Todo es forma en las membranas - CICCP
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Todo es forma en las membranas Juan Murcia Vela DESCRIPTORES FORMA MEMBRANA PASARELA PRETENSADO TRACCIÓN EQUILIBRIO Introducción. Membranas y forma Las membranas, consideradas o no como estructuras, responden a la acepción general y habitual del término: son objetos que conforman una superficie en el espacio, con espesor mínimo. Dicho del modo más sencillo, las membranas son superficies materiales (los objetos físicos que más se aproximan a las superficies geométricas). De entrada aparece la forma. Lo dicho da ya una clave de la importancia de la forma en las membranas: las superficies geométricas solo tienen forma (hay membranas planas, claro; pero interesan más las que tienen curvatura). Como estructuras, las membranas trabajan únicamente mediante esfuerzos en direcciones tangentes a su superficie media, de compresión o tracción. En sentido estricto, solo son membranas las que trabajan a tracción. El mínimo espesor impide que tengan rigidez (a flexión) y sean comprimidas. Aquí se va a hablar de membranas en este sentido, membranas a tracción. Las estructuras más cercanas que admiten compresión son las láminas, superficies de espesor pequeño pero no mínimo, con cierta rigidez. En ellas hay flexiones y esfuerzos de membrana (pueden existir estados teóricos puros de membrana para cierta distribución de cargas, pero no para otras). Si las láminas se asocian a las membranas como estructuras superficiales (con rigidez), los cables lo hacen como estructuras a tracción (sin rigidez). Los cables solo tienen forma, como las membranas, pero en una dimensión (1D): son líneas materiales en el espacio. Paralelismos aparte, membranas y cables se emplean juntos con frecuencia en el mundo real (véase la figura 1). 60 I.T. N.º 81. 2008 Las membranas poseen gran ligereza y versatilidad de despliegue, con todo lo que ello supone. Destaca además el potencial plástico de estas esculturas sin volumen, jugando con las múltiples facetas de una superficie (formas, sombras, bordes, texturas, colores, etc.) para crear espacios fascinantes. Las membranas son abiertas (con bordes) o cerradas. Las abiertas requieren elementos externos que equilibren sus esfuerzos, cerrando el conjunto, o que los transmitan a su lugar de apoyo (terreno o lo que sea). Las cerradas aprovechan el efecto neumático: los esfuerzos se equilibran en la estructura con la presión interna de un fluido, quedando la membrana pretensada. Existen infinidad de membranas en la naturaleza. Pensemos, sin ir más lejos, en nuestra propia reproducción. En el mundo industrial el uso de membranas es asimismo amplio y variado. En construcción las membranas se emplean sobre todo en cubiertas (Fig. 2). Las presas inflables de poca altura (Fig. 3) son aplicaciones específicas de ingeniería civil; pero, como se verá, ahora aparecen otras muy interesantes. Las estructuras de membrana, siempre la forma Las membranas funcionan, frente a cargas normales a su superficie, gracias a su curvatura, la cual permite equilibrar dichas cargas con esfuerzos de membrana. Esto ya da idea de la importancia de que exista curvatura, pero aún se aprecia mejor considerando el caso límite de una membrana plana. Una membrana plana, sometida a cargas normales, solo puede trabajar por su propia deformación, que genera curvatura; de modo que la deformación se convierte en un efec- Fig. 1. Membranas y cables con mástiles, tríos frecuentes. Fig. 2. Membranas de cubierta, Lanzarote (IASO). Fig. 3. Presa inflable en el Parque Fluvial del Besòs, Barcelona. to primario, necesario para el equilibrio, con valores importantes, dada la magnitud de los esfuerzos (a menor curvatura mayor esfuerzo). Por el contrario, en una membrana curva, que permita el equilibrio de las cargas normales, la deformación pasa a ser un efecto secundario y con valores más bajos, resultado de unos esfuerzos menores. En construcción, la membrana se pretensa antes de entrar en servicio, para que adquiera cierta rigidez; como