra, actúa sobre una caja de 20 kg, la cual inicialmente se encuentra en reposo. Determine la rapidez de la caja
cuando t = 10 segundos. La superficie horizontal es lisa.
3. Un cuerpo de 20 kg de peso parte del reposo desde lo
alto de un plano inclinado. Determine la rapidez que tendrá
un instante antes de impactar el piso.
4. Los discos mostrados en la figura tienen un radio de
10 cm. Están unidos por medio de la barra AB de 26 cm de
longitud. En la posición mostrada, el disco A tiene una velocidad angular de 8 rad/s en sentido horario. Determine: a) La
velocidad del punto B. b) La velocidad angular del disco B.
1)
Para A
Cuerpo A y polea
Cuerpo B
4𝑇 − 𝑊𝐴 = 𝑚𝐴 𝑎𝐴
_____ (1)
Para B
𝑊𝐵 − 𝑇 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵
_____ (2)
La ecuación (1) puede escribirse como
4𝑇 − 3𝑊𝐵 = 𝑚𝐵 𝑎𝐵
Para obtener la relación cinemática entre 𝑎𝐴 y
𝑎𝐵 , deberá observarse que la longitud de la
cuerda que une B con C es
Para saber si A sube y B baja verifiquemos
las siguientes condiciones:
4𝑇 > 𝑊𝐴
𝑊𝐵 > 𝑇
y
3𝑊𝐵
4
Pero 𝑦𝐶 = 𝑦𝐴
Por lo que queda
Es decir
Como
𝑦𝐵 + 4𝑦𝐶 = 𝑙
𝑊𝐴
4
< 𝑇 < 𝑊𝐵
𝑊𝐴
4
< 𝑊𝐵
𝑊𝐴 = 3𝑊𝐵
< 𝑊𝐵
Sí cumple A sube y B baja
Entonces, al aplicar
∑ 𝐹 = 𝑚𝑎 a cada cuerpo
𝑦𝐵 + 4𝑦𝐶 = 𝑙
de donde se obtiene que
|𝑎𝐵 | = |4𝑎𝐴 |
______ (3)
Sustituyendo (3) en (2) y resolviendo el
sistema se obtiene
𝑎𝐵 = 2.07 m⁄ 2
s
m
𝑎𝐴 = 0.516 ⁄ 2
s
𝑇 = 252 N
2)
5 2
𝑡 = 𝑚𝑣2
3
Para 𝑡 = 3
𝑣2 = 0.75
De (3) A (7)
10
𝑡
3
De 0 a 3 s
𝐹=
De 3 a 7 s
𝐹 = 2𝑡 +
5
35
2
∑ 𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠𝑜𝑠 = 𝑚∆𝑣
𝑡
10
∫
𝑡𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣2 − 𝑣1 )
0 3
𝑡
5
35
∫ − 𝑡 + 𝑑𝑡 = 𝑚(𝑣3 − 𝑣2 )
2
2
3
5
35
165
− 𝑡2 + 𝑡 −
= 𝑚(𝑣3 − 0.75)
4
2
4
Para t=7
𝑣 = 1.75 m/s
𝑣2 = 𝑊ℎ = 20(3) = 60
3)
𝑇2 =
𝑊 𝑣22
𝑔 2
0 + 140 − 12 = 60 +
20 𝑣22
9.81 2
68
𝑣2 = √ (2)9.81 = 8.1675
20
Por Trabajo y Energía
𝑇1 + 𝑣1 + 𝑢13 = 𝑇3 + 𝑣3
ℎ1 = 7𝑚
𝑊ℎ1 = 20(7) = 140
3
𝑢13 = −𝜇𝑘 ( 𝑤) ∆𝑥 = −12𝑢12
5
𝑣1 = 0
𝑚𝑣12
2
𝑇3 =
20 0
= 9.81 2 = 0
𝑇1 + 𝑣1 + 𝑢12 = 𝑇2 + 𝑣2
𝑢12
3
= −𝜇𝑘 ( 𝑤) ∆𝑥
5
4)
Disco A:
̅̅̅
𝑣𝐴 = 80𝐢
Barra AB:
𝑣𝐵 = ̅̅̅
̅̅̅
𝑣𝐴 + ̅̅̅̅̅
𝜔𝐴𝐵 𝑥 ̅̅̅̅̅̅
𝑟𝐵⁄
𝐴
𝑣𝐵 𝐣 = 80𝐢 + 𝜔𝐴𝐵 𝐤 𝑥 (24𝐢 − 10𝐣)
𝑣𝐵 𝐣 = (80 + 10𝜔𝐴𝐵 )𝐢 + 24𝜔𝐴𝐵 𝐣
𝑣𝐵 = −192
𝜔𝐴𝐵 = −8
𝑣𝐵 = 192 cm⁄s ↓
Disco B:
𝜔𝐵 = 19.2
𝜔𝐵 = 19.2 rad⁄s
𝑣3 = 0
0 + 140 − 12 = 0 +
3
𝑢12 = −0.2(20) ( ) (5) = −12
5
10𝜔𝐵 = 192
𝑊 𝑣32
𝑔 2
↺
𝑣3 = 11.21 m/s
20 𝑣32
9.81 2