mínimo, se da un pretensado de montaje, tensándola algo para desplegarla sin arrugas. Por otro lado, la membrana se confec- ciona empleando un tejido estructural (con revestimiento superficial, normalmente) o un material finamente laminado de adecuada resistencia. Aquí, en este contexto de construcción, aparece de nuevo la forma y también puede decirse que una membrana es pura geometría, pura forma. En efecto, entre los diversos tipos estructurales, las implicaciones de la forma alcanzan en las membranas su máximo grado, influyendo de modo especial en la respuesta de la estructura, pero también en ciertas acciones sobre la misma I.T. N.º 81. 2008 61 Fig. 4. Membrana de cubierta (pretensado teórico: elevar mástiles centrales), Las Palmas de Gran Canaria (Gestiarq / IASO). (cargas de viento); además de afectar a otros factores tan importantes como su funcionalidad o, por supuesto, su impacto visual. Así pues, en las membranas se da la interacción de muchos factores a través de la forma. En este punto conviene indicar que, dentro del análisis de membranas pueden distinguirse, en términos generales, las siguientes fases: — Fase de confección, en la que, como resultado del proceso de confección, se tiene una forma que corresponde a esfuerzos nulos (forma potencial, ya que si se desplegara la membrana actuaría su propio peso). — Fase de pretensado, en la que, tras desplegar en su lugar y pretensar la membrana confeccionada (quedando así apta para entrar en servicio), se llega a una forma real, bajo los efectos del pretensado y el peso propio. — Fase de servicio, en la que la membrana pretensada va adoptando diversas formas bajo las acciones propias de esta etapa (cargas de uso, viento, etc.). Volviendo al asunto de la curvatura, hay que subrayar cosas importantes. Las membranas abiertas adoptan formas de silla de montar (curvaturas de sentido opuesto en direcciones ortogonales): superficies con curvatura de Gauss negativa o anticlásticas (Fig. 4). Esto obedece a un motivo estructural claro: si no fuera así, los esfuerzos de pretensado, de tracción, no estarían en equilibrio (el peso de la membrana, muy pequeño, es aquí irrelevante). Las membranas cerradas toman formas abombadas (curvaturas del mismo sentido en direcciones ortogonales): superficies con curvatura de Gauss positiva o sinclásticas. También 62 I.T. N.º 81. 2008 pueden ser cilíndricas. Como se dijo, estas formas equilibran, con los esfuerzos, una presión interior. Ejemplos de ellas son las citadas presas inflables (Fig. 3), ciertas cubiertas y, en otro sector, los globos aerostáticos (tal como funcionan, son membranas casi cerradas). En fin, hay que destacar que, para una cierta distribución de cargas, no toda superficie en el espacio es una membrana; y sí lo son las que, con su forma, equilibran tales cargas con esfuerzos de membrana. Por ello, su cálculo siempre lleva asociado de algún modo un problema de búsqueda de forma. Más adelante se trata sobre este problema de forma, esfuerzos y equilibrio. Pero antes se revisarán las láminas y los nuevos usos de las membranas. Láminas y membranas Aunque ya se han citado al principio, no se puede dejar de hablar algo más sobre las láminas (Fig. 5), estructuras que también trabajan por forma. En efecto, es así precisamente porque se intenta que funcionen en lo posible como membranas, esto es, para las cargas permanentes. Pero láminas y membranas solo comparten la forma básica de trabajo como membranas. A partir de ahí todo difiere: signo de los esfuerzos, forma, etc. Se sabe que las láminas tienen rigidez y pueden estar comprimidas. Así, ahora son estructuras de hormigón o de fábrica, donde interesan esfuerzos de membrana de compresión (si no es posible, de compresión y tracción). Al contrario que las membranas, las láminas no siempre se pretensan. En su caso, se precomprimen para neutralizar tracciones y mantener la rigidez. Fig. 5. Maqueta de lámina de cubierta para el club Táchira, Venezuela (Eduardo Torroja). En las láminas, la forma rígida equilibra esfuerzos de membrana (compresión o compresión-tracción) con cargas gravitatorias. En las membranas, la forma debe autoequilibrar en principio a las tracciones de pretensado (sin contar con el peso propio, muy bajo). Así, las formas de unas y otras son distintas. Las láminas adoptan muchísimas formas (Fig. 5). Por citar solo algunas, las láminas rebajadas a compresión son abombadas, con curvatura de Gauss positiva (si la lámina se inclina más en vertical, dirección de la gravedad, hay también tracción), y a compresión-tracción son de tipo silla de montar, con curvatura de Gauss negativa, como los paraboloides hiperbólicos. Membranas portantes en ingeniería civil. Pasarelas con estructura de membrana1 Aspectos generales Puede hablarse de membranas portantes, sometidas ya a cargas de uso, que van más allá de las ligadas a su propio despliegue (peso propio, pretensado, viento y, en su caso, nieve). Ello abre las membranas a nuevas aplicaciones en el campo de la ingeniería civil; por ejemplo, a las pasarelas de peatones. Esta idea permite trasladar a las pasarelas las ventajas de las estructuras de membrana. Así, ya se ha citado la ligereza, con todo lo que lleva consigo estructural, constructiva e incluso ambientalmente (bajo peso propio; facilidad de montaje y desmontaje; mínimo impacto; posible reutilización). Asimismo, sus amplias aptitudes plásticas para crear espacios interesantes. Sin olvidar, en fin, el factor de originalidad y novedad de estas pasarelas. Fig. 6. Maqueta de pasarela con estructura de membrana. El paso a estructuras portantes como las indicadas implica, con respecto a las no portantes, esfuerzos mayores; lo que es debido a las cargas de uso y también, como se verá, a las bajas curvaturas y al fuerte pretensado. Pero, además del salto cuantitativo en esfuerzos, ello supone un salto cualitativo en proyecto (y, en particular, cálculo), construcción y materiales. En las pasarelas, por motivos funcionales, la membrana ha de ser abierta y soportar sus cargas de uso con deformabilidad limitada, y además tener una forma rebajada, con pendientes pequeñas, al menos en la zona de paso. Como las curvaturas son también bajas, los esfuerzos de servicio aumentan. Importa así que la membrana tenga siempre curvatura, aunque sea pequeña. La figura 6 ofrece como referencia concreta la imagen de una pasarela en maqueta de muestra (de un metro de longitud, más o menos). La membrana es abierta y con curvatura de Gauss negativa: en la dirección de paso, se curva hacia abajo como un arco, y en la dirección transversal, hacia arriba. I.T. N.º 81. 2008 63 Si se compara con una pasarela atirantada, se ve que la membrana asume aquí de manera continua las funciones de tablero y estructura (transmisión de las tracciones a otros dispositivos estructurales, en lugar de los tirantes). Para el correcto comportamiento funcional y estructural de la pasarela, la membrana ha de ser pretensada (tracciones en todas direcciones, previas a la entrada en servicio). El pretensado tiene básicamente dos misiones: 1. Contrarrestar las compresiones por las cargas de uso, que aparecerían si no hubiera pretensado (dirección de los arcos), para que solo haya tracción. 2. Rigidizar la membrana en servicio (deformabilidad de uso limitada). Ambas razones conducen a la necesidad de un pretensado significativo (aunque, en principio, la segunda muestra ser más exigente). Se aprecia así que existen factores estructurales contrapuestos con los que se puede jugar, en particular la forma y el pretensado de la membrana. En este sentido, ha de buscarse un cierto compromiso entre ambos. La cuestión de introducir el pretensado y mantener tanto éste como los demás esfuerzos, transmitiéndolos a otros lugares, está relacionada con los bordes de la membrana, definidos por líneas pertenecientes a la misma. Estas líneas se materializan mediante elementos de borde de la membrana. Entre los elementos de borde revisten gran importancia los cables, sin rigidez a flexión, con curvatura hacia el exterior de la membrana para que todo esté a tracción. Sin embargo, los bordes rígidos (trabajan a flexión y otros esfuerzos) pueden tener cualquier curvatura o incluso ser rectos. En general conviene colocar cables en algunos bordes de la membrana; normalmente los más largos y elevados. Así se evitan elementos de borde rígidos, siempre más pesados, se facilita la aplicación del pretensado y se rompe al mínimo la perspectiva visual en el límite de la membrana. Como se verá, colocar cables supone una importante dificultad añadida de análisis. Una vez más, ello tiene que ver con la geometría, con la forma. Los elementos de borde van ligados a una estructura de sustentación de la membrana, que sirve para situarla en su posición y transmitir al terreno sus reacciones, a través de la cimentación. La estructura, como en cubiertas, es variable en tipo y materiales pero ligera (mástiles, celosías tubulares, etc.). Así, en la maqueta de la figura 6, la estructura de sustentación se compone de mástiles a compresión y vientos a tracción, típica de cubiertas (las cartelas para fijar los mástiles al tablero de base no estarían en la estructura real). Los bordes laterales de la membrana disponen de unos cordones (de guitarra, inapreciables en la figura), pretesos, que la mantienen a tracción. En general, los bordes de acceso a la membrana van unidos a estribos (en la figura 6, simples grapas), que forman parte de la estructura de sustentación. Tras haber descrito un poco esta tecnología, se presenta ahora un caso real, destacando las cuestiones más asociadas con la forma. 64 I.T. N.º 81. 2008 Fig. 7. Pasarela de Callús en fase avanzada de construcción (todo es curvo en la membrana). Fig. 8. Pasarela de Callús en su entorno, carente de cauce o vía. Pasarela de Callús Se trata de una pasarela con membrana (Figs. 7 y 8), construida en 2003 (Callús, Barcelona) gracias a un proyecto de investigación entre el Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC), la Fundación Española para la Ciencia y la Tecnología (FECYT) y el Ayuntamiento de Callús. El objetivo fundamental del proyecto fue materializar la idea de estas pasarelas con un prototipo sobre el terreno (no en laboratorio) y comprobar tanto su viabilidad estructural y constructiva como su aptitud funcional. Por tratarse de un prototipo, hubo que sacrificar todo su potencial plástico a la seguridad y al mínimo coste, de modo que la membrana quedara a poca altura, nada airosa, disponiéndola sin mástiles en un solo vano de 10 metros (vendría a ser el tramo central de la pasarela en maqueta de la figura 6). La membrana se confeccionó con un tejido de alta resistencia. La estructura de sustentación consistió en dos estribos, celosías metálicas tubulares. Los bordes laterales fueron cables anclados a los estribos; los longitudinales, barras de reparto conectadas a los estribos mediante tensores. El pretensado se aplicó tesando los cables y después los tensores (secuencia importante). La definición de forma y esfuerzos en la fase de pretensado resultó de un análisis bidimensional (2D) sobre la superficie de la membrana (lo habitual aquí, como se verá, es un análisis 1D), sin contar su pequeño peso propio. Tras varios tanteos, se partió de unas expresiones analíticas de la superficie, z = z(x,y), y los cables laterales, y se ajustaron otras pa- ra los esfuerzos a las distintas condiciones de equilibrio (membrana, cable e interfaz). Se llegó así a una solución aproximada, con esfuerzos de pretensado de distribución casi constante (pero con valores distintos longitudinal y transversalmente) y su rango se obtuvo evaluando la rigidez necesaria en la fase de servicio. Las forma de confección, diferencia entre la forma de pretensado y los desplazamientos debidos a éste, se calculó mediante una aproximación muy ajustada en membranas tan rebajadas como la presente. Así, se supuso que al pretensar la membrana (esfuerzos casi horizontales) los desplazamientos son horizontales. Considerando esto, la doble simetría y los esfuerzos casi constantes en direcciones de los ejes, la superficie mantiene su expresión en las coordenadas desplazadas, z = z(x*,y*). Con dicha forma, como la de pretensado pero con curvaturas algo mayores, se confeccionó la membrana. En fin, el resultado del proyecto de investigación fue satisfactorio, ya que la pasarela cumplió perfectamente como prototipo los objetivos planteados. Notas futuristas Hablar del futuro, extrapolación y sueño, es arriesgado. He aquí un apunte. La gran luz es la tendencia natural de las membranas portantes, tan ligeras. Ahí el peso propio es literalmente el lastre de las estructuras a flexión, con rigidez material (por peso propio): al crecer la luz, la estructura sirve cada vez más para resistirse a sí misma y hay que incluir elementos a tracción. Como la rigidez de cables y membranas no es material, sino por pretensado (tracción), y con la luz éste aumenta, en las membranas portantes de gran luz se apreciaría con nitidez cómo el campo de fuerzas gravitatorio (3D) viene a ser sustituido por un “campo tensorial” en la propia estructura (2D). Para llegar allí, claro, antes habrá que sortear buen número de obstáculos. Definición de la forma en las membranas Forma, esfuerzos y equilibrio2 Se ha dicho que las membranas y los cables no adoptan cualquier forma. Es un problema de equilibrio (entre cargas y esfuerzos, con una forma) que se resume a continuación, tomando como referencia la fase de pretensado El procedimiento práctico habitual asimila la membrana (2D) a una red de cables en el espacio (1D), definida en principio por las conexiones entre sus nudos (grafo), y plantea en éstos el equilibrio de fuerzas. Tras fijar ciertos nudos de borde, y con una adecuada hipótesis, se obtiene un sistema lineal de ecuaciones en función de las posiciones de los restantes nudos. La forma de la membrana viene dada por las posiciones de los nudos de la red. Así, este análisis 1D de equilibrio es un problema de búsqueda de forma. Los fuertes requisitos y responsabilidades ligados al uso de membranas en pasarelas llevaron a plantear este problema en 2D, sobre la superficie de la membrana. La citada aproximación analítica de Callús fue solo el principio. Veamos en qué consiste. El planteamiento matemático del equilibrio de la membrana pretensada, como superficie en el espacio, conduce a diversas ecuaciones en derivadas parciales. Aparecen ahí productos de variables de la forma y los esfuerzos (cuya suma es nula al despreciar el peso propio, cosa tanto más justificada cuanto mayor sea el pretensado). Entonces, para obtener algo hay que fijar la forma o los esfuerzos. Ambas opciones son, en general, interesantes; especialmente en aplicaciones como las pasarelas. En la primera opción se fijan la superficie de la membrana y las curvas de sus bordes, y se buscan los esfuerzos. Dicha búsqueda de esfuerzos es un problema de contorno hiperbólico, que admite solución única o múltiple, o no la tiene (esto confirma que no toda forma corresponde a una membrana). Resulta así una vía en general inadecuada, pero con casos bien resolubles. En la otra, opuesta, se fijan los esfuerzos y el contorno, y se busca la forma de la membrana. Esta búsqueda de forma es un problema elíptico, de solución única (no suele ser explícita, pero sí accesible de modo numérico). Por tanto, sea en 1D o 2D, la matemática insiste en que lo más adecuado es la búsqueda de forma. En los cables (aislados) sucede, claro está, lo mismo. Visto lo anterior, y volviendo a la red de cables, la búsqueda de esfuerzos en ella sería o no posible según el grafo tomado (triangular, cuadrangular, etc.). Se ve así que no es general como la búsqueda de forma citada (1D). El paralelismo en lo indicado, hay que insistir, es perfecto entre 1D y 2D. Si en el equilibrio se incluye también el borde de la membrana, el problema más general y complejo desde el punto de vista matemático corresponde al caso en que el elemento de borde es un cable. Como se dijo, también es el que más suele interesar desde el punto de vista estructural (reducción de peso propio), constructivo (aplicación del pretensado) y visual. En un borde con elemento rígido no existe restricción de forma para que el elemento absorba las cargas transmitidas por los esfuerzos de la membrana. En un borde de membrana con cable coinciden precisamente las estructuras que trabajan por forma. Esto basta para prever que es un contacto difícil; y así es. Se verá que solo ciertas curvas en la membrana pueden ser cables. Membrana y cable, dos formas entrelazadas En la interfaz de la membrana y el cable, al plantear la acción-reacción entre esfuerzos de una y cargas sobre el otro, resultan varias ecuaciones. Una de ellas es estrictamente geométrica (no aparecen esfuerzos ni cargas): zxx + 2zxy y’ + zyy y’2 = 0, donde z = z(x,y) es la forma de la membrana (su superficie) e y = y(x) es la forma del cable proyectada sobre el plano x–y (curva en dicho plano). I.T. N.º 81. 2008 65 Fig. 9. Membranas cuya forma parece un paraboloide hiperbólico (no lo es: hay cables de borde). Esta ecuación resume el equilibrio en el espacio: el plano de la carga del cable (osculador) es también el de los esfuerzos de la membrana (tangente). La ecuación solo tiene sentido en membranas con curvatura de Gauss negativa e indica precisamente que el cable debe ir siguiendo una dirección asintótica de la membrana (de las dos en que su curvatura se anula). Se trata de una ecuación que aporta mucha dificultad al análisis y de gran belleza matemática, con una poética especial. Esto puede afirmarse no tanto por su referente visual (borde físico que se curva en el espacio) como por su capacidad intrínseca, como fórmula, de sugerir. En efecto, hay ahí dos formas entrelazadas, como serpientes, por productos de sus derivadas: Fig. 10. Membrana de jabón. (y’0, y’1, y’2) < – > (zxx, zxy, zyy) Para el caso más sencillo, el paraboloide hiperbólico, como los que parece mostrar la figura 9, la citada ecuación indica que el cable seguiría una regla de la supeficie, esto es, sería recto; lo que no es posible, porque el cable ha de ser 66 I.T. N.º 81. 2008 curvo. Con esto, más que ver una forma bien conocida en láminas o uno de esos casos límites en que la matemática ya no tiene sentido físico, se comprueba que, de hecho, las membranas de la figura no tienen forma de paraboloide hiperbólico sino otra muy parecida que admite cables de borde. Otras formas, otros ámbitos Formas singulares de membrana son las de área mínima (o minimales) para un contorno dado. Se equilibran con tracción isótropa (igual valor en todas direcciones). Las membranas de jabón dentro de un alambre cerrado son su modelo físico (Fig. 10). Pueden interesar en casos con planta cercana a un cuadrado; no en pasarelas, donde suele dominar la dimensión de la dirección de paso. Volvamos a las láminas. Es sabido que se diseñan como membranas, con formas (rígidas) de equilibrio para ciertas cargas. Estas formas vendrían a ser datos del problema 2D de búsqueda de esfuerzos, en casos de solución única o múltiple (tomando una, la menos “energética”, la más sencilla en general); ya que tal análisis de equilibrio es una reducción del correcto: las cargas producen deformaciones (energía), pero se desprecian en el diseño por ser muy bajas. De nuevo, todo parecido a las membranas pero distinto. Restricción y libertad de forma en las membranas De cara a la libertad formal, parece que lo ideal en membranas sería fijar la forma. Pero ya se ha visto que, en general, hay que proceder al contrario. No obstante, tener que buscar la forma no es sinónimo de falta de libertad; incluso en pasarelas, con enormes restricciones (las generales de membrana y otras específicas, sobre todo funcionales, como se sabe). Veámoslo. Para empezar, comentemos una propiedad de las membranas en general. El número de formas de membrana, contando el borde, es ilimitado; incluso con cables, los elementos de borde más restrictivos. A este respecto cabe recordar aquí lo visto para las membranas de la figura 9, que parecen tener forma de paraboloide hiperbólico, pero no pueden serlo. Ello viene a ilustrar, en otras palabras, que con mínimas variaciones se pasa de una no membrana a una membrana con borde rígido y a otra con cable de borde. En fin, la forma es importante en toda intervención física sobre un entorno. A este respecto, las pasarelas con membrana guardan un enorme potencial. Según lo visto, en la práctica caben formas de membrana estructuralmente impecables y plásticamente expresivas, si se analizan de manera adecuada (diseño inicial con tanteos simplificados y retoque con proceso ajustado). Importa asimismo definir con buen criterio los bordes de la membrana; en particular los rígidos, diseñando con tino la estructura de sustentación. Ya se dijo que debe haber cierto equilibrio entre la forma y el pretensado de la primera, y un valor razonable de éste, para que ambas estructuras queden en armonía y, desde luego, la segunda no llegue a esconder a la primera. Tal fascinación técnica se debe seguramente a numerosas razones. Veamos algunas. Muchas de esas formas están en la naturaleza, la gran referencia de todo y para todos. Además, las formas matemáticas son más fácilmente representables; lo que facilita muchas cosas, como evaluar la funcionalidad del artefacto, su impacto visual, etc. En fin, los modelos que el técnico usa (mecánicos, térmicos, etc.) suelen tener soluciones simplificadas asequibles (“manuales”) en dominios geométricos; algo muy útil para diseños previos, luego comprobados con cálculos más ajustados y, en su caso, modificados. Así, esa fascinación pasa a sensación de dominio muy profunda, que se liga a lo objetivo. Recordemos que la geometría está en los inicios de la ciencia (conocimiento abstracto y teorías del mundo no abarcable) y la tecnología (mediciones útiles en lo abarcable), y a lo que ha llegado su potencial. Esta fascinación técnica se da, en particular, en el ámbito de las estructuras. También ahí se discute mucho sobre las formas más o menos puras, incluso bellas; formas con frecuencia asociadas a criterios más objetivos, sobre todo estructurales y funcionales, quizá identificando objetivo y certero. No hay que olvidar que, pese a la extensa tradición y el gran arraigo de las formas expresivas, su recorrido junto a otras más objetivas no es tan largo. Es bien conocido que los diversos materiales y tipos estructurales adoptan formas propias. En todos hay siempre un abanico de opciones de forma que satisfacen adecuadamente los requisitos técnicos de cada caso: funcionales, estructurales, ambientales, etc. y, desde luego, económicos. Ahí la forma ya es solo forma. Así, pensemos en quienes, sabiéndolo, en alardes técnicos han logrado expresarse con la forma, suscitando también nuestra emoción. Este paseo, tan lejano a lo estético, por las formas de ingeniería quizá más restringidas (su papel en la citada fascinación, solo entrevisto, daría para mucho) muestra que incluso aquí existe ese margen de autonomía formal. Ahí sigue el reto para la buena técnica, tanto mayor cuanta más restricción haya en la forma, de encontrar su espacio de libertad y poder transmitir a todos, legos o expertos, lo que la forma por sí misma ofrece. En este sentido, el caso de las estructuras de membrana portantes es paradigmático. I Juan Murcia Vela Doctor Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos Instituto Eduardo Torroja, CSIC Notas Conclusión. Fascinación por la geometría y expresión formal Las formas geométricas (matemáticas) han fascinado y siguen fascinando.3 Particularmente a los técnicos, al concebir, diseñar y fabricar sus artefactos. 1. Información más detallada en J. Murcia, “Tecnología de pasarelas con estructura de membrana”, Informes de la Construcción, 507 (pp. 21-31), Madrid, 2007. 2. Consultar G. Viglialoro, Análisis matemático del equilibrio en estructura de membrana con bordes rígidos y cables. Pasarelas: forma y pretensado. Tesis doctoral. UPC. Barcelona, 2006 (http://www.tesisenxarxa.net/TDX-0515107-100745). 3. Muy valioso este ya todo un clásico de la divulgación en la materia: S. Hildebrandt y A. Tromba, Matemática y formas óptimas, Prensa Científica. Barcelona, 1990. I.T. N.º 81. 2008 67